0:00:04.420,0:00:07.221
La oss forestille oss, at vi levde for lang, lang tid siden.

0:00:07.221,0:00:09.468
La oss prøve å tenke over,

0:00:09.468,0:00:12.721
hvordan vi holdt styr på tiden uten klokke.

0:00:12.721,0:00:15.315
Alle klokker er basert på et gjentatt mønster,

0:00:15.315,0:00:18.890
som deler hele tiden opp i like store deler.

0:00:18.890,0:00:20.688
For å finne de gjentatte mønstrene

0:00:20.688,0:00:22.918
ser vi på himmelen.

0:00:22.918,0:00:24.902
Det er klart, at solen står opp og ned hver dag,

0:00:24.902,0:00:26.184
men når vi skal holde styr på lengre tidsrom,

0:00:26.184,0:00:28.760
skal vi se etter lengre sykluser.

0:00:28.760,0:00:30.811
Vi kan se på månen,

0:00:30.811,0:00:32.512
det ser ut som den vokser og minsker over mange dager.

0:00:32.512,0:00:33.853
Når vi teller antallet av dager mellom fullmåne,

0:00:33.853,0:00:36.578
finner vi ut av at, det er 29.

0:00:36.578,0:00:37.894
Det er sånn, man fant opp en måned.

0:00:37.894,0:00:38.978
Når vi skal prøve å dele 29 opp i like store deler,

0:00:38.978,0:00:40.910
finner vi ut av, at det er umulig.

0:00:40.910,0:00:42.833
Den eneste måneden, vi kan dele opp 29 i like store deler

0:00:42.833,0:00:45.873
er ved å splitte det opp i grupper av 1.

0:00:45.873,0:00:49.227
29 er nemlig et primtall.

0:00:49.227,0:00:51.676
Vi kan tenke på det som udelelig.

0:00:51.676,0:00:54.819
Hvis et tal kan bli delt opp i like store deler, som er større enn 1,

0:00:54.819,0:00:57.102
kaller vi det et sammensatt tall.

0:00:57.102,0:00:59.061
Hvis vi er nysgjerrige, kommer vi kanskje til å tenke på,

0:00:59.061,0:01:00.879
hvor mange primtall, det er,

0:01:00.879,0:01:02.814
og hvor store de blir.

0:01:02.814,0:01:04.621
La oss starte med å dele alle tall inn i 2 kategorier.

0:01:04.621,0:01:06.608
Vi setter primtallene til venstre

0:01:06.608,0:01:08.450
og de sammensatte tallene til høyre.

0:01:08.450,0:01:10.398
Til å starte med ser de ut til å være litt her og der.

0:01:10.398,0:01:13.744
Det ser ikke ut som det er et mønster.

0:01:13.744,0:01:15.611
La oss bruke en moderne teknikk

0:01:15.611,0:01:17.648
til å se det fulle bildet.

0:01:17.648,0:01:20.379
Teknikken er å bruke Ullam-spiralen.

0:01:20.379,0:01:23.017
Først stiller vi alle tall i rekkefølge

0:01:23.017,0:01:24.439
i en voksende spiral.

0:01:24.439,0:01:26.077
Så farger vi alle primtallene blå.

0:01:26.077,0:01:29.047
Til slutt forminsker vi bildet, så vi kan se millioner av tall.

0:01:29.047,0:01:32.011
Det her er primtallenes mønster,

0:01:32.011,0:01:34.043
som fortsetter og fortsetter for evig.

0:01:34.043,0:01:37.164
Utrolig nok er hele det her mønsterets struktur

0:01:37.164,0:01:41.290
fremdeles ikke løst i dag.

0:01:41.290,0:01:42.860
Vi har funnet noe.

0:01:42.860,0:01:45.365
La oss spole tiden frem

0:01:45.365,0:01:47.967
til omkring 300 år før vår tidsregning i gamle Grekenland.

0:01:47.967,0:01:50.314
En filosof kjent som Euclid fra Alexandria

0:01:50.314,0:01:51.843
forstod, at alle tall

0:01:51.843,0:01:52.987
kunne bli delt opp i de her 2 kategoriene.

0:01:52.987,0:01:55.526
Han begynte ved å finne ut av,

0:01:55.526,0:01:58.183
at alle tall kan bli dividert igjen og igjen,

0:01:58.183,0:01:59.411
inntil man når en gruppe av de minste, like store tall.

0:01:59.411,0:02:02.607
Per definisjon er de her små tallene

0:02:02.607,0:02:04.896
alltid primtall.

0:02:04.896,0:02:07.078
Han viste altså,

0:02:07.078,0:02:10.599
at alle tall på en måte er bygget ut av mindre primtall.

0:02:10.599,0:02:12.921
For å gjøre det klart kan vi forestille oss et univers

0:02:12.921,0:02:15.760
med alle tall og ignorere primtallene.

0:02:15.760,0:02:17.148
Vi kan velge et hvilket som helst sammensatt tall

0:02:17.148,0:02:20.542
og dividere det ned, og vi vil alltid stå tilbake med et primtall.

0:02:20.542,0:02:23.317
Euclid visste altså, at ethvert tall kan uttrykkes

0:02:23.317,0:02:25.674
ved å bruke en gruppe av mindre primtall.

0:02:25.674,0:02:28.037
Vi kan tenke på de her som byggeklosser.

0:02:28.037,0:02:30.518
Uansett hvilket tall vi velger,

0:02:30.518,0:02:33.354
kan vi alltid bygge det med noen mindre primtall.

0:02:33.354,0:02:34.774
Det er roten til oppdagelsen,

0:02:34.774,0:02:37.675
vi kaller den fundamentale teori om aritmetikk.

0:02:37.675,0:02:40.221
Vi kan velge ethvert tall. La oss for eksempel tal 30.

0:02:40.221,0:02:41.996
Nå kan vi finne alle de primtallene,

0:02:41.996,0:02:46.157
som går opp i det uten rest.

0:02:46.157,0:02:48.032
Det heter faktorisering.

0:02:48.032,0:02:50.759
Det vil gi oss primtallene.

0:02:50.759,0:02:52.013
I det her tilfelle er 2, 3 og 5 primfaktorene til 30.

0:02:52.013,0:02:53.934
Euclid fant ut av, at man kan gange

0:02:53.934,0:02:55.501
primfaktorene et vist antall ganger

0:02:55.501,0:02:57.233
og på den måten bygge et opprinnelige tall.

0:02:57.233,0:02:59.763
I det her tilfelle ganger vi bare

0:02:59.763,0:03:01.624
hver faktor med hverandre 1 gang for å bygge tallet 30.

0:03:01.624,0:03:05.811
2 ganger 3 ganger 5 er prim faktoriseringen for 30.

0:03:05.811,0:03:07.906
Vi kan tenke på det som en særlig nøkkel kombinasjon.

0:03:07.906,0:03:10.714
Det er ingen annen måte å bygge tallet 30 på

0:03:10.714,0:03:12.739
ved å bruke andre tall

0:03:12.739,0:03:13.780
ganget sammen.

0:03:13.780,0:03:16.178
Ethvert tall har altså 1,

0:03:16.178,0:03:20.158
og kun 1, prim faktorisering.

0:03:20.158,0:03:23.153
Man kan altså forestille seg,

0:03:23.153,0:03:24.887
at alle tall har en forskjellig lås.

0:03:24.887,0:03:27.110
Den unike nøkkelen til låsen

0:03:27.110,0:03:28.792
er den primfaktorisering.

0:03:28.792,0:03:31.276
Det er ikke 2 låser, som har den samme nøkkelen.

0:03:31.276,0:03:34.046
Det er ikke 2 tall, som har samme primfaktorisering.