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Me han preguntado cómo resolver la ecuación diferencial implícita
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tangente de x sobre y igual a x mas y.
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Y he realizado muchos videos de diferenciales implicitas, pero
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esto tiende a ser uno de los ejercicios más difíciles para
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estudiantes de cálculo de primer año.
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Entonces pensé en dar al menos otro ejemplo.
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Nunca duele ver tantos como sea posible
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Entonces hagamos esto.
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Así que para implícitamente differenciar éste, simplemente aplicamos la
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derivada con respecto al operador x a ambos lados
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de la ecuación.
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La derivada con respecto a x -- la derivada
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en el lado izquierdo con respecto a x es igual a la
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derivada del lado derecho con respecto a x.
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El lado derecho será sencillo, pero
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el lado izquierdo será un poco engorroso.
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Así que hagamos esto por aquí a un lado.
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Permítanme escribir la parte izquierda un poco diferente.
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Voy a tratar de hacerlo en otro color.
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Déjenme decir que a es igual a la tangente de b.
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Y que b es igual a x sobre y.
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Entonces a es claramente la misma cosa.
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Es decir si sólo substituyo b de nuevo aqui,
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todo esto lo podría reescribir como sólo a.
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Así que si tomo la derivada de a con respecto
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a x, es lo que queremos hacer aqui.
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Permítanme sólo tomar la derivada a ambos lados de esto.
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Esto sería la derivada de a con respecto de x igual a
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la derivada de x con respecto a x.
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Que es muy simple, es sólo 1.
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Más la derivada de y con respecto de x.
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Así que déjenme escribirlo así:
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Escribiré el operador de la derivada, la derivada
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de y con respecto a x.
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Eso fue todo lo que hicimos.
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Sólo aplicamos el operador de la derivada a y, y no
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sabemos qué es esto, vamos a resolver para esto.
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Pero obviamente, no puedo dejar esto aquí, la derivada
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de a con respecto de x.
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Resolvimos para a, y a es sólo esto
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de aquí, cierto?
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a es tangente de b, y b es sólo y sobre x.
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La razón por la cual la escribí así es porque quería mostrar
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que cuando tomas la derivada de esto, sólo
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sale de la regla de la cadena.
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No es algún tipo de nueva mágia voodoo que tu
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no has aprendido aún.
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Así que la derivada -- déjame sólo escribir la
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regla de la cadena aquí.
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La derivada de a con respecto a x es igual a la
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derivada de a con respecto a b multiplicado por la derivada
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de b con respecto a x.
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Eso es sólo la regla de la cadena y es muy fácil de recordar,
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porque el db se cancela y sólo te queda la
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derivada de a con respecto a x, si sólo las tratas
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como fracciones normales.
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Así que cúal es la derivada de a con respecto a b?
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Bueno, es sólo 1 sobre coseno cuadrado de b.
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Y si no lo sabes de memoria, no es realmente
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tan difícil de probar que si sólo escriber seno
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de b sobre coseno de b, pero esto tiende a ser una
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derivada que la mayoría de las personas se memorizan.
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Yo creo que ya hice un video comprobando esto.
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Y algunos libros aún escriben esto como secante cuadrado de b, pero nosotros
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sabemos que secante cuadrado es lo mismo que 1 sobre
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coseno cuadrado.
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A mi me gusta dejarlo en términos de las funciones trig fúndamentales,
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o las relaciones trig contrario a las cosas como secante
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y cosecante.
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Así que, ¿cúal es la derivada de b con respecto de x?
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Esto es bastante interesante.
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Déjenme reescribir b, realmente.
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Déjenme reescribir b igual a x por y a la menos 1.
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Así la derivada de b con respecto a x, podríamos hacer
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un poco de la regla de la cadena aquí.
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Podríamos decir -- déjenme escribir esto -- la derivada de b
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con respecto a x es igual a la derivada de x por
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y a la 1 negativo.
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Así la derivada de x es 1.
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por y a la negativo 1 mas la derivada de y -- así que
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permítanme sólo escribirlo.
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Más la derivada con respecto a x de y a la
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menos 1 por el primer término, por x.
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Así que esto de aquí, y claro que todavía no he
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simplificado esto completamente.
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Me queda aún por entender qué es esto de aquí.
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Pero quiero simplemente aplicar la regla del producto aquí.
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La derivada de este primer término, derivada de x es 1
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por el segundo término más la derivada del segundo
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por el primer término.
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Eso es todo lo que hice aquí.
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Así que la derivada de b con respecto a x es sólo
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esto que tengo aquí.
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Así que es igual -- déjenme hacerlo en amarillo -- así que es --
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oh, lo haré en azul puesto que ya escribí eso.
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Esto es azul, derivada de b con respecto a x es y a la
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menos 1, o 1 sobre y, más la derivada con respecto a
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x de 1 sobre y por x.
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Así que déjenme escribirlo aquí.
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Así que ya resolvimos, o estamos a punto de resolver,
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cual es la derivada de a con respecto a x, y
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podríamos meter eso ahí.
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Pero no hemos terminado.
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¿Cuál es la derivada de 1 sobre y con respecto a x?
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Bueno, aplicamos nuevamente la regla de la cadena.
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Y lo que quiero dejar claro es esto.
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Yo sé que puede parecer complejo lo que estoy haciendo
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aquí, pero creo que podría tener un poco de sentido.
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Déjenme establecer c igual a 1 sobre y.
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Así la derivada de c con respecto a x, sólo por la
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regla de la cadena, es igual a la derivada de c con respecto a
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y por la derivada de y con respecto a x.
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¿Cuál es la derivada de c con respecto a y?
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Bueno esto es la misma cosa -- Podría re-escribir
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esto cómo y a la menos 1.
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Así que es menos y a la potencia menos 2.
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Esto es lo que esto es.
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Esto es esto de ahí.
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Y no sabemos qué es la derivada de y con
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respecto a x.
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Eso es por lo que tenemos que resolver.
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Así que es eso por la derivada de y
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con respecto a x.
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Eso simplemente sale de la regla de la cadena.
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Así que esto de aquí, esto es la derivada de esto
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con respecto a x, lo que es lo mismo a la derivada
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de c con respecto a x.
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Así que puedo escribir esta pequeña parte de aquí, puedo
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re-escribir esta partecita como menos y a la menos 2 dy
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dx, y luego, por supuesto, tengo multiplicado x.
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Y luego tenemos el más 1 sobre y, y todo eso multiplicado
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el 1 sobre coseno cuadrado de b.
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Así que ahora lo hemos simplificado una buena parte.
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Espero que aplicar la regla de la cadena no los confundiera,
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porque yo francamente quiero dejar claro que todo
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estos problemas de diferenciales implícitos, estos dy dx's no son sólo,
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no es una regla que deberías memorizar.
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Ellos vienen naturalmente de la regla de la cadena.
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Así que resolvimos da dx, esto es igual a esta
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expresión de aquí.
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Déjenme escribir esto, esto es igual a 1 sobre coseno cuadrado de b.
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Bueno, ¿qué es b?
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Escribí que es cos x sobre y.
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Coseno cuadrado de x sobre y mulplicado por todo esto de
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aquí, por todo este lío.
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1 sobre y más, o quizás debería decir menos, menos - si
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sólo simplifico esto, esto es x sobre y cuadrado por dy dx.
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Luego esto es igual a la parte izquierda.
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Es igual a 1 mas dy dx.
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Y ahora todo lo que tenemos que hacer es resolver para dy dx.
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Así que déjenme sólo repasar cómo llegamos aquí.
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Aplicamos la regla de la cadena en cada paso del camino, pero
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una vez que aprendas el truco, puedes literalmente sólo pasar
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directo por este camino.
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La manera de pensar en ello -- la parte derecha
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creo que la entiendes.
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La derivada de x es 1, la derivada de y con respecto
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a x, bueno esto es sólo dy dx.
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Pero la parte de la izquierda, es tomar la derivada de
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todo esto con respecto a x sobre y.
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Así que es sólo la derivada de tangente es 1 sobre
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coseno cuadrado.
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Así es 1 sobre coseno cuadrado de x sobre , y multiplicar
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eso por la derivada de x sobre y con respecto a x.
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Y la derivada de x sobre y con respecto a x es la
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derivada de -- y se complica, por eso es
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bueno hacerlo a un lado -- pero es la derivada de
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x, que es 1 por 1 sobre y.
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Que es ese término más la derivada de 1 sobre y con
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respecto a x, que es menos 1 sobre y cuadrado dy dx, de
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la regla de la cadena, por dx.
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Es por eso que fue bueno hacerlo a un lado para no
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cometer errores descuidados.
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Pero una vez que te acostumbres, podrías realmente hacer eso en tu
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cabeza, y por supuesto, esto igual a la parte de la derecha.
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Así que de ahora en adelante es sólo álgebra pura.
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Sólo resolver para dy dx.
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Así que un buen sitio para empezar es multiplicar a ambos lados de esta
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ecuación por coseno cuadrado de x sobre y.
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Así que obviamente, eso nos dará 1 en este lado.
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Y en el lado izquierdo sería 1 sobre y menos x sobre y cuadrado
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dy dx es igual a -- tengo que multiplicar a ambos lados de la
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ecuación por el denominador de aquí -- es igual a
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coseno cuadrado de x sobre y mas coseno cuadrado de
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x sobre y dy dx.
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Ahora qué podemos hacer.
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Podemos restar este coseno cuadrado de x sobre y de ambos
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lados de la ecuación, y podemos obtener 1 sobre y menos coseno
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cuadrado de x sobre y.
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Todo lo que hice fue restar esto de ambos lados de la
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ecuación, así que esencialmente moví esto hacia el
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lado izquierdo.
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Lo que estoy tratando de hacer es voy a tratar de separar los
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términos sin dy dx de los términos con dy dx.
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Así que quiero traer este término dy dx hacia
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el lado derecho.
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Así que déjenme sumar x sobre y cuadrado dy dx a ambos lados.
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Así que esto es igual a x sobre y -- déjenme escribir esto en el
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color en el que lo escribí originalmente, lígeramente
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otro color.
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Así que eso es x sobre y cuadrado -- Escribiré el dy dx en anaranjado.
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dy dx, y luego tienes este término, mas coseno cuadrado
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de x sobre y dy dx.
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Yo creo que estamos a punto de acabar.
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Factorisemos este dy dx del lado derecho.
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Así que esto es igual a dy dx por x sobre y cuadrado más
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coseno cuadrado de x sobre y.
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Y eso es igual a esto de aqui, es igual a
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1 sobre y menos coseno cuadrado de x sobre y.
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Ahora para resolver para dy dx, sólo tenemos que dividir a ambos lados de
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esta ecuación por la expresión de aquí.
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Y luego, ¿qué obtenemos?
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Obtenemos, si sólo dividimos a ambos lados por eso, obtenemos 1 sobre y
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menos coseno cuadrado de x sobre y dividido por todo este
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asunto de aquí.
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x sobre y cuadrado mas coseno cuadrado de x sobre y es
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igual a nuestro dy dx.
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Y luego acabamos.
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Sólo aplicamos la regla de la cadena múltiples veces y fuimos capaces
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de diferenciar implícitamente tangente de y sobre x
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igual a x mas y.
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La parte difícil es realmente llegar al paso de aquí.
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Luego de este paso es sólo literalmente álgebra pura sólo para resolver
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para el dy dx, y luego obtienes esa respuesta de ahí.
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De todas maneras, ojalá hayas encontrado esto útil.
