WEBVTT 00:00:04.420 --> 00:00:07.221 Imaginons que nous vivons dans la préhistoire. 00:00:07.221 --> 00:00:09.468 Maintenant, demandons-nous : 00:00:09.468 --> 00:00:12.721 Comment compter les heures sans horloge ? 00:00:12.721 --> 00:00:15.315 Toutes les horloges utilisent un phénomène répétitif 00:00:15.315 --> 00:00:18.890 qui divise le temps en segments égaux. 00:00:18.890 --> 00:00:20.688 Pour identifier ces phénomènes, 00:00:20.688 --> 00:00:22.918 nous nous tournons vers le ciel. 00:00:22.918 --> 00:00:24.902 Le soleil qui se lève et se couche chaque jour 00:00:24.902 --> 00:00:26.184 est le plus évident. 00:00:26.184 --> 00:00:28.760 Cependant, pour de plus longues périodes de temps, 00:00:28.760 --> 00:00:30.811 il faut trouver des cycles plus longs. 00:00:30.811 --> 00:00:32.512 Pour cela, nous avons regardé la Lune, 00:00:32.512 --> 00:00:33.853 qui semble grossir progressivement 00:00:33.853 --> 00:00:36.578 puis diminuer pendant plusieurs jours. 00:00:36.578 --> 00:00:37.894 Si nous comptons le nombre de jours 00:00:37.894 --> 00:00:38.978 entre deux pleines lunes, 00:00:38.978 --> 00:00:40.910 nous obtenons le nombre 29. 00:00:40.910 --> 00:00:42.833 Ceci est l'origine du mois. 00:00:42.833 --> 00:00:45.873 Toutefois, si nous essayons de diviser 29 en morceaux égaux, 00:00:45.873 --> 00:00:49.227 nous nous trouvons face à un problème : c'est impossible. 00:00:49.227 --> 00:00:51.676 La seule manière de diviser 29 en morceaux égaux 00:00:51.676 --> 00:00:54.819 c'est de le ramener à des morceaux de 1. 00:00:54.819 --> 00:00:57.102 29 est un 'nombre premier'. 00:00:57.102 --> 00:00:59.061 On pourrait dire 'incassable'. 00:00:59.061 --> 00:01:00.879 Si un nombre peut être séparé 00:01:00.879 --> 00:01:02.814 en morceaux égaux plus grands que 1, 00:01:02.814 --> 00:01:04.621 nous l'appelons 'nombre composé'. 00:01:04.621 --> 00:01:06.608 Par curiosité, nous pourrious nous demander 00:01:06.608 --> 00:01:08.450 "Combien de nombres premiers existent-ils ? 00:01:08.450 --> 00:01:10.398 Et quels sont les plus grands ?" 00:01:10.398 --> 00:01:13.744 Commençons par séparer les nombres en deux catégories. 00:01:13.744 --> 00:01:15.611 Mettons les nombres premiers sur la gauche, 00:01:15.611 --> 00:01:17.648 et les composés sur la droite. 00:01:17.648 --> 00:01:20.379 À première vue, ils semblent aller et venir. 00:01:20.379 --> 00:01:23.017 Il n'y a pas de structure apparente. 00:01:23.017 --> 00:01:24.439 Alors utilisons une technique moderne 00:01:24.439 --> 00:01:26.077 pour aller plus loin. 00:01:26.077 --> 00:01:29.047 L'astuce est d'utiliser une 'spirale Ulam'. 00:01:29.047 --> 00:01:32.011 D'abord, nous inscrivons tous les nombres dans l'ordre 00:01:32.011 --> 00:01:34.043 dans une spirale. 00:01:34.043 --> 00:01:37.164 Ensuite, nous marquons les nombres premiers en bleu. 00:01:37.164 --> 00:01:41.290 Enfin, nous reculons pour voir des millions de nombres. 00:01:41.290 --> 00:01:42.860 Ceci est la structure des nombres premiers 00:01:42.860 --> 00:01:45.365 qui continue encore et encore sans s'arrêter. 00:01:45.365 --> 00:01:47.967 Étonnamment, la structure de ce motif 00:01:47.967 --> 00:01:50.314 est encore incomprise de nos jours. 00:01:50.314 --> 00:01:51.843 Il y a quelque chose là-dessous. 00:01:51.843 --> 00:01:54.357 Dirigeons nous donc vers 300 avant JC 00:01:54.357 --> 00:01:55.526 dans la Grèce antique. 00:01:55.526 --> 00:01:58.183 Un philosophe du nom d'Euclide d'Alexandrie 00:01:58.183 --> 00:01:59.411 comprit que tous les nombres 00:01:59.411 --> 00:02:02.607 pouvaient être séparés en deux catégories distinctes. 00:02:02.607 --> 00:02:04.896 Il nota tout d'abord que chaque nombre 00:02:04.896 --> 00:02:07.078 pouvait être divisé, et re-divisé, 00:02:07.078 --> 00:02:10.599 jusqu'à atteindre un groupe de plus petits nombres égaux. 00:02:10.599 --> 00:02:12.921 Et par définition, ces plus petits nombres 00:02:12.921 --> 00:02:15.760 sont toujours des nombres premiers. 00:02:15.760 --> 00:02:18.158 Donc il savait que tous les nombres sont construits 00:02:18.158 --> 00:02:20.542 d'une façon ou d'une autre de nombres premiers plus petits. 00:02:20.542 --> 00:02:23.317 Plus clairement, imaginez l'ensemble de tous les nombres, 00:02:23.317 --> 00:02:25.674 et ignorez les nombres premiers. 00:02:25.674 --> 00:02:28.037 Maintenant, choisissez un nombre composé 00:02:28.037 --> 00:02:30.518 et divisez-le 00:02:30.518 --> 00:02:33.354 et vous finissez toujours avec des nombres premiers. 00:02:33.354 --> 00:02:34.774 Euclide savait que chaque nombre 00:02:34.774 --> 00:02:37.675 pouvait être représenté par un groupe de nombres premiers plus petits. 00:02:37.675 --> 00:02:40.221 Ils peuvent être vus comme des briques. 00:02:40.221 --> 00:02:41.996 Quel que soit le nombre choisi, 00:02:41.996 --> 00:02:46.157 il peut être obtenu par une somme de nombres premiers plus petits. 00:02:46.157 --> 00:02:48.032 C'est l'essence de sa découverte 00:02:48.032 --> 00:02:50.759 connue sous le nom de 'théorème fondamental de l'arithmétique' 00:02:50.759 --> 00:02:52.013 comme suit : 00:02:52.013 --> 00:02:53.934 Prenez n'importe quel nombre, par exemple 30, 00:02:53.934 --> 00:02:55.501 et trouvez tous les nombres premiers 00:02:55.501 --> 00:02:57.233 qui peuvent le diviser. 00:02:57.233 --> 00:02:59.763 Cela s'appelle la factorisation. 00:02:59.763 --> 00:03:01.624 Cela nous donne les facteurs premiers, 00:03:01.624 --> 00:03:05.811 ici, 2, 3 et 5 sont les facteurs premiers de 30. 00:03:05.811 --> 00:03:07.906 Euclide a réalisé que l'on pouvait ensuite multiplier 00:03:07.906 --> 00:03:10.714 ces facteurs premiers un certain nombre de fois 00:03:10.714 --> 00:03:12.739 pour obtenir le nombre de départ. 00:03:12.739 --> 00:03:13.780 Ici, on multiplie juste 00:03:13.780 --> 00:03:16.178 chaque facteur une seule fois pour avoir 30. 00:03:16.178 --> 00:03:20.158 2 x 3 x 5 est la factorisation en nombres premiers de 30. 00:03:20.158 --> 00:03:23.153 Vous pouvez considérer ceci comme une clé ou une combinaison. 00:03:23.153 --> 00:03:24.887 Il n'y a pas d'autre façon de construire 30 00:03:24.887 --> 00:03:27.110 en utilisant d'autres nombres premiers 00:03:27.110 --> 00:03:28.792 et en les multipliant. 00:03:28.792 --> 00:03:31.276 Donc chaque nombre imaginable a une, et seulement une, 00:03:31.276 --> 00:03:34.046 factorisation en nombres premiers. 00:03:34.046 --> 00:03:36.299 Par analogie on peut imaginer les nombres 00:03:36.299 --> 00:03:38.017 comme de différentes serrures. 00:03:38.033 --> 00:03:39.722 La clé unique pour chaque serrure 00:03:39.722 --> 00:03:42.054 serait sa factorisation en nombres premiers. 00:03:42.054 --> 00:03:43.937 Il n'y a pas deux serrures qui ont la même clé. 00:03:43.937 --> 00:03:47.889 Il n'y a pas deux nombres qui ont la même factorisation en nombres premiers.