Calculating dot and cross products with unit vector notation

Hasta ahora, cuando yo he dicho sobre el punto y la Cruz

productos, me he dado la definición como la magnitud

veces el coseno o el seno de la

ángulo entre ellos.

Pero, ¿qué pasa si no eres le los vectores visualmente?

Y ¿qué pasa si no está dado el ángulo entre ellos?

¿Cómo calcular el punto y los productos de la Cruz?

Bueno, te voy a dar la definición que

Le dando ya.

Así que vamos a decir que tengo un punto b punto producto.

Que es la magnitud de una veces la magnitud de los tiempos de b

coseno del ángulo entre ellos.

a b Cruz es igual a la magnitud de una veces la

magnitud de b veces el seno del ángulo entre ellos - tan

las proyecciones perpendiculares de ellos--veces el normal

vector perpendicular a ambos.

El vector normal de la unidad y usted averiguar cuál de los

dos vectores perpendiculares es mediante el uso de

la regla de la mano derecha.

Pero qué pasa si no tenemos las thetas; el

¿ángulos entre ellos?

¿Qué pasa si, por ejemplo, tuviera que decirle que el vector

una,--si tuviera que dar en la notación de ingeniería.

En la notación de ingeniería, esencialmente sólo eres

rompiendo el vector en sus x, y y z componentes.

Así que vamos a decir vector un es 5i--es sólo el vector unitario en

la dirección de x, menos 6j, más 3 k.

i, j y k son simplemente los vectores de la unidad de la x, y y z

direcciones.

Y el 5 es cuánto va en la dirección x.

Al menos 6 es cuánto va en la dirección y.

Y el 3 es cuánto va en la dirección z.

Podría intentarlo de la gráfica.

Y realmente, estoy tratando de buscar una calculadora gráfica

que voy hacer esto, por lo que le puedo mostrar todo en videos para dar

usted más intuición.

Pero permite decir esto es lo que le está dado.

Y digamos sólo estoy haciendo estos números--b--

digamos que es menos 2i--y, por supuesto, estamos trabajando

tres dimensiones ahora--plus 7j plus 4 k.

Podría gráfico lo.

Pero obviamente, si se da un problema y si usted

realmente estaban tratando de vectores de modelo en un equipo

simulación, esto es la forma que lo haría.

Sería romper en los componentes x, y y z debido

los vectores de agregar.

Sólo tienes que añadir los componentes respectivos.

Pero ¿cómo multiplicas ellos ya sea tomando la Cruz o el

¿producto escalar?

Bueno realmente resulta no voy a probarlo pero aquí

Sólo mostraré cómo hacerlo.

El producto escalar es muy fácil cuando lo tienes

dado en esta notación.

Y realmente otra forma de escribir esta notación,

a veces resulta en notación de soporte.

A veces podría reescribir esto como 5 menos 6, 3.

O es sólo de las magnitudes de la x, y y z dirección.

Sólo quiero para asegurarse de que usted está cómodo con todos

estas notaciones diferentes.

Podría haber escrito b como menos es 2, 7, 4.

Estas son todas las mismas cosas.

Usted no debería recibir espantarse si ves uno o el otro.

Pero de todos modos, ¿cómo debo tomar un punto b?

Esto, creo que encontrará bastante agradable.

Todo lo que hacen es multiplicas i componentes, añadir que a la

componentes j multiplicaron y agregue al k

componentes multiplican juntos.

Así que sería 5 veces menos 2 más menos 7 6 veces más 3

4, por lo que es igual a menos 10 menos 42 más 12.

Así que esto es menos 52 más 12, por lo que es igual a menos de 40.

Eso es todo.

Es sólo un número.

Y realmente sería curioso esto de la gráfica en un tres

grapher dimensional para ver por qué es menos de 40.

Debe van en direcciones opuestas.

Y sus proyecciones sobre cada ir en frente

direcciones.

Y por eso recibimos un número negativo.

El propósito de esto--no desea obtener demasiado en la

intuición--esto es simplemente cómo calcular, pero es bastante

sencillo.

Simplemente multiplicas los componentes de x.

Agregar que al y componentes multiplicaron y añaden que a la

componentes de z multiplicados.

Así que siempre me ha dado algo de ingeniería o

notación de soporte y tienen que encontrar el producto escalar, es

casi calmante y no tan propenso.

Pero, como se verá, tomando el producto cruzado de estos dos

vectores cuando en esta notación no es lo

sencillo.

Y quiero que tenga en cuenta, de otra manera usted podría

haberlo hecho, podría haber averiguado la magnitud de

cada uno de estos vectores y, a continuación, usted podría haber utilizado algunos fancy

trigonometría a figura fuera los thetas y luego utiliza este

definición.

Pero creo que aprecias el hecho de que se trata de un muy

forma más sencilla de hacerlo.

Por lo tanto el producto escalar es un montón de diversión.

Ahora vamos a ver si podríamos tomar el producto cruzado.

Y una vez más, no voy a probarlo.

Voy a mostrarle cómo hacerlo.

En un video futuro, estoy seguro de que voy a una solicitud para hacerlo

Finalmente, y yo voy a probarlo.

Pero el producto cruzado, esto es más complicado.

Y nunca espero que teniendo el producto cruzado de

dos vectores en la notación de ingeniería.

a b Cruz.

Es igual a.

Esto es una aplicación de matrices.

Así que qué es que tomar el determinante--te llamo un gran

línea determinante--en la línea superior del determinante.

Esto es realmente sólo una forma de hacerle

memorizar cómo hacerlo.

No darle mucha intuición, pero la intuición

está dada por la definición.

¿Cuánto de los vectores son perpendiculares entre sí.

Multiplicar esas magnitudes.

Regla de la mano derecha descubre qué dirección

Usted está apuntando en.

Pero la manera de hacerlo si eres dado notación de ingeniería,

escribes la i, j, unidad k vectores la fila superior.

i, j, k.

Escriba el primer vector en el producto de la Cruz,

debido a cuestiones de orden.

Por lo que es el 5 menos 6, 3.

A continuación, tomar el segundo vector que es b, que es

menos 2, 7, 4.

Por lo tanto tomar el determinante de la matriz de 3 por 3,

y ¿cómo lo hago?

Así es igual a la subdeterminante para.

Para que el subdeterminant para que, si usted deshacerse de esta columna

y esta fila, el factor determinante que quede, por lo que de

menos de 6, 3, 7, 4 veces lo--quizá desee revisar

determinantes si no recuerda cómo hacerlo, pero

tal vez sólo funciona a través de ella se jog su memoria.

Y recuerde, tiene más, menos, más.

Entonces menos la subdeterminante de j.

¿Qué es el subdeterminante para j?

Cruzar columnas y fila j.

Tienes 5, 3, menos 2, 4.

Sólo cruzamos j fila y columna.

Y lo que queda, esos son los números en su

subdeterminante.

Eso es lo que yo llamo.

j plus--quiero hacerlo todo en una línea porque sería

han sido un poco mejor--además de la

subdeterminante para k.

Tache la fila y la columna k.

Estamos salimos con 5 menos 6, menos 2 y 7 veces k.

Y ahora vamos a calcularlos.

Y quiero hacer algo de espacio, porque me has

escrito esto demasiado grande.

No creo que esto necesitamos ya.

¿Lo que obtenemos?

Tomemos esto aquí.

Así que estos determinantes de 2 por 2 son bastante fáciles.

Esto es menos 6 veces 4 menos 3 7 veces.

Siempre hago descuidados errores aquí.

Menos 24 menos 21 veces lo menos 5 veces 4 es 20, menos

menos 2 veces 3, así que menos menos 6 j, plus 5 veces 7, 35

menos menos 2 veces menos 6.

Por eso es menos positiva 12 k.

Nosotros podríamos simplificar esto, lo que equivale a menos de 24 menos 21.

Es menos 35--no tengo que poner un paréntesis--i, y

entonces ¿qué es 20 menos menos 6?

Bueno, eso es 20 plus plus 6, así que 26.

Y luego tenemos un signo menos aquí.

Así que menos 26j.

Y que fue 35 menos 12, eso es 23.

Además de 23 k.

Por lo es el producto de la Cruz.

Y si fueras a este gráfico en tres dimensiones,

ver--y esto es lo que es interesante--verá

ese vector, si mis matemáticas son correcto, menos 35i, menos 26j,

Además 23 k, es perpendicular a ambos de estos vectores.

Creo que te dejaré allí por ahora, y nos vemos en

el siguiente vídeo.

Y esperemos que puedo rastrear un programa de gráficos vectoriales.

Porque creo que va a ser divertido tanto calcular el punto y

los productos de Cruz utilizando los métodos sólo mostré le y

luego al gráfico de ellas.

Y para demostrar que realmente funcionan.

Que realmente este vector es perpendicular a estos dos

y apuntando en la dirección que usted predeciría usando el

regla de la mano derecha.

Nos vemos en el siguiente vídeo.