WEBVTT 00:00:04.420 --> 00:00:07.221 La oss forestille oss, at vi levde for lang, lang tid siden. 00:00:07.221 --> 00:00:09.468 La oss prøve å tenke over, 00:00:09.468 --> 00:00:12.721 hvordan vi holdt styr på tiden uten klokke. 00:00:12.721 --> 00:00:15.315 Alle klokker er basert på et gjentatt mønster, 00:00:15.315 --> 00:00:18.890 som deler hele tiden opp i like store deler. 00:00:18.890 --> 00:00:20.688 For å finne de gjentatte mønstrene 00:00:20.688 --> 00:00:22.918 ser vi på himmelen. 00:00:22.918 --> 00:00:24.902 Det er klart, at solen står opp og ned hver dag, 00:00:24.902 --> 00:00:26.184 men når vi skal holde styr på lengre tidsrom, 00:00:26.184 --> 00:00:28.760 skal vi se etter lengre sykluser. 00:00:28.760 --> 00:00:30.811 Vi kan se på månen, 00:00:30.811 --> 00:00:32.512 det ser ut som den vokser og minsker over mange dager. 00:00:32.512 --> 00:00:33.853 Når vi teller antallet av dager mellom fullmåne, 00:00:33.853 --> 00:00:36.578 finner vi ut av at, det er 29. 00:00:36.578 --> 00:00:37.894 Det er sånn, man fant opp en måned. 00:00:37.894 --> 00:00:38.978 Når vi skal prøve å dele 29 opp i like store deler, 00:00:38.978 --> 00:00:40.910 finner vi ut av, at det er umulig. 00:00:40.910 --> 00:00:42.833 Den eneste måneden, vi kan dele opp 29 i like store deler 00:00:42.833 --> 00:00:45.873 er ved å splitte det opp i grupper av 1. 00:00:45.873 --> 00:00:49.227 29 er nemlig et primtall. 00:00:49.227 --> 00:00:51.676 Vi kan tenke på det som udelelig. 00:00:51.676 --> 00:00:54.819 Hvis et tal kan bli delt opp i like store deler, som er større enn 1, 00:00:54.819 --> 00:00:57.102 kaller vi det et sammensatt tall. 00:00:57.102 --> 00:00:59.061 Hvis vi er nysgjerrige, kommer vi kanskje til å tenke på, 00:00:59.061 --> 00:01:00.879 hvor mange primtall, det er, 00:01:00.879 --> 00:01:02.814 og hvor store de blir. 00:01:02.814 --> 00:01:04.621 La oss starte med å dele alle tall inn i 2 kategorier. 00:01:04.621 --> 00:01:06.608 Vi setter primtallene til venstre 00:01:06.608 --> 00:01:08.450 og de sammensatte tallene til høyre. 00:01:08.450 --> 00:01:10.398 Til å starte med ser de ut til å være litt her og der. 00:01:10.398 --> 00:01:13.744 Det ser ikke ut som det er et mønster. 00:01:13.744 --> 00:01:15.611 La oss bruke en moderne teknikk 00:01:15.611 --> 00:01:17.648 til å se det fulle bildet. 00:01:17.648 --> 00:01:20.379 Teknikken er å bruke Ullam-spiralen. 00:01:20.379 --> 00:01:23.017 Først stiller vi alle tall i rekkefølge 00:01:23.017 --> 00:01:24.439 i en voksende spiral. 00:01:24.439 --> 00:01:26.077 Så farger vi alle primtallene blå. 00:01:26.077 --> 00:01:29.047 Til slutt forminsker vi bildet, så vi kan se millioner av tall. 00:01:29.047 --> 00:01:32.011 Det her er primtallenes mønster, 00:01:32.011 --> 00:01:34.043 som fortsetter og fortsetter for evig. 00:01:34.043 --> 00:01:37.164 Utrolig nok er hele det her mønsterets struktur 00:01:37.164 --> 00:01:41.290 fremdeles ikke løst i dag. 00:01:41.290 --> 00:01:42.860 Vi har funnet noe. 00:01:42.860 --> 00:01:45.365 La oss spole tiden frem 00:01:45.365 --> 00:01:47.967 til omkring 300 år før vår tidsregning i gamle Grekenland. 00:01:47.967 --> 00:01:50.314 En filosof kjent som Euclid fra Alexandria 00:01:50.314 --> 00:01:51.843 forstod, at alle tall 00:01:51.843 --> 00:01:52.987 kunne bli delt opp i de her 2 kategoriene. 00:01:52.987 --> 00:01:55.526 Han begynte ved å finne ut av, 00:01:55.526 --> 00:01:58.183 at alle tall kan bli dividert igjen og igjen, 00:01:58.183 --> 00:01:59.411 inntil man når en gruppe av de minste, like store tall. 00:01:59.411 --> 00:02:02.607 Per definisjon er de her små tallene 00:02:02.607 --> 00:02:04.896 alltid primtall. 00:02:04.896 --> 00:02:07.078 Han viste altså, 00:02:07.078 --> 00:02:10.599 at alle tall på en måte er bygget ut av mindre primtall. 00:02:10.599 --> 00:02:12.921 For å gjøre det klart kan vi forestille oss et univers 00:02:12.921 --> 00:02:15.760 med alle tall og ignorere primtallene. 00:02:15.760 --> 00:02:17.148 Vi kan velge et hvilket som helst sammensatt tall 00:02:17.148 --> 00:02:20.542 og dividere det ned, og vi vil alltid stå tilbake med et primtall. 00:02:20.542 --> 00:02:23.317 Euclid visste altså, at ethvert tall kan uttrykkes 00:02:23.317 --> 00:02:25.674 ved å bruke en gruppe av mindre primtall. 00:02:25.674 --> 00:02:28.037 Vi kan tenke på de her som byggeklosser. 00:02:28.037 --> 00:02:30.518 Uansett hvilket tall vi velger, 00:02:30.518 --> 00:02:33.354 kan vi alltid bygge det med noen mindre primtall. 00:02:33.354 --> 00:02:34.774 Det er roten til oppdagelsen, 00:02:34.774 --> 00:02:37.675 vi kaller den fundamentale teori om aritmetikk. 00:02:37.675 --> 00:02:40.221 Vi kan velge ethvert tall. La oss for eksempel tal 30. 00:02:40.221 --> 00:02:41.996 Nå kan vi finne alle de primtallene, 00:02:41.996 --> 00:02:46.157 som går opp i det uten rest. 00:02:46.157 --> 00:02:48.032 Det heter faktorisering. 00:02:48.032 --> 00:02:50.759 Det vil gi oss primtallene. 00:02:50.759 --> 00:02:52.013 I det her tilfelle er 2, 3 og 5 primfaktorene til 30. 00:02:52.013 --> 00:02:53.934 Euclid fant ut av, at man kan gange 00:02:53.934 --> 00:02:55.501 primfaktorene et vist antall ganger 00:02:55.501 --> 00:02:57.233 og på den måten bygge et opprinnelige tall. 00:02:57.233 --> 00:02:59.763 I det her tilfelle ganger vi bare 00:02:59.763 --> 00:03:01.624 hver faktor med hverandre 1 gang for å bygge tallet 30. 00:03:01.624 --> 00:03:05.811 2 ganger 3 ganger 5 er prim faktoriseringen for 30. 00:03:05.811 --> 00:03:07.906 Vi kan tenke på det som en særlig nøkkel kombinasjon. 00:03:07.906 --> 00:03:10.714 Det er ingen annen måte å bygge tallet 30 på 00:03:10.714 --> 00:03:12.739 ved å bruke andre tall 00:03:12.739 --> 00:03:13.780 ganget sammen. 00:03:13.780 --> 00:03:16.178 Ethvert tall har altså 1, 00:03:16.178 --> 00:03:20.158 og kun 1, prim faktorisering. 00:03:20.158 --> 00:03:23.153 Man kan altså forestille seg, 00:03:23.153 --> 00:03:24.887 at alle tall har en forskjellig lås. 00:03:24.887 --> 00:03:27.110 Den unike nøkkelen til låsen 00:03:27.110 --> 00:03:28.792 er den primfaktorisering. 00:03:28.792 --> 00:03:31.276 Det er ikke 2 låser, som har den samme nøkkelen. 00:03:31.276 --> 00:03:34.046 Det er ikke 2 tall, som har samme primfaktorisering.