-
La oss forestille oss, at vi levde for lang, lang tid siden.
-
La oss prøve å tenke over,
-
hvordan vi holdt styr på tiden uten klokke.
-
Alle klokker er basert på et gjentatt mønster,
-
som deler hele tiden opp i like store deler.
-
For å finne de gjentatte mønstrene
-
ser vi på himmelen.
-
Det er klart, at solen står opp og ned hver dag,
-
men når vi skal holde styr på lengre tidsrom,
-
skal vi se etter lengre sykluser.
-
Vi kan se på månen,
-
det ser ut som den vokser og minsker over mange dager.
-
Når vi teller antallet av dager mellom fullmåne,
-
finner vi ut av at, det er 29.
-
Det er sånn, man fant opp en måned.
-
Når vi skal prøve å dele 29 opp i like store deler,
-
finner vi ut av, at det er umulig.
-
Den eneste måneden, vi kan dele opp 29 i like store deler
-
er ved å splitte det opp i grupper av 1.
-
29 er nemlig et primtall.
-
Vi kan tenke på det som udelelig.
-
Hvis et tal kan bli delt opp i like store deler, som er større enn 1,
-
kaller vi det et sammensatt tall.
-
Hvis vi er nysgjerrige, kommer vi kanskje til å tenke på,
-
hvor mange primtall, det er,
-
og hvor store de blir.
-
La oss starte med å dele alle tall inn i 2 kategorier.
-
Vi setter primtallene til venstre
-
og de sammensatte tallene til høyre.
-
Til å starte med ser de ut til å være litt her og der.
-
Det ser ikke ut som det er et mønster.
-
La oss bruke en moderne teknikk
-
til å se det fulle bildet.
-
Teknikken er å bruke Ullam-spiralen.
-
Først stiller vi alle tall i rekkefølge
-
i en voksende spiral.
-
Så farger vi alle primtallene blå.
-
Til slutt forminsker vi bildet, så vi kan se millioner av tall.
-
Det her er primtallenes mønster,
-
som fortsetter og fortsetter for evig.
-
Utrolig nok er hele det her mønsterets struktur
-
fremdeles ikke løst i dag.
-
Vi har funnet noe.
-
La oss spole tiden frem
-
til omkring 300 år før vår tidsregning i gamle Grekenland.
-
En filosof kjent som Euclid fra Alexandria
-
forstod, at alle tall
-
kunne bli delt opp i de her 2 kategoriene.
-
Han begynte ved å finne ut av,
-
at alle tall kan bli dividert igjen og igjen,
-
inntil man når en gruppe av de minste, like store tall.
-
Per definisjon er de her små tallene
-
alltid primtall.
-
Han viste altså,
-
at alle tall på en måte er bygget ut av mindre primtall.
-
For å gjøre det klart kan vi forestille oss et univers
-
med alle tall og ignorere primtallene.
-
Vi kan velge et hvilket som helst sammensatt tall
-
og dividere det ned, og vi vil alltid stå tilbake med et primtall.
-
Euclid visste altså, at ethvert tall kan uttrykkes
-
ved å bruke en gruppe av mindre primtall.
-
Vi kan tenke på de her som byggeklosser.
-
Uansett hvilket tall vi velger,
-
kan vi alltid bygge det med noen mindre primtall.
-
Det er roten til oppdagelsen,
-
vi kaller den fundamentale teori om aritmetikk.
-
Vi kan velge ethvert tall. La oss for eksempel tal 30.
-
Nå kan vi finne alle de primtallene,
-
som går opp i det uten rest.
-
Det heter faktorisering.
-
Det vil gi oss primtallene.
-
I det her tilfelle er 2, 3 og 5 primfaktorene til 30.
-
Euclid fant ut av, at man kan gange
-
primfaktorene et vist antall ganger
-
og på den måten bygge et opprinnelige tall.
-
I det her tilfelle ganger vi bare
-
hver faktor med hverandre 1 gang for å bygge tallet 30.
-
2 ganger 3 ganger 5 er prim faktoriseringen for 30.
-
Vi kan tenke på det som en særlig nøkkel kombinasjon.
-
Det er ingen annen måte å bygge tallet 30 på
-
ved å bruke andre tall
-
ganget sammen.
-
Ethvert tall har altså 1,
-
og kun 1, prim faktorisering.
-
Man kan altså forestille seg,
-
at alle tall har en forskjellig lås.
-
Den unike nøkkelen til låsen
-
er den primfaktorisering.
-
Det er ikke 2 låser, som har den samme nøkkelen.
-
Det er ikke 2 tall, som har samme primfaktorisering.