Proof of Fundamental Theorem of Calculus

假设我们有一个函数f

该函数在区间a到b是连续的。

我们试试能不能把它画出来。

这是我的y轴。

这边是我的t轴。

我们待会再用x。

这是我的t轴。

然后这边的

是y=f(t)的图像。

我们说该函数在区间a到b是连续的。

所以这是t=a

这是t=b

所以我们说它在整个区间内

是连续的。

现在，我们来定义一个函数F(x)

用蓝色来表示

我们定义F(x)为函数f(t)

的下界a到x的定积分

换个颜色，f(t)dt，

x介于a和b之间，x大于等于a

小于等于b。

换种说法

x在这段区间内。

当你看到这里，你可能会说，

定积分肯定和微积分

不定积分这些有关。

我们暂时还不知道。

我们只知道，

曲线下方从a到x的面积，

x的值到这里。

所以F(x)就是这块面积。

这些是已知的。

我们目前还不知道

这是否和不定积分相关。

我们将通过视频来证明。

只是为了有趣，我们来求f的导数。

我们只需要通过

导数的定义

看一下通过导数的定义

求导会得出什么结论。

F(x)的导数F'(x)--根据定义，

它是当Δx趋于0时，

F(x+Δx)-F(x)

除以F(x+Δx)的极限。

这就是导数的定义。

那么它等于什么？

让我把这些积分带入，重写该公式。

那它就等于

当Δx趋于0时--F(x+Δx)等于多少？

将x带入。