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Imaginons que nous vivons dans la préhistoire.
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Maintenant, demandons-nous :
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Comment compter les heures sans horloge ?
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Toutes les horloges utilisent un phénomène répétitif
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qui divise le temps en segments égaux.
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Pour identifier ces phénomènes,
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nous nous tournons vers le ciel.
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Le soleil qui se lève et se couche chaque jour
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est le plus évident.
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Cependant, pour de plus longues périodes de temps,
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il faut trouver des cycles plus longs.
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Pour cela, nous avons regardé la Lune,
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qui semble grossir progressivement
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puis diminuer pendant plusieurs jours.
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Si nous comptons le nombre de jours
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entre deux pleines lunes,
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nous obtenons le nombre 29.
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Ceci est l'origine du mois.
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Toutefois, si nous essayons de diviser 29 en morceaux égaux,
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nous nous trouvons face à un problème : c'est impossible.
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La seule manière de diviser 29 en morceaux égaux
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c'est de le ramener à des morceaux de 1.
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29 est un 'nombre premier'.
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On pourrait dire 'incassable'.
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Si un nombre peut être séparé
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en morceaux égaux plus grands que 1,
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nous l'appelons 'nombre composé'.
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Par curiosité, nous pourrious nous demander
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"Combien de nombres premiers existent-ils ?
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Et quels sont les plus grands ?"
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Commençons par séparer les nombres en deux catégories.
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Mettons les nombres premiers sur la gauche,
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et les composés sur la droite.
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À première vue, ils semblent aller et venir.
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Il n'y a pas de structure apparente.
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Alors utilisons une technique moderne
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pour aller plus loin.
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L'astuce est d'utiliser une 'spirale Ulam'.
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D'abord, nous inscrivons tous les nombres dans l'ordre
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dans une spirale.
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Ensuite, nous marquons les nombres premiers en bleu.
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Enfin, nous reculons pour voir des millions de nombres.
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Ceci est la structure des nombres premiers
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qui continue encore et encore sans s'arrêter.
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Étonnamment, la structure de ce motif
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est encore incomprise de nos jours.
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Il y a quelque chose là-dessous.
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Dirigeons nous donc vers 300 avant JC
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dans la Grèce antique.
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Un philosophe du nom d'Euclide d'Alexandrie
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comprit que tous les nombres
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pouvaient être séparés en deux catégories distinctes.
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Il nota tout d'abord que chaque nombre
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pouvait être divisé, et re-divisé,
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jusqu'à atteindre un groupe de plus petits nombres égaux.
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Et par définition, ces plus petits nombres
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sont toujours des nombres premiers.
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Donc il savait que tous les nombres sont construits
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d'une façon ou d'une autre de nombres premiers plus petits.
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Plus clairement, imaginez l'ensemble de tous les nombres,
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et ignorez les nombres premiers.
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Maintenant, choisissez un nombre composé
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et divisez-le
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et vous finissez toujours avec des nombres premiers.
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Euclide savait que chaque nombre
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pouvait être représenté par un groupe de nombres premiers plus petits.
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Ils peuvent être vus comme des briques.
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Quel que soit le nombre choisi,
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il peut être obtenu par une somme de nombres premiers plus petits.
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C'est l'essence de sa découverte
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connue sous le nom de 'théorème fondamental de l'arithmétique'
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comme suit :
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Prenez n'importe quel nombre, par exemple 30,
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et trouvez tous les nombres premiers
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qui peuvent le diviser.
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Cela s'appelle la factorisation.
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Cela nous donne les facteurs premiers,
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ici, 2, 3 et 5 sont les facteurs premiers de 30.
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Euclide a réalisé que l'on pouvait ensuite multiplier
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ces facteurs premiers un certain nombre de fois
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pour obtenir le nombre de départ.
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Ici, on multiplie juste
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chaque facteur une seule fois pour avoir 30.
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2 x 3 x 5 est la factorisation en nombres premiers de 30.
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Vous pouvez considérer ceci comme une clé ou une combinaison.
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Il n'y a pas d'autre façon de construire 30
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en utilisant d'autres nombres premiers
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et en les multipliant.
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Donc chaque nombre imaginable a une, et seulement une,
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factorisation en nombres premiers.
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Par analogie on peut imaginer les nombres
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comme de différentes serrures.
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La clé unique pour chaque serrure
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serait sa factorisation en nombres premiers.
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Il n'y a pas deux serrures qui ont la même clé.
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Il n'y a pas deux nombres qui ont la même factorisation en nombres premiers.
