假设我们有一个函数f
该函数在区间a到b是连续的。
我们试试能不能把它画出来。
那么，这是我的y轴。
这边是t轴。
x留着待会再用。
这是我的t轴。
然后这边的
是y=f(t)的图像。
我们说该函数在区间a到b是连续的。
所以这是t=a
这是t=b
所以我们说它在整个区间内
是连续的。
现在，我们来定义一个函数F(x)
用蓝色来表示
我们定义F(x)为函数f(t)
的下界a到x的定积分
换个颜色，f(t)dt，
x介于a和b之间，x大于等于a
小于等于b。
换种说法
x在这段区间内。
当你看到这里，你会说，
定积分肯定和微积分
不定积分这些有关。
但事实上我们还不知道。
我们只知道，
这个是区间a到x曲线下方的面积，
这边是x。
所以F(x)就是这块面积。
这就是我们全部知道的。
我们目前还不知道
这是否和不定积分有关系。
我们将在这个视频里来证明。
为了有趣，我们来求f的导数。
我们只需要通过
导数的定义
看看通过导数的定义
求导会得出什么结论。
F(x)的导数F'(x)--根据定义，
它是当Δx趋于0时，
F(x+Δx)-F(x)
除以F(x+Δx)的极限。
这就是导数的定义。
那么它等于什么？
让我把上面的定积分带入进公式展开。
它就等于当Δx趋于0时
的极限--F(x+Δx)等于多少？
将x带入。
你将得到f(t)从a到x+Δx的
定积分。
然后减去
F(x)，也就是
f(t)从a到x的定积分，
所有的这部分除以Δx。
那么这个表达了什么？
记住，我们不知道什么是定积分
或者不定积分
什么都不知道。
我们只知道，这只是曲线f在a到x+Δx之间面积
的另一种表示方法。
这整个部分的面积。
就是这个部分。
我们已经知道了蓝框里面表达式的意义。
让我用同样的蓝色来画阴影。
这个蓝色字体的表达式，
等于所有的蓝色阴影部分面积。
我们已经涂上了阴影。
和这块部分相等。
如果要算整个绿色区域的面积，
就是从a到x+Δx的面积，然后减去
蓝色区域的面积，
它正好就是分子的差。
这部分的差就是--哪个
颜色还没用过？
要不就用粉色。
用过了。
我就用紫色。
这就是剩余的面积。
如何表达紫色部分的面积？
可以表示为
f(t)从x到x+Δx的
定积分。
所以，我们可以重写整个表达式，
F(x)的导数--这个是F'(x)
我们可以把它等价为Δx趋近0时的极限
--我可以写作1除以
Δx乘以分子部分。
我们已经知道分子是什么。
绿色的面积减去蓝色面积就是紫色面积，
另一种表达紫色面积的方式
就是这个。
所以1比上Δx乘以
f(t)从x到x+Δx的定积分。
那么这个表达式很有趣。
它和定积分的
均值定理很相似。
定积分的均值定理
告诉我们区间内存在一个点c
我用这种方式表达
a小于等于c，小于等于
我们尽量写清楚点。
我们关心的是x到x+Δx的区间
x小于等于c
小于等于
x+Δx，使得函数在c的值
f(c)--让我画出c。
c是这里的某个点
所以说，函数在c点的值
这边是f(c)。
函数在c点的值
就是
这条线的高，然后乘以底，
这段区间，如果乘以这段区间
长度就是Δx，
x+Δx减去x，就是Δx。
如果我直接用高乘以底，
就等于曲线下的面积，
也就是f(t)从x到x+Δx的定积分。
这也是积分均值定理（mean value theorem）的内容。
如果f是连续函数，
那么区间内存在一个点c
函数在c点的值
就是高度的平均值。
如果你取函数的平均值
然后乘以底，
就得到了曲线以下的面积。
另一种说法，
你可以说区间内存在点c
f(c)等于1除以Δx
两边同除以Δx--乘以
f(t)从x到x+Δx的定积分。
这个也被称作函数
在区间内的均值。
这是为什么呢？
这个积分给出了面积，
然后面积除以底，
就得到高的平均值。
另外一种表达方式，
用高，乘上
底边长，就能得到
和曲线以下面积相等的长方形。
这个定理很强大，因为
这就是F(x)的导数。
所以必定存在一个c，令f(c)
等于它。
或者我们可以说极限，让我用新颜色
换个写法。
所以，在x到x+Δx内
存在一个c令F'(x)，我们知道F'(x)就等于这个部分。
我们现在知道它就等于当Δx趋向于0
的极限。
换个写法，
我们知道存在一个c等于这个部分，
f(c)。
现在只剩最后一步了。
我们只需要找出当Δx趋于0时
f(c)的极限。
一个重要的条件就是这个。
我们知道c恒大于x，
恒小于x+Δx。
直觉告诉我们，
当Δx趋于0时，这条绿色的线
会慢慢往左移，当它靠近
蓝色线段时，c必须在两条线中间，
所以c也会同时向x靠近。
所以我们知道当Δx趋近于0时，
c趋向于x。
或者换一种说法，当Δx趋近于0时，
f(c)趋向于f(x)。
那么直觉推断，我们可以说
它就等于f(x)。
你可能会说，这个是凭感觉写出来的，
虽然你做了一点证明，
但是Sal，
我需要知道x确实趋近于c。
不要只是通过画图
凭直觉说c会越来越
接近x。
如果你真的想要确凿证据，你只需要
采用夹逼定理（squeeze theorem）。
如何应用夹逼定理，
你只需要把c当成Δx的函数。
事实也是如此。
根据Δx不同，c可能会往左
或者往右。
所以我可以把这个表达式重写写为
c(Δx)大于等于x，
小于等于x+Δx。
现在你可以看到，c永远位于x和
x+Δx中间。
当Δx趋近0时，x的极限是多少？
x跟Δx无关，
所以这个就等于x。
当Δx趋近0时，x+Δx的极限是多少？
当Δx趋近0时，
这就等于x。
那么如果当Δx趋向0时，这个部分趋向于x，
且小于c(Δx)这个函数，
当Δx趋近0时，这个部分趋向于x，
它恒大于c(Δx)，
那么由夹逼定理得知
当Δx趋向于0
c(Δx)
也将趋向于x。
他们都趋向于同一个值。
它被夹在中间。
通过三明治定理（夹逼定理）
我们更加严格地得到了
相同的结论。
当Δx趋近0时，c趋近x。
如果c趋近x，那么f(c)将趋近f(x)。
证明完毕！
F是连续函数。
我们定义了F，
然后通过导数的定义
得到：F(x)的导数
等于f(x)。
他的重要意义是什么？
它告诉你，对于任何
连续函数f--这是一个假设。
我们假设f在区间内是连续的--
存在某个函数
可以定义为
曲线下的两点之间的面积
比如说到点x--如果你构造了一个这样的
函数，该函数的导数
就等于这个连续函数本身。
换一种说法，
你总能找到连续函数的不定积分，
所有连续函数都存在不定积分。
一系列非常厉害的结论。
任何连续函数都存在不定积分。
它就是F(x)。
所以它被称为
微积分基本定理。
它将这两个想法联系在一起。
我们有微分。
我们有导数。
然后有积分，
有积分的概念。
在证明之前，我们只是把积分
看作曲线下的面积。
这仅仅是一个描述
曲线下面积的符号。
但现在我们可以在积分和导数
之间建立联系，
或者说定积分和不定积分
的联系。
这个定理非常非常非常强有力的把所有
微积分联系起来--我们已经习惯了这个方法，
可能已经习以为常了，
但是记住！它很容易搞混。
我们经常把定积分
和不定积分等同，
但这种说法不够完备。
如果你只把积分当成面积，
你必须一步一步证明
定积分和求导
的关系。