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Pausiere das Video und versuche, den rationalen
Ausdruck in Pink von dem in Gelb zu subtrahieren.
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Okay, jetzt machen wir es zusammen.
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Zuerst fällt auf, dass die Ausdrücke
unterschiedliche Nenner haben,
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und du willst, dass beide denselben Nenner haben.
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Du willst sie also umschreiben, sodass
sie einen gemeinsamen Nenner haben.
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Ein gemeinsamer Nenner der funktionieren würde,
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ist einer der durch beide dieser Nenner teilbar ist.
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Er hat also alle Faktoren von jedem dieser Nenner,
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und zu unserem Glück ist jeder dieser
Nenner bereits in Faktoren zerlegt.
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Ich schreibe also den Ausdruck
in Gelb und den in Pink nochmal auf.
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Wir wollen einen gemeinsamen Nenner finden,
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der sowohl durch den gelben,
als auch den pinken Nenner teilbar ist.
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Er muss also (z + 8) beinhalten.
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Er muss (9z - 5) beinhalten.
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Und er muss auch diese beiden beinhalten.
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(9z - 5) haben wir bereits.
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Also muss er durch (z + 6) teilbar sein.
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Nur dadurch, dass wir den Nenner
mit (z + 6) multipliziert haben,
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können wir jetzt durch beide dieser Faktoren teilen,
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und beide dieser Faktoren teilen, da (9z - 5)
der gemeinsame Faktor von beiden war.
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Und wenn wir nur Zahlen hätten, die wir
bei Brüchen addieren oder subtrahieren,
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würde es genauso funktionieren.
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Was steht also im Zähler?
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Da wir den Nenner mit (z + 6) multipliziert haben,
müssen wir dasselbe mit dem Zähler machen.
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Im Zähler steht also -z³(z + 6).
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Kommen wir zum rechten Bruch.
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Wir haben denselben Nenner,
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also schreiben wir (z + 8)(z + 6)(9z - 5).
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Die Nenner sind gleichwertig.
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Ich habe nur die Reihenfolge
der Multiplikation geändert,
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das ändert aber nichts am Wert.
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Wir hatten vorher eine 3 im Zähler,
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und wenn wir den Nenner mit (z + 8) multiplizieren,
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müssen wir den Zähler auch mit (z + 8) multiplizieren.
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Das haben wir.
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Was ergibt das alles?
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Ich habe denselben Nenner.
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(z + 8)(9z - 5)(z + 6).
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Hier wollen wir -z³ ausmultiplizieren.
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-z³ ⋅ z = -z⁴.
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-z³ ⋅ 6 = -6z³.
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Bei diesem Minus hier, könnten wir,
anstatt den ganzen Term zu subtrahieren,
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einfach das Negative des Terms addieren.
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Wir könnten es als -3(z + 8) betrachten.
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Das könnten wir ausmultiplizieren.
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Also machen wir das.
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-3 ⋅ z = -3z.
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-3 ⋅ 8 = -24.
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Wir sind fertig.
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Wir haben einen gemeinsamen Nenner gefunden.
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Und sobald du einen gemeinsamen Nenner hast,
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kannst du die Zähler einfach subtrahieren oder addieren,
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und anstatt diesen ganzen Term zu subtrahieren,
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habe ich addiert und die -3 im Zähler ausmultipliziert.
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Ich kann nicht weiter vereinfachen.
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Manchmal machst du eine dieser Übungen
und hast vielleicht zwei Terme zweiten Grades,
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oder zwei Terme ersten Grades oder
zwei konstante Terme oder so etwas,
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und dann könntest du sie addieren oder
subtrahieren, um sie zu vereinfachen.
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Hier haben wir allerdings verschiedene Grade,
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also kann ich nicht weiter vereinfachen. Wir sind fertig.
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