Proof of Fundamental Theorem of Calculus

假设我们有一个函数f

该函数在区间a到b是连续的。

我们试试能不能把它画出来。

那么，这是我的y轴。

这边是t轴。

x留着待会再用。

这是我的t轴。

然后这边的

是y=f(t)的图像。

我们说该函数在区间a到b是连续的。

所以这是t=a

这是t=b

所以我们说它在整个区间内

是连续的。

现在，我们来定义一个函数F(x)

用蓝色来表示

我们定义F(x)为函数f(t)

的下界a到x的定积分

换个颜色，f(t)dt，

x介于a和b之间，x大于等于a

小于等于b。

换种说法

x在这段区间内。

当你看到这里，你会说，

定积分肯定和微积分

不定积分这些有关。

但事实上我们还不知道。

我们只知道，

这个是区间a到x曲线下方的面积，

这边是x。

所以F(x)就是这块面积。

这就是我们全部知道的。

我们目前还不知道

这是否和不定积分有关系。

我们将在这个视频里来证明。

为了有趣，我们来求f的导数。

我们只需要通过

导数的定义

看看通过导数的定义

求导会得出什么结论。

F(x)的导数F'(x)--根据定义，

它是当Δx趋于0时，

F(x+Δx)-F(x)

除以F(x+Δx)的极限。

这就是导数的定义。

那么它等于什么？

让我把上面的定积分带入进公式展开。

它就等于当Δx趋于0时

的极限--F(x+Δx)等于多少？

将x带入。

你将得到f(t)从a到x+Δx的

定积分。

然后减去

F(x)，也就是

f(t)从a到x的定积分，

所有的这部分除以Δx。

那么这个表达了什么？

记住，我们不知道什么是定积分

或者不定积分

什么都不知道。

我们只知道，这只是曲线f在a到x+Δx之间面积

的另一种表示方法。

这整个部分的面积。

就是这个部分。

我们已经知道了蓝框里面表达式的意义。

让我用同样的蓝色来画阴影。

这个蓝色字体的表达式，

等于所有的蓝色阴影部分面积。

我们已经涂上了阴影。

和这块部分相等。

如果要算整个绿色区域的面积，

就是从a到x+Δx的面积，然后减去

蓝色区域的面积，

它正好就是分子的差。

这部分的差就是--哪个

颜色还没用过？

要不就用粉色。

用过了。

我就用紫色。

这就是剩余的面积。

如何表达紫色部分的面积？

可以表示为

f(t)从x到x+Δx的

定积分。

所以，我们可以重写整个表达式，

F(x)的导数--这个是F'(x)

我们可以把它等价为Δx趋近0时的极限

--我可以写作1除以

Δx乘以分子部分。

我们已经知道分子是什么。

绿色的面积减去蓝色面积就是紫色面积，

另一种表达紫色面积的方式

就是这个。

所以1比上Δx乘以

f(t)从x到x+Δx的定积分。

那么这个表达式很有趣。

它和定积分的

均值定理很相似。

定积分的均值定理

告诉我们区间内存在一个点c

我用这种方式表达

a小于等于c，小于等于

我们尽量写清楚点。

我们关心的是x到x+Δx的区间

x小于等于c

小于等于

x+Δx，使得函数在c的值

f(c)--让我画出c。

c是这里的某个点

所以说，函数在c点的值

这边是f(c)。

函数在c点的值

就是

这条线的高，然后乘以底，

这段区间，如果乘以这段区间

长度就是Δx，

x+Δx减去x，就是Δx。

如果我直接用高乘以底，

就等于曲线下的面积，

也就是f(t)从x到x+Δx的定积分。

这也是积分均值定理（mean value theorem）的内容。

如果f是连续函数，

那么区间内存在一个点c

函数在c点的值

就是高度的平均值。

如果你取函数的平均值

然后乘以底，

就得到了曲线以下的面积。

另一种说法，

你可以说区间内存在点c

f(c)等于1除以Δx

两边同除以Δx--乘以

f(t)从x到x+Δx的定积分。

这个也被称作函数

在区间内的均值。

这是为什么呢？

这个积分给出了面积，

然后面积除以底，

就得到高的平均值。

另外一种表达方式，

用高，乘上

底边长，就能得到

和曲线以下面积相等的长方形。

这个定理很强大，因为

这就是F(x)的导数。

所以必定存在一个c，令f(c)

等于它。

或者我们可以说极限，让我用新颜色

换个写法。

所以，在x到x+Δx内

存在一个c令F'(x)，我们知道F'(x)就等于这个部分。

我们现在知道它就等于当Δx趋向于0

的极限。

换个写法，

我们知道存在一个c等于这个部分，

f(c)。

现在只剩最后一步了。

我们只需要找出当Δx趋于0时

f(c)的极限。

一个重要的条件就是这个。

我们知道c恒大于x，

恒小于x+Δx。

直觉告诉我们，

当Δx趋于0时，这条绿色的线

会慢慢往左移，当它靠近

蓝色线段时，c必须在两条线中间，

所以c也会同时向x靠近。

所以我们知道当Δx趋近于0时，

c趋向于x。

或者换一种说法，当Δx趋近于0时，

f(c)趋向于f(x)。

那么直觉推断，我们可以说

它就等于f(x)。

你可能会说，这个是凭感觉写出来的，

虽然你做了一点证明，

但是Sal，

我需要知道x确实趋近于c。

不要只是通过画图

凭直觉说c会越来越

接近x。

如果你真的想要确凿证据，你只需要

采用夹逼定理（squeeze theorem）。

如何应用夹逼定理，

你只需要把c当成Δx的函数。

事实也是如此。

根据Δx不同，c可能会往左

或者往右。

所以我可以把这个表达式重写写为

c(Δx)大于等于x，

小于等于x+Δx。

现在你可以看到，c永远位于x和

x+Δx中间。

当Δx趋近0时，x的极限是多少？

x跟Δx无关，

所以这个就等于x。

当Δx趋近0时，x+Δx的极限是多少？

当Δx趋近0时，

这就等于x。

那么如果当Δx趋向0时，这个部分趋向于x，

且小于c(Δx)这个函数，

当Δx趋近0时，这个部分趋向于x，

它恒大于c(Δx)，

那么由夹逼定理得知

当Δx趋向于0

c(Δx)

也将趋向于x。

他们都趋向于同一个值。

它被夹在中间。

通过三明治定理（夹逼定理）

我们更加严格地得到了

相同的结论。

当Δx趋近0时，c趋近x。

如果c趋近x，那么f(c)将趋近f(x)。

证明完毕！

F是连续函数。

我们定义了F，

然后通过导数的定义

得到：F(x)的导数

等于f(x)。

他的重要意义是什么？

它告诉你，对于任何

连续函数f--这是一个假设。

我们假设f在区间内是连续的--

存在某个函数

可以定义为

曲线下的两点之间的面积

比如说到点x--如果你构造了一个这样的

函数，该函数的导数

就等于这个连续函数本身。

换一种说法，

你总能找到连续函数的不定积分，

所有连续函数都存在不定积分。

一系列非常厉害的结论。

任何连续函数都存在不定积分。

它就是F(x)。

所以它被称为

微积分基本定理。

它将这两个想法联系在一起。

我们有微分。

我们有导数。

然后有积分，

有积分的概念。

在证明之前，我们只是把积分

看作曲线下的面积。

这仅仅是一个描述

曲线下面积的符号。

但现在我们可以在积分和导数

之间建立联系，

或者说定积分和不定积分

的联系。

这个定理非常非常非常强有力的把所有

微积分联系起来--我们已经习惯了这个方法，

可能已经习以为常了，

但是记住！它很容易搞混。

我们经常把定积分

和不定积分等同，

但这种说法不够完备。

如果你只把积分当成面积，

你必须一步一步证明

定积分和求导

的关系。