[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.56,0:00:02.94,Default,,0000,0000,0000,,假设我们有一个函数f
Dialogue: 0,0:00:02.94,0:00:09.41,Default,,0000,0000,0000,,该函数在区间a到b是连续的。
Dialogue: 0,0:00:09.41,0:00:12.48,Default,,0000,0000,0000,,我们试试能不能把它画出来。
Dialogue: 0,0:00:12.48,0:00:14.82,Default,,0000,0000,0000,,那么，这是我的y轴。
Dialogue: 0,0:00:17.68,0:00:20.60,Default,,0000,0000,0000,,这边是t轴。
Dialogue: 0,0:00:20.60,0:00:23.05,Default,,0000,0000,0000,,x留着待会再用。
Dialogue: 0,0:00:23.05,0:00:24.82,Default,,0000,0000,0000,,这是我的t轴。
Dialogue: 0,0:00:24.82,0:00:26.72,Default,,0000,0000,0000,,然后这边的
Dialogue: 0,0:00:26.72,0:00:29.02,Default,,0000,0000,0000,,是y=f(t)的图像。
Dialogue: 0,0:00:31.83,0:00:34.67,Default,,0000,0000,0000,,我们说该函数在区间a到b是连续的。
Dialogue: 0,0:00:34.67,0:00:36.88,Default,,0000,0000,0000,,所以这是t=a
Dialogue: 0,0:00:36.88,0:00:38.80,Default,,0000,0000,0000,,这是t=b
Dialogue: 0,0:00:38.80,0:00:42.32,Default,,0000,0000,0000,,所以我们说它在整个区间内
Dialogue: 0,0:00:42.32,0:00:45.35,Default,,0000,0000,0000,,是连续的。
Dialogue: 0,0:00:45.35,0:00:51.58,Default,,0000,0000,0000,,现在，我们来定义一个函数F(x)
Dialogue: 0,0:00:51.58,0:00:53.67,Default,,0000,0000,0000,,用蓝色来表示
Dialogue: 0,0:00:53.67,0:00:58.81,Default,,0000,0000,0000,,我们定义F(x)为函数f(t)
Dialogue: 0,0:00:58.81,0:01:06.63,Default,,0000,0000,0000,,的下界a到x的定积分
Dialogue: 0,0:01:06.63,0:01:12.46,Default,,0000,0000,0000,,换个颜色，f(t)dt，
Dialogue: 0,0:01:12.46,0:01:19.50,Default,,0000,0000,0000,,x介于a和b之间，x大于等于a
Dialogue: 0,0:01:19.50,0:01:21.37,Default,,0000,0000,0000,,小于等于b。
Dialogue: 0,0:01:21.37,0:01:22.87,Default,,0000,0000,0000,,换种说法
Dialogue: 0,0:01:22.87,0:01:26.39,Default,,0000,0000,0000,,x在这段区间内。
Dialogue: 0,0:01:26.39,0:01:28.36,Default,,0000,0000,0000,,当你看到这里，你会说，
Dialogue: 0,0:01:28.36,0:01:31.02,Default,,0000,0000,0000,,定积分肯定和微积分
Dialogue: 0,0:01:31.02,0:01:32.35,Default,,0000,0000,0000,,不定积分这些有关。
Dialogue: 0,0:01:32.35,0:01:33.91,Default,,0000,0000,0000,,但事实上我们还不知道。
Dialogue: 0,0:01:33.91,0:01:36.89,Default,,0000,0000,0000,,我们只知道，
Dialogue: 0,0:01:36.89,0:01:43.15,Default,,0000,0000,0000,,这个是区间a到x曲线下方的面积，
Dialogue: 0,0:01:43.15,0:01:47.25,Default,,0000,0000,0000,,这边是x。
Dialogue: 0,0:01:47.25,0:01:53.62,Default,,0000,0000,0000,,所以F(x)就是这块面积。
Dialogue: 0,0:01:53.62,0:01:55.66,Default,,0000,0000,0000,,这就是我们全部知道的。
Dialogue: 0,0:01:55.66,0:01:58.56,Default,,0000,0000,0000,,我们目前还不知道
Dialogue: 0,0:01:58.56,0:01:59.06,Default,,0000,0000,0000,,这是否和不定积分有关系。
Dialogue: 0,0:01:59.06,0:02:02.80,Default,,0000,0000,0000,,我们将在这个视频里来证明。
Dialogue: 0,0:02:02.80,0:02:06.31,Default,,0000,0000,0000,,为了有趣，我们来求f的导数。
Dialogue: 0,0:02:06.31,0:02:07.77,Default,,0000,0000,0000,,我们只需要通过
Dialogue: 0,0:02:07.77,0:02:09.95,Default,,0000,0000,0000,,导数的定义
Dialogue: 0,0:02:09.95,0:02:12.52,Default,,0000,0000,0000,,看看通过导数的定义
Dialogue: 0,0:02:12.52,0:02:15.95,Default,,0000,0000,0000,,求导会得出什么结论。
Dialogue: 0,0:02:15.95,0:02:20.23,Default,,0000,0000,0000,,F(x)的导数F'(x)--根据定义，
Dialogue: 0,0:02:20.23,0:02:24.79,Default,,0000,0000,0000,,它是当Δx趋于0时，
Dialogue: 0,0:02:24.79,0:02:31.94,Default,,0000,0000,0000,,F(x+Δx)-F(x)
Dialogue: 0,0:02:31.94,0:02:37.62,Default,,0000,0000,0000,,除以F(x+Δx)的极限。
Dialogue: 0,0:02:37.62,0:02:41.45,Default,,0000,0000,0000,,这就是导数的定义。
Dialogue: 0,0:02:41.45,0:02:43.61,Default,,0000,0000,0000,,那么它等于什么？
Dialogue: 0,0:02:43.61,0:02:46.11,Default,,0000,0000,0000,,让我把上面的定积分带入进公式展开。
Dialogue: 0,0:02:46.11,0:02:51.62,Default,,0000,0000,0000,,它就等于当Δx趋于0时
Dialogue: 0,0:02:51.62,0:02:58.79,Default,,0000,0000,0000,,的极限--F(x+Δx)等于多少？
Dialogue: 0,0:02:58.79,0:03:00.67,Default,,0000,0000,0000,,将x带入。
Dialogue: 0,0:03:00.67,0:03:05.33,Default,,0000,0000,0000,,你将得到f(t)从a到x+Δx的
Dialogue: 0,0:03:05.33,0:03:09.36,Default,,0000,0000,0000,,定积分。
Dialogue: 0,0:03:09.36,0:03:10.99,Default,,0000,0000,0000,,然后减去
Dialogue: 0,0:03:10.99,0:03:17.45,Default,,0000,0000,0000,,F(x)，也就是
Dialogue: 0,0:03:17.45,0:03:24.87,Default,,0000,0000,0000,,f(t)从a到x的定积分，
Dialogue: 0,0:03:24.87,0:03:26.70,Default,,0000,0000,0000,,所有的这部分除以Δx。
Dialogue: 0,0:03:32.74,0:03:34.87,Default,,0000,0000,0000,,那么这个表达了什么？
Dialogue: 0,0:03:34.87,0:03:37.24,Default,,0000,0000,0000,,记住，我们不知道什么是定积分
Dialogue: 0,0:03:37.24,0:03:38.56,Default,,0000,0000,0000,,或者不定积分
Dialogue: 0,0:03:38.56,0:03:40.06,Default,,0000,0000,0000,,什么都不知道。
Dialogue: 0,0:03:40.06,0:03:41.87,Default,,0000,0000,0000,,我们只知道，这只是曲线f在a到x+Δx之间面积
Dialogue: 0,0:03:41.87,0:03:45.63,Default,,0000,0000,0000,,的另一种表示方法。
Dialogue: 0,0:03:53.63,0:04:00.62,Default,,0000,0000,0000,,这整个部分的面积。
Dialogue: 0,0:04:00.62,0:04:02.46,Default,,0000,0000,0000,,就是这个部分。
Dialogue: 0,0:04:02.46,0:04:06.09,Default,,0000,0000,0000,,我们已经知道了蓝框里面表达式的意义。
Dialogue: 0,0:04:06.09,0:04:08.83,Default,,0000,0000,0000,,让我用同样的蓝色来画阴影。
Dialogue: 0,0:04:08.83,0:04:11.42,Default,,0000,0000,0000,,这个蓝色字体的表达式，
Dialogue: 0,0:04:11.42,0:04:14.65,Default,,0000,0000,0000,,等于所有的蓝色阴影部分面积。
Dialogue: 0,0:04:14.65,0:04:15.92,Default,,0000,0000,0000,,我们已经涂上了阴影。
Dialogue: 0,0:04:15.92,0:04:19.07,Default,,0000,0000,0000,,和这块部分相等。
Dialogue: 0,0:04:19.07,0:04:22.13,Default,,0000,0000,0000,,如果要算整个绿色区域的面积，
Dialogue: 0,0:04:22.13,0:04:24.73,Default,,0000,0000,0000,,就是从a到x+Δx的面积，然后减去
Dialogue: 0,0:04:24.73,0:04:26.50,Default,,0000,0000,0000,,蓝色区域的面积，
Dialogue: 0,0:04:26.50,0:04:29.42,Default,,0000,0000,0000,,它正好就是分子的差。
Dialogue: 0,0:04:29.42,0:04:32.45,Default,,0000,0000,0000,,这部分的差就是--哪个
Dialogue: 0,0:04:32.45,0:04:34.28,Default,,0000,0000,0000,,颜色还没用过？
Dialogue: 0,0:04:34.28,0:04:36.38,Default,,0000,0000,0000,,要不就用粉色。
Dialogue: 0,0:04:36.38,0:04:37.63,Default,,0000,0000,0000,,用过了。
Dialogue: 0,0:04:37.63,0:04:38.75,Default,,0000,0000,0000,,我就用紫色。
Dialogue: 0,0:04:38.75,0:04:43.34,Default,,0000,0000,0000,,这就是剩余的面积。
Dialogue: 0,0:04:43.34,0:04:45.49,Default,,0000,0000,0000,,如何表达紫色部分的面积？
Dialogue: 0,0:04:45.49,0:04:48.45,Default,,0000,0000,0000,,可以表示为
Dialogue: 0,0:04:48.45,0:04:51.87,Default,,0000,0000,0000,,f(t)从x到x+Δx的
Dialogue: 0,0:04:51.87,0:04:58.55,Default,,0000,0000,0000,,定积分。
Dialogue: 0,0:04:58.55,0:05:01.35,Default,,0000,0000,0000,,所以，我们可以重写整个表达式，
Dialogue: 0,0:05:01.35,0:05:04.02,Default,,0000,0000,0000,,F(x)的导数--这个是F'(x)
Dialogue: 0,0:05:04.02,0:05:08.96,Default,,0000,0000,0000,,我们可以把它等价为Δx趋近0时的极限
Dialogue: 0,0:05:08.96,0:05:13.53,Default,,0000,0000,0000,,--我可以写作1除以
Dialogue: 0,0:05:13.53,0:05:16.93,Default,,0000,0000,0000,,Δx乘以分子部分。
Dialogue: 0,0:05:16.93,0:05:18.64,Default,,0000,0000,0000,,我们已经知道分子是什么。
Dialogue: 0,0:05:18.64,0:05:22.17,Default,,0000,0000,0000,,绿色的面积减去蓝色面积就是紫色面积，
Dialogue: 0,0:05:22.17,0:05:24.51,Default,,0000,0000,0000,,另一种表达紫色面积的方式
Dialogue: 0,0:05:24.51,0:05:26.52,Default,,0000,0000,0000,,就是这个。
Dialogue: 0,0:05:26.52,0:05:28.68,Default,,0000,0000,0000,,所以1比上Δx乘以
Dialogue: 0,0:05:28.68,0:05:38.20,Default,,0000,0000,0000,,f(t)从x到x+Δx的定积分。
Dialogue: 0,0:05:38.20,0:05:40.65,Default,,0000,0000,0000,,那么这个表达式很有趣。
Dialogue: 0,0:05:40.65,0:05:43.68,Default,,0000,0000,0000,,它和定积分的
Dialogue: 0,0:05:43.68,0:05:46.22,Default,,0000,0000,0000,,均值定理很相似。
Dialogue: 0,0:05:46.22,0:05:48.57,Default,,0000,0000,0000,,定积分的均值定理
Dialogue: 0,0:05:48.57,0:06:10.36,Default,,0000,0000,0000,,告诉我们区间内存在一个点c
Dialogue: 0,0:06:10.36,0:06:12.99,Default,,0000,0000,0000,,我用这种方式表达
Dialogue: 0,0:06:12.99,0:06:18.39,Default,,0000,0000,0000,,a小于等于c，小于等于
Dialogue: 0,0:06:18.39,0:06:19.81,Default,,0000,0000,0000,,我们尽量写清楚点。
Dialogue: 0,0:06:19.81,0:06:22.11,Default,,0000,0000,0000,,我们关心的是x到x+Δx的区间
Dialogue: 0,0:06:22.11,0:06:26.62,Default,,0000,0000,0000,,x小于等于c
Dialogue: 0,0:06:26.62,0:06:28.37,Default,,0000,0000,0000,,小于等于
Dialogue: 0,0:06:28.37,0:06:36.94,Default,,0000,0000,0000,,x+Δx，使得函数在c的值
Dialogue: 0,0:06:36.94,0:06:40.71,Default,,0000,0000,0000,,f(c)--让我画出c。
Dialogue: 0,0:06:40.71,0:06:43.21,Default,,0000,0000,0000,,c是这里的某个点
Dialogue: 0,0:06:43.21,0:06:46.24,Default,,0000,0000,0000,,所以说，函数在c点的值
Dialogue: 0,0:06:46.24,0:06:48.100,Default,,0000,0000,0000,,这边是f(c)。
Dialogue: 0,0:06:48.100,0:06:50.79,Default,,0000,0000,0000,,函数在c点的值
Dialogue: 0,0:06:50.79,0:06:52.21,Default,,0000,0000,0000,,就是
Dialogue: 0,0:06:52.21,0:06:55.52,Default,,0000,0000,0000,,这条线的高，然后乘以底，
Dialogue: 0,0:06:55.52,0:06:57.96,Default,,0000,0000,0000,,这段区间，如果乘以这段区间
Dialogue: 0,0:06:57.96,0:06:59.86,Default,,0000,0000,0000,,长度就是Δx，
Dialogue: 0,0:06:59.86,0:07:02.42,Default,,0000,0000,0000,,x+Δx减去x，就是Δx。
Dialogue: 0,0:07:02.42,0:07:07.14,Default,,0000,0000,0000,,如果我直接用高乘以底，
Dialogue: 0,0:07:07.14,0:07:14.18,Default,,0000,0000,0000,,就等于曲线下的面积，
Dialogue: 0,0:07:14.18,0:07:24.01,Default,,0000,0000,0000,,也就是f(t)从x到x+Δx的定积分。
Dialogue: 0,0:07:24.01,0:07:27.32,Default,,0000,0000,0000,,这也是积分均值定理（mean value theorem）的内容。
Dialogue: 0,0:07:27.32,0:07:29.16,Default,,0000,0000,0000,,如果f是连续函数，
Dialogue: 0,0:07:29.16,0:07:34.46,Default,,0000,0000,0000,,那么区间内存在一个点c
Dialogue: 0,0:07:34.46,0:07:37.82,Default,,0000,0000,0000,,函数在c点的值
Dialogue: 0,0:07:37.82,0:07:39.53,Default,,0000,0000,0000,,就是高度的平均值。
Dialogue: 0,0:07:39.53,0:07:41.65,Default,,0000,0000,0000,,如果你取函数的平均值
Dialogue: 0,0:07:41.65,0:07:43.18,Default,,0000,0000,0000,,然后乘以底，
Dialogue: 0,0:07:43.18,0:07:44.81,Default,,0000,0000,0000,,就得到了曲线以下的面积。
Dialogue: 0,0:07:44.81,0:07:46.18,Default,,0000,0000,0000,,另一种说法，
Dialogue: 0,0:07:46.18,0:07:49.77,Default,,0000,0000,0000,,你可以说区间内存在点c
Dialogue: 0,0:07:49.77,0:07:53.45,Default,,0000,0000,0000,,f(c)等于1除以Δx
Dialogue: 0,0:07:53.45,0:07:57.84,Default,,0000,0000,0000,,两边同除以Δx--乘以
Dialogue: 0,0:07:57.84,0:08:02.53,Default,,0000,0000,0000,,f(t)从x到x+Δx的定积分。
Dialogue: 0,0:08:02.53,0:08:05.02,Default,,0000,0000,0000,,这个也被称作函数
Dialogue: 0,0:08:05.02,0:08:06.44,Default,,0000,0000,0000,,在区间内的均值。
Dialogue: 0,0:08:06.44,0:08:07.41,Default,,0000,0000,0000,,这是为什么呢？
Dialogue: 0,0:08:07.41,0:08:11.41,Default,,0000,0000,0000,,这个积分给出了面积，
Dialogue: 0,0:08:11.41,0:08:13.17,Default,,0000,0000,0000,,然后面积除以底，
Dialogue: 0,0:08:13.17,0:08:14.89,Default,,0000,0000,0000,,就得到高的平均值。
Dialogue: 0,0:08:14.89,0:08:16.35,Default,,0000,0000,0000,,另外一种表达方式，
Dialogue: 0,0:08:16.35,0:08:18.85,Default,,0000,0000,0000,,用高，乘上
Dialogue: 0,0:08:18.85,0:08:20.79,Default,,0000,0000,0000,,底边长，就能得到
Dialogue: 0,0:08:20.79,0:08:24.56,Default,,0000,0000,0000,,和曲线以下面积相等的长方形。
Dialogue: 0,0:08:24.56,0:08:26.33,Default,,0000,0000,0000,,这个定理很强大，因为
Dialogue: 0,0:08:26.33,0:08:30.43,Default,,0000,0000,0000,,这就是F(x)的导数。
Dialogue: 0,0:08:30.43,0:08:34.33,Default,,0000,0000,0000,,所以必定存在一个c，令f(c)
Dialogue: 0,0:08:34.33,0:08:35.37,Default,,0000,0000,0000,,等于它。
Dialogue: 0,0:08:35.37,0:08:38.77,Default,,0000,0000,0000,,或者我们可以说极限，让我用新颜色
Dialogue: 0,0:08:38.77,0:08:39.92,Default,,0000,0000,0000,,换个写法。
Dialogue: 0,0:08:39.92,0:08:47.64,Default,,0000,0000,0000,,所以，在x到x+Δx内
Dialogue: 0,0:08:47.64,0:08:56.25,Default,,0000,0000,0000,,存在一个c令F'(x)，我们知道F'(x)就等于这个部分。
Dialogue: 0,0:08:56.25,0:09:00.33,Default,,0000,0000,0000,,我们现在知道它就等于当Δx趋向于0
Dialogue: 0,0:09:00.33,0:09:02.92,Default,,0000,0000,0000,,的极限。
Dialogue: 0,0:09:02.92,0:09:04.42,Default,,0000,0000,0000,,换个写法，
Dialogue: 0,0:09:04.42,0:09:07.92,Default,,0000,0000,0000,,我们知道存在一个c等于这个部分，
Dialogue: 0,0:09:07.92,0:09:10.42,Default,,0000,0000,0000,,f(c)。
Dialogue: 0,0:09:10.42,0:09:12.37,Default,,0000,0000,0000,,现在只剩最后一步了。
Dialogue: 0,0:09:12.37,0:09:14.87,Default,,0000,0000,0000,,我们只需要找出当Δx趋于0时
Dialogue: 0,0:09:14.87,0:09:17.79,Default,,0000,0000,0000,,f(c)的极限。
Dialogue: 0,0:09:17.79,0:09:20.57,Default,,0000,0000,0000,,一个重要的条件就是这个。
Dialogue: 0,0:09:20.57,0:09:24.69,Default,,0000,0000,0000,,我们知道c恒大于x，
Dialogue: 0,0:09:24.69,0:09:25.96,Default,,0000,0000,0000,,恒小于x+Δx。
Dialogue: 0,0:09:25.96,0:09:27.75,Default,,0000,0000,0000,,直觉告诉我们，
Dialogue: 0,0:09:27.75,0:09:33.45,Default,,0000,0000,0000,,当Δx趋于0时，这条绿色的线
Dialogue: 0,0:09:33.45,0:09:36.80,Default,,0000,0000,0000,,会慢慢往左移，当它靠近
Dialogue: 0,0:09:36.80,0:09:43.75,Default,,0000,0000,0000,,蓝色线段时，c必须在两条线中间，
Dialogue: 0,0:09:43.75,0:09:46.28,Default,,0000,0000,0000,,所以c也会同时向x靠近。
Dialogue: 0,0:09:46.28,0:09:51.18,Default,,0000,0000,0000,,所以我们知道当Δx趋近于0时，
Dialogue: 0,0:09:51.18,0:09:56.89,Default,,0000,0000,0000,,c趋向于x。
Dialogue: 0,0:09:56.89,0:10:00.12,Default,,0000,0000,0000,,或者换一种说法，当Δx趋近于0时，
Dialogue: 0,0:10:00.12,0:10:07.20,Default,,0000,0000,0000,,f(c)趋向于f(x)。
Dialogue: 0,0:10:07.20,0:10:09.35,Default,,0000,0000,0000,,那么直觉推断，我们可以说
Dialogue: 0,0:10:09.35,0:10:14.13,Default,,0000,0000,0000,,它就等于f(x)。
Dialogue: 0,0:10:14.13,0:10:15.92,Default,,0000,0000,0000,,你可能会说，这个是凭感觉写出来的，
Dialogue: 0,0:10:15.92,0:10:18.09,Default,,0000,0000,0000,,虽然你做了一点证明，
Dialogue: 0,0:10:18.09,0:10:18.88,Default,,0000,0000,0000,,但是Sal，
Dialogue: 0,0:10:18.88,0:10:21.31,Default,,0000,0000,0000,,我需要知道x确实趋近于c。
Dialogue: 0,0:10:21.31,0:10:23.85,Default,,0000,0000,0000,,不要只是通过画图
Dialogue: 0,0:10:23.85,0:10:25.22,Default,,0000,0000,0000,,凭直觉说c会越来越
Dialogue: 0,0:10:25.22,0:10:26.95,Default,,0000,0000,0000,,接近x。
Dialogue: 0,0:10:26.95,0:10:28.65,Default,,0000,0000,0000,,如果你真的想要确凿证据，你只需要
Dialogue: 0,0:10:28.65,0:10:30.45,Default,,0000,0000,0000,,采用夹逼定理（squeeze theorem）。
Dialogue: 0,0:10:30.45,0:10:31.99,Default,,0000,0000,0000,,如何应用夹逼定理，
Dialogue: 0,0:10:31.99,0:10:34.61,Default,,0000,0000,0000,,你只需要把c当成Δx的函数。
Dialogue: 0,0:10:34.61,0:10:35.34,Default,,0000,0000,0000,,事实也是如此。
Dialogue: 0,0:10:35.34,0:10:37.92,Default,,0000,0000,0000,,根据Δx不同，c可能会往左
Dialogue: 0,0:10:37.92,0:10:39.47,Default,,0000,0000,0000,,或者往右。
Dialogue: 0,0:10:39.47,0:10:41.45,Default,,0000,0000,0000,,所以我可以把这个表达式重写写为
Dialogue: 0,0:10:41.45,0:10:46.98,Default,,0000,0000,0000,,c(Δx)大于等于x，
Dialogue: 0,0:10:46.98,0:10:50.03,Default,,0000,0000,0000,,小于等于x+Δx。
Dialogue: 0,0:10:50.03,0:10:53.02,Default,,0000,0000,0000,,现在你可以看到，c永远位于x和
Dialogue: 0,0:10:53.02,0:10:54.32,Default,,0000,0000,0000,,x+Δx中间。
Dialogue: 0,0:10:54.32,0:10:58.78,Default,,0000,0000,0000,,当Δx趋近0时，x的极限是多少？
Dialogue: 0,0:10:58.78,0:11:01.04,Default,,0000,0000,0000,,x跟Δx无关，
Dialogue: 0,0:11:01.04,0:11:03.50,Default,,0000,0000,0000,,所以这个就等于x。
Dialogue: 0,0:11:03.50,0:11:10.60,Default,,0000,0000,0000,,当Δx趋近0时，x+Δx的极限是多少？
Dialogue: 0,0:11:10.60,0:11:12.20,Default,,0000,0000,0000,,当Δx趋近0时，
Dialogue: 0,0:11:12.20,0:11:14.15,Default,,0000,0000,0000,,这就等于x。
Dialogue: 0,0:11:14.15,0:11:17.37,Default,,0000,0000,0000,,那么如果当Δx趋向0时，这个部分趋向于x，
Dialogue: 0,0:11:17.37,0:11:19.19,Default,,0000,0000,0000,,且小于c(Δx)这个函数，
Dialogue: 0,0:11:19.19,0:11:22.08,Default,,0000,0000,0000,,当Δx趋近0时，这个部分趋向于x，
Dialogue: 0,0:11:22.08,0:11:23.95,Default,,0000,0000,0000,,它恒大于c(Δx)，
Dialogue: 0,0:11:23.95,0:11:27.00,Default,,0000,0000,0000,,那么由夹逼定理得知
Dialogue: 0,0:11:27.00,0:11:29.86,Default,,0000,0000,0000,,当Δx趋向于0
Dialogue: 0,0:11:29.86,0:11:34.18,Default,,0000,0000,0000,,c(Δx)
Dialogue: 0,0:11:34.18,0:11:38.48,Default,,0000,0000,0000,,也将趋向于x。
Dialogue: 0,0:11:38.48,0:11:40.94,Default,,0000,0000,0000,,他们都趋向于同一个值。
Dialogue: 0,0:11:40.94,0:11:42.95,Default,,0000,0000,0000,,它被夹在中间。
Dialogue: 0,0:11:42.95,0:11:45.16,Default,,0000,0000,0000,,通过三明治定理（夹逼定理）
Dialogue: 0,0:11:45.16,0:11:46.95,Default,,0000,0000,0000,,我们更加严格地得到了
Dialogue: 0,0:11:46.95,0:11:48.58,Default,,0000,0000,0000,,相同的结论。
Dialogue: 0,0:11:48.58,0:11:52.82,Default,,0000,0000,0000,,当Δx趋近0时，c趋近x。
Dialogue: 0,0:11:52.82,0:11:57.91,Default,,0000,0000,0000,,如果c趋近x，那么f(c)将趋近f(x)。
Dialogue: 0,0:11:57.91,0:12:00.85,Default,,0000,0000,0000,,证明完毕！
Dialogue: 0,0:12:00.85,0:12:02.25,Default,,0000,0000,0000,,F是连续函数。
Dialogue: 0,0:12:02.25,0:12:06.82,Default,,0000,0000,0000,,我们定义了F，
Dialogue: 0,0:12:06.82,0:12:10.50,Default,,0000,0000,0000,,然后通过导数的定义
Dialogue: 0,0:12:10.50,0:12:14.13,Default,,0000,0000,0000,,得到：F(x)的导数
Dialogue: 0,0:12:14.13,0:12:21.50,Default,,0000,0000,0000,,等于f(x)。
Dialogue: 0,0:12:21.50,0:12:25.08,Default,,0000,0000,0000,,他的重要意义是什么？
Dialogue: 0,0:12:25.08,0:12:27.77,Default,,0000,0000,0000,,它告诉你，对于任何
Dialogue: 0,0:12:27.77,0:12:29.09,Default,,0000,0000,0000,,连续函数f--这是一个假设。
Dialogue: 0,0:12:29.09,0:12:32.88,Default,,0000,0000,0000,,我们假设f在区间内是连续的--
Dialogue: 0,0:12:32.88,0:12:35.46,Default,,0000,0000,0000,,存在某个函数
Dialogue: 0,0:12:35.46,0:12:37.34,Default,,0000,0000,0000,,可以定义为
Dialogue: 0,0:12:37.34,0:12:41.17,Default,,0000,0000,0000,,曲线下的两点之间的面积
Dialogue: 0,0:12:41.17,0:12:43.45,Default,,0000,0000,0000,,比如说到点x--如果你构造了一个这样的
Dialogue: 0,0:12:43.45,0:12:46.19,Default,,0000,0000,0000,,函数，该函数的导数
Dialogue: 0,0:12:46.19,0:12:49.13,Default,,0000,0000,0000,,就等于这个连续函数本身。
Dialogue: 0,0:12:49.13,0:12:51.61,Default,,0000,0000,0000,,换一种说法，
Dialogue: 0,0:12:51.61,0:12:55.02,Default,,0000,0000,0000,,你总能找到连续函数的不定积分，
Dialogue: 0,0:12:55.02,0:12:56.44,Default,,0000,0000,0000,,所有连续函数都存在不定积分。
Dialogue: 0,0:12:56.44,0:12:58.07,Default,,0000,0000,0000,,一系列非常厉害的结论。
Dialogue: 0,0:12:58.07,0:13:00.25,Default,,0000,0000,0000,,任何连续函数都存在不定积分。
Dialogue: 0,0:13:00.25,0:13:03.92,Default,,0000,0000,0000,,它就是F(x)。
Dialogue: 0,0:13:03.92,0:13:06.05,Default,,0000,0000,0000,,所以它被称为
Dialogue: 0,0:13:06.05,0:13:07.09,Default,,0000,0000,0000,,微积分基本定理。
Dialogue: 0,0:13:07.09,0:13:09.50,Default,,0000,0000,0000,,它将这两个想法联系在一起。
Dialogue: 0,0:13:09.50,0:13:11.25,Default,,0000,0000,0000,,我们有微分。
Dialogue: 0,0:13:11.25,0:13:14.76,Default,,0000,0000,0000,,我们有导数。
Dialogue: 0,0:13:14.76,0:13:16.21,Default,,0000,0000,0000,,然后有积分，
Dialogue: 0,0:13:16.21,0:13:17.91,Default,,0000,0000,0000,,有积分的概念。
Dialogue: 0,0:13:17.91,0:13:20.67,Default,,0000,0000,0000,,在证明之前，我们只是把积分
Dialogue: 0,0:13:20.67,0:13:22.60,Default,,0000,0000,0000,,看作曲线下的面积。
Dialogue: 0,0:13:22.60,0:13:24.22,Default,,0000,0000,0000,,这仅仅是一个描述
Dialogue: 0,0:13:24.22,0:13:26.33,Default,,0000,0000,0000,,曲线下面积的符号。
Dialogue: 0,0:13:26.33,0:13:29.05,Default,,0000,0000,0000,,但现在我们可以在积分和导数
Dialogue: 0,0:13:29.05,0:13:31.67,Default,,0000,0000,0000,,之间建立联系，
Dialogue: 0,0:13:31.67,0:13:34.68,Default,,0000,0000,0000,,或者说定积分和不定积分
Dialogue: 0,0:13:34.68,0:13:35.51,Default,,0000,0000,0000,,的联系。
Dialogue: 0,0:13:35.51,0:13:40.17,Default,,0000,0000,0000,,这个定理非常非常非常强有力的把所有
Dialogue: 0,0:13:40.17,0:13:42.49,Default,,0000,0000,0000,,微积分联系起来--我们已经习惯了这个方法，
Dialogue: 0,0:13:42.49,0:13:44.69,Default,,0000,0000,0000,,可能已经习以为常了，
Dialogue: 0,0:13:44.69,0:13:45.61,Default,,0000,0000,0000,,但是记住！它很容易搞混。
Dialogue: 0,0:13:45.61,0:13:47.06,Default,,0000,0000,0000,,我们经常把定积分
Dialogue: 0,0:13:47.06,0:13:48.52,Default,,0000,0000,0000,,和不定积分等同，
Dialogue: 0,0:13:48.52,0:13:49.62,Default,,0000,0000,0000,,但这种说法不够完备。
Dialogue: 0,0:13:49.62,0:13:51.66,Default,,0000,0000,0000,,如果你只把积分当成面积，
Dialogue: 0,0:13:51.66,0:13:53.37,Default,,0000,0000,0000,,你必须一步一步证明
Dialogue: 0,0:13:53.37,0:13:57.60,Default,,0000,0000,0000,,定积分和求导
Dialogue: 0,0:13:57.60,0:13:59.45,Default,,0000,0000,0000,,的关系。