0:00:04.420,0:00:07.221
Imaginons que nous vivons dans la préhistoire.

0:00:07.221,0:00:09.468
Maintenant, demandons-nous :

0:00:09.468,0:00:12.721
Comment compter les heures sans horloge ?

0:00:12.721,0:00:15.315
Toutes les horloges utilisent un phénomène répétitif

0:00:15.315,0:00:18.890
qui divise le temps en segments égaux.

0:00:18.890,0:00:20.688
Pour identifier ces phénomènes,

0:00:20.688,0:00:22.918
nous nous tournons vers le ciel.

0:00:22.918,0:00:24.902
Le soleil qui se lève et se couche chaque jour

0:00:24.902,0:00:26.184
est le plus évident.

0:00:26.184,0:00:28.760
Cependant, pour de plus longues périodes de temps,

0:00:28.760,0:00:30.811
il faut trouver des cycles plus longs.

0:00:30.811,0:00:32.512
Pour cela, nous avons regardé la Lune,

0:00:32.512,0:00:33.853
qui semble grossir progressivement

0:00:33.853,0:00:36.578
puis diminuer pendant plusieurs jours.

0:00:36.578,0:00:37.894
Si nous comptons le nombre de jours

0:00:37.894,0:00:38.978
entre deux pleines lunes,

0:00:38.978,0:00:40.910
nous obtenons le nombre 29.

0:00:40.910,0:00:42.833
Ceci est l'origine du mois.

0:00:42.833,0:00:45.873
Toutefois, si nous essayons de diviser 29 en morceaux égaux,

0:00:45.873,0:00:49.227
nous nous trouvons face à un problème : c'est impossible.

0:00:49.227,0:00:51.676
La seule manière de diviser 29 en morceaux égaux

0:00:51.676,0:00:54.819
c'est de le ramener à des morceaux de 1.

0:00:54.819,0:00:57.102
29 est un 'nombre premier'.

0:00:57.102,0:00:59.061
On pourrait dire 'incassable'.

0:00:59.061,0:01:00.879
Si un nombre peut être séparé

0:01:00.879,0:01:02.814
en morceaux égaux plus grands que 1,

0:01:02.814,0:01:04.621
nous l'appelons 'nombre composé'.

0:01:04.621,0:01:06.608
Par curiosité, nous pourrious nous demander

0:01:06.608,0:01:08.450
"Combien de nombres premiers existent-ils ?

0:01:08.450,0:01:10.398
Et quels sont les plus grands ?"

0:01:10.398,0:01:13.744
Commençons par séparer les nombres en deux catégories.

0:01:13.744,0:01:15.611
Mettons les nombres premiers sur la gauche,

0:01:15.611,0:01:17.648
et les composés sur la droite.

0:01:17.648,0:01:20.379
À première vue, ils semblent aller et venir.

0:01:20.379,0:01:23.017
Il n'y a pas de structure apparente.

0:01:23.017,0:01:24.439
Alors utilisons une technique moderne

0:01:24.439,0:01:26.077
pour aller plus loin.

0:01:26.077,0:01:29.047
L'astuce est d'utiliser une 'spirale Ulam'.

0:01:29.047,0:01:32.011
D'abord, nous inscrivons tous les nombres dans l'ordre

0:01:32.011,0:01:34.043
dans une spirale.

0:01:34.043,0:01:37.164
Ensuite, nous marquons les nombres premiers en bleu.

0:01:37.164,0:01:41.290
Enfin, nous reculons pour voir des millions de nombres.

0:01:41.290,0:01:42.860
Ceci est la structure des nombres premiers

0:01:42.860,0:01:45.365
qui continue encore et encore sans s'arrêter.

0:01:45.365,0:01:47.967
Étonnamment, la structure de ce motif

0:01:47.967,0:01:50.314
est encore incomprise de nos jours.

0:01:50.314,0:01:51.843
Il y a quelque chose là-dessous.

0:01:51.843,0:01:54.357
Dirigeons nous donc vers 300 avant JC

0:01:54.357,0:01:55.526
dans la Grèce antique.

0:01:55.526,0:01:58.183
Un philosophe du nom d'Euclide d'Alexandrie

0:01:58.183,0:01:59.411
comprit que tous les nombres

0:01:59.411,0:02:02.607
pouvaient être séparés en deux catégories distinctes.

0:02:02.607,0:02:04.896
Il nota tout d'abord que chaque nombre

0:02:04.896,0:02:07.078
pouvait être divisé, et re-divisé,

0:02:07.078,0:02:10.599
jusqu'à atteindre un groupe de plus petits nombres égaux.

0:02:10.599,0:02:12.921
Et par définition, ces plus petits nombres

0:02:12.921,0:02:15.760
sont toujours des nombres premiers.

0:02:15.760,0:02:18.158
Donc il savait que tous les nombres sont construits

0:02:18.158,0:02:20.542
d'une façon ou d'une autre de nombres premiers plus petits.

0:02:20.542,0:02:23.317
Plus clairement, imaginez l'ensemble de tous les nombres,

0:02:23.317,0:02:25.674
et ignorez les nombres premiers.

0:02:25.674,0:02:28.037
Maintenant, choisissez un nombre composé

0:02:28.037,0:02:30.518
et divisez-le

0:02:30.518,0:02:33.354
et vous finissez toujours avec des nombres premiers.

0:02:33.354,0:02:34.774
Euclide savait que chaque nombre

0:02:34.774,0:02:37.675
pouvait être représenté par un groupe de nombres premiers plus petits.

0:02:37.675,0:02:40.221
Ils peuvent être vus comme des briques.

0:02:40.221,0:02:41.996
Quel que soit le nombre choisi,

0:02:41.996,0:02:46.157
il peut être obtenu par une somme de nombres premiers plus petits.

0:02:46.157,0:02:48.032
C'est l'essence de sa découverte

0:02:48.032,0:02:50.759
connue sous le nom de 'théorème fondamental de l'arithmétique'

0:02:50.759,0:02:52.013
comme suit :

0:02:52.013,0:02:53.934
Prenez n'importe quel nombre, par exemple 30,

0:02:53.934,0:02:55.501
et trouvez tous les nombres premiers

0:02:55.501,0:02:57.233
qui peuvent le diviser.

0:02:57.233,0:02:59.763
Cela s'appelle la factorisation.

0:02:59.763,0:03:01.624
Cela nous donne les facteurs premiers,

0:03:01.624,0:03:05.811
ici, 2, 3 et 5 sont les facteurs premiers de 30.

0:03:05.811,0:03:07.906
Euclide a réalisé que l'on pouvait ensuite multiplier

0:03:07.906,0:03:10.714
ces facteurs premiers un certain nombre de fois

0:03:10.714,0:03:12.739
pour obtenir le nombre de départ.

0:03:12.739,0:03:13.780
Ici, on multiplie juste

0:03:13.780,0:03:16.178
chaque facteur une seule fois pour avoir 30.

0:03:16.178,0:03:20.158
2 x 3 x 5 est la factorisation en nombres premiers de 30.

0:03:20.158,0:03:23.153
Vous pouvez considérer ceci comme une clé ou une combinaison.

0:03:23.153,0:03:24.887
Il n'y a pas d'autre façon de construire 30

0:03:24.887,0:03:27.110
en utilisant d'autres nombres premiers

0:03:27.110,0:03:28.792
et en les multipliant.

0:03:28.792,0:03:31.276
Donc chaque nombre imaginable a une, et seulement une,

0:03:31.276,0:03:34.046
factorisation en nombres premiers.

0:03:34.046,0:03:36.299
Par analogie on peut imaginer les nombres

0:03:36.299,0:03:38.017
comme de différentes serrures.

0:03:38.033,0:03:39.722
La clé unique pour chaque serrure

0:03:39.722,0:03:42.054
serait sa factorisation en nombres premiers.

0:03:42.054,0:03:43.937
Il n'y a pas deux serrures qui ont la même clé.

0:03:43.937,0:03:47.889
Il n'y a pas deux nombres qui ont la même factorisation en nombres premiers.