WEBVTT

00:00:00.430 --> 00:00:04.050
Me han preguntado cómo resolver la ecuación diferencial implícita

00:00:04.050 --> 00:00:10.390
tangente de x sobre y igual a x mas y.

00:00:10.390 --> 00:00:14.150
Y he realizado muchos videos de diferenciales implicitas, pero

00:00:14.150 --> 00:00:17.440
esto tiende a ser uno de los ejercicios más difíciles para

00:00:17.440 --> 00:00:18.720
estudiantes de cálculo de primer año.

00:00:18.720 --> 00:00:21.040
Entonces pensé en dar al menos otro ejemplo.

00:00:21.040 --> 00:00:22.860
Nunca duele ver tantos como sea posible

00:00:22.860 --> 00:00:24.290
Entonces hagamos esto.

00:00:24.290 --> 00:00:26.680
Así que para implícitamente differenciar éste, simplemente aplicamos la

00:00:26.680 --> 00:00:29.363
derivada con respecto al operador x a ambos lados

00:00:29.363 --> 00:00:29.970
de la ecuación.

00:00:29.970 --> 00:00:33.290
La derivada con respecto a x -- la derivada

00:00:33.290 --> 00:00:35.420
en el lado izquierdo con respecto a x es igual a la

00:00:35.420 --> 00:00:40.580
derivada del lado derecho con respecto a x.

00:00:40.580 --> 00:00:42.790
El lado derecho será sencillo, pero

00:00:42.790 --> 00:00:44.770
el lado izquierdo será un poco engorroso.

00:00:44.770 --> 00:00:47.380
Así que hagamos esto por aquí a un lado.

00:00:47.380 --> 00:00:52.020
Permítanme escribir la parte izquierda un poco diferente.

00:00:52.020 --> 00:00:52.990
Voy a tratar de hacerlo en otro color.

00:00:52.990 --> 00:01:00.410
Déjenme decir que a es igual a la tangente de b.

00:01:00.410 --> 00:01:09.380
Y que b es igual a x sobre y.

00:01:09.380 --> 00:01:11.620
Entonces a es claramente la misma cosa.

00:01:11.620 --> 00:01:14.860
Es decir si sólo substituyo b de nuevo aqui,

00:01:14.860 --> 00:01:18.090
todo esto lo podría reescribir como sólo a.

00:01:18.090 --> 00:01:20.930
Así que si tomo la derivada de a con respecto

00:01:20.930 --> 00:01:23.740
a x, es lo que queremos hacer aqui.

00:01:23.740 --> 00:01:26.570
Permítanme sólo tomar la derivada a ambos lados de esto.

00:01:26.570 --> 00:01:36.500
Esto sería la derivada de a con respecto de x igual a

00:01:36.500 --> 00:01:38.610
la derivada de x con respecto a x.

00:01:38.610 --> 00:01:41.210
Que es muy simple, es sólo 1.

00:01:41.210 --> 00:01:44.390
Más la derivada de y con respecto de x.

00:01:44.390 --> 00:01:45.430
Así que déjenme escribirlo así:

00:01:45.430 --> 00:01:48.820
Escribiré el operador de la derivada, la derivada

00:01:48.820 --> 00:01:53.770
de y con respecto a x.

00:01:53.770 --> 00:01:54.350
Eso fue todo lo que hicimos.

00:01:54.350 --> 00:01:56.520
Sólo aplicamos el operador de la derivada a y, y no

00:01:56.520 --> 00:01:58.650
sabemos qué es esto, vamos a resolver para esto.

00:01:58.650 --> 00:02:01.180
Pero obviamente, no puedo dejar esto aquí, la derivada

00:02:01.180 --> 00:02:02.360
de a con respecto de x.

00:02:02.360 --> 00:02:04.610
Resolvimos para a, y a es sólo esto

00:02:04.610 --> 00:02:05.930
de aquí, cierto?

00:02:05.930 --> 00:02:09.450
a es tangente de b, y b es sólo y sobre x.

00:02:09.450 --> 00:02:11.730
La razón por la cual la escribí así es porque quería mostrar

00:02:11.730 --> 00:02:14.870
que cuando tomas la derivada de esto, sólo

00:02:14.870 --> 00:02:16.500
sale de la regla de la cadena.

00:02:16.500 --> 00:02:18.840
No es algún tipo de nueva mágia voodoo que tu

00:02:18.840 --> 00:02:20.090
no has aprendido aún.

00:02:20.090 --> 00:02:22.200
Así que la derivada -- déjame sólo escribir la

00:02:22.200 --> 00:02:23.990
regla de la cadena aquí.

00:02:23.990 --> 00:02:30.930
La derivada de a con respecto a x es igual a la

00:02:30.930 --> 00:02:35.280
derivada de a con respecto a b multiplicado por la derivada

00:02:35.280 --> 00:02:37.580
de b con respecto a x.

00:02:37.580 --> 00:02:39.720
Eso es sólo la regla de la cadena y es muy fácil de recordar,

00:02:39.720 --> 00:02:43.040
porque el db se cancela y sólo te queda la

00:02:43.040 --> 00:02:45.800
derivada de a con respecto a x, si sólo las tratas

00:02:45.800 --> 00:02:47.470
como fracciones normales.

00:02:47.470 --> 00:02:50.275
Así que cúal es la derivada de a con respecto a b?

00:02:55.020 --> 00:03:01.570
Bueno, es sólo 1 sobre coseno cuadrado de b.

00:03:01.570 --> 00:03:03.570
Y si no lo sabes de memoria, no es realmente

00:03:03.570 --> 00:03:07.400
tan difícil de probar que si sólo escriber seno

00:03:07.400 --> 00:03:10.670
de b sobre coseno de b, pero esto tiende a ser una

00:03:10.670 --> 00:03:12.130
derivada que la mayoría de las personas se memorizan.

00:03:12.130 --> 00:03:14.230
Yo creo que ya hice un video comprobando esto.

00:03:14.230 --> 00:03:16.840
Y algunos libros aún escriben esto como secante cuadrado de b, pero nosotros

00:03:16.840 --> 00:03:19.070
sabemos que secante cuadrado es lo mismo que 1 sobre

00:03:19.070 --> 00:03:20.340
coseno cuadrado.

00:03:20.340 --> 00:03:25.320
A mi me gusta dejarlo en términos de las funciones trig fúndamentales,

00:03:25.320 --> 00:03:27.360
o las relaciones trig contrario a las cosas como secante

00:03:27.360 --> 00:03:28.490
y cosecante.

00:03:28.490 --> 00:03:31.090
Así que, ¿cúal es la derivada de b con respecto de x?

00:03:37.030 --> 00:03:38.260
Esto es bastante interesante.

00:03:38.260 --> 00:03:39.710
Déjenme reescribir b, realmente.

00:03:39.710 --> 00:03:45.730
Déjenme reescribir b igual a x por y a la menos 1.

00:03:45.730 --> 00:03:48.520
Así la derivada de b con respecto a x, podríamos hacer

00:03:48.520 --> 00:03:50.470
un poco de la regla de la cadena aquí.

00:03:50.470 --> 00:03:53.680
Podríamos decir -- déjenme escribir esto -- la derivada de b

00:03:53.680 --> 00:03:57.530
con respecto a x es igual a la derivada de x por

00:03:57.530 --> 00:03:58.790
y a la 1 negativo.

00:03:58.790 --> 00:04:01.300
Así la derivada de x es 1.

00:04:01.300 --> 00:04:07.360
por y a la negativo 1 mas la derivada de y -- así que

00:04:07.360 --> 00:04:08.030
permítanme sólo escribirlo.

00:04:08.030 --> 00:04:12.320
Más la derivada con respecto a x de y a la

00:04:12.320 --> 00:04:17.930
menos 1 por el primer término, por x.

00:04:17.930 --> 00:04:20.470
Así que esto de aquí, y claro que todavía no he

00:04:20.470 --> 00:04:21.190
simplificado esto completamente.

00:04:21.190 --> 00:04:22.890
Me queda aún por entender qué es esto de aquí.

00:04:22.890 --> 00:04:25.010
Pero quiero simplemente aplicar la regla del producto aquí.

00:04:25.010 --> 00:04:27.990
La derivada de este primer término, derivada de x es 1

00:04:27.990 --> 00:04:30.380
por el segundo término más la derivada del segundo

00:04:30.380 --> 00:04:31.310
por el primer término.

00:04:31.310 --> 00:04:32.700
Eso es todo lo que hice aquí.

00:04:32.700 --> 00:04:35.170
Así que la derivada de b con respecto a x es sólo

00:04:35.170 --> 00:04:36.560
esto que tengo aquí.

00:04:36.560 --> 00:04:42.290
Así que es igual -- déjenme hacerlo en amarillo -- así que es --

00:04:42.290 --> 00:04:43.520
oh, lo haré en azul puesto que ya escribí eso.

00:04:43.520 --> 00:04:47.290
Esto es azul, derivada de b con respecto a x es y a la

00:04:47.290 --> 00:04:52.580
menos 1, o 1 sobre y, más la derivada con respecto a

00:04:52.580 --> 00:04:59.590
x de 1 sobre y por x.

00:04:59.590 --> 00:05:01.180
Así que déjenme escribirlo aquí.

00:05:01.180 --> 00:05:04.330
Así que ya resolvimos, o estamos a punto de resolver,

00:05:04.330 --> 00:05:07.400
cual es la derivada de a con respecto a x, y

00:05:07.400 --> 00:05:08.450
podríamos meter eso ahí.

00:05:08.450 --> 00:05:09.230
Pero no hemos terminado.

00:05:09.230 --> 00:05:12.280
¿Cuál es la derivada de 1 sobre y con respecto a x?

00:05:12.280 --> 00:05:14.990
Bueno, aplicamos nuevamente la regla de la cadena.

00:05:17.520 --> 00:05:18.830
Y lo que quiero dejar claro es esto.

00:05:18.830 --> 00:05:21.570
Yo sé que puede parecer complejo lo que estoy haciendo

00:05:21.570 --> 00:05:24.020
aquí, pero creo que podría tener un poco de sentido.

00:05:24.020 --> 00:05:28.390
Déjenme establecer c igual a 1 sobre y.

00:05:28.390 --> 00:05:32.550
Así la derivada de c con respecto a x, sólo por la

00:05:32.550 --> 00:05:35.580
regla de la cadena, es igual a la derivada de c con respecto a

00:05:35.580 --> 00:05:40.090
y por la derivada de y con respecto a x.

00:05:40.090 --> 00:05:43.140
¿Cuál es la derivada de c con respecto a y?

00:05:43.140 --> 00:05:44.930
Bueno esto es la misma cosa -- Podría re-escribir

00:05:44.930 --> 00:05:46.350
esto cómo y a la menos 1.

00:05:46.350 --> 00:05:51.160
Así que es menos y a la potencia menos 2.

00:05:51.160 --> 00:05:52.910
Esto es lo que esto es.

00:05:52.910 --> 00:05:55.740
Esto es esto de ahí.

00:05:55.740 --> 00:05:57.220
Y no sabemos qué es la derivada de y con

00:05:57.220 --> 00:05:58.020
respecto a x.

00:05:58.020 --> 00:05:59.690
Eso es por lo que tenemos que resolver.

00:05:59.690 --> 00:06:02.390
Así que es eso por la derivada de y

00:06:02.390 --> 00:06:03.540
con respecto a x.

00:06:03.540 --> 00:06:05.340
Eso simplemente sale de la regla de la cadena.

00:06:05.340 --> 00:06:11.400
Así que esto de aquí, esto es la derivada de esto

00:06:11.400 --> 00:06:13.830
con respecto a x, lo que es lo mismo a la derivada

00:06:13.830 --> 00:06:15.770
de c con respecto a x.

00:06:15.770 --> 00:06:19.210
Así que puedo escribir esta pequeña parte de aquí, puedo

00:06:19.210 --> 00:06:25.240
re-escribir esta partecita como menos y a la menos 2 dy

00:06:25.240 --> 00:06:28.910
dx, y luego, por supuesto, tengo multiplicado x.

00:06:28.910 --> 00:06:33.910
Y luego tenemos el más 1 sobre y, y todo eso multiplicado

00:06:33.910 --> 00:06:38.050
el 1 sobre coseno cuadrado de b.

00:06:38.050 --> 00:06:40.660
Así que ahora lo hemos simplificado una buena parte.

00:06:40.660 --> 00:06:42.840
Espero que aplicar la regla de la cadena no los confundiera,

00:06:42.840 --> 00:06:45.020
porque yo francamente quiero dejar claro que todo

00:06:45.020 --> 00:06:48.320
estos problemas de diferenciales implícitos, estos dy dx's no son sólo,

00:06:48.320 --> 00:06:50.570
no es una regla que deberías memorizar.

00:06:50.570 --> 00:06:52.890
Ellos vienen naturalmente de la regla de la cadena.

00:06:52.890 --> 00:06:56.930
Así que resolvimos da dx, esto es igual a esta

00:06:56.930 --> 00:06:59.230
expresión de aquí.

00:06:59.230 --> 00:07:07.130
Déjenme escribir esto, esto es igual a 1 sobre coseno cuadrado de b.

00:07:07.130 --> 00:07:07.880
Bueno, ¿qué es b?

00:07:07.880 --> 00:07:10.640
Escribí que es cos x sobre y.

00:07:10.640 --> 00:07:16.920
Coseno cuadrado de x sobre y mulplicado por todo esto de

00:07:16.920 --> 00:07:19.840
aquí, por todo este lío.

00:07:19.840 --> 00:07:25.670
1 sobre y más, o quizás debería decir menos, menos - si

00:07:25.670 --> 00:07:32.486
sólo simplifico esto, esto es x sobre y cuadrado por dy dx.

00:07:36.660 --> 00:07:39.000
Luego esto es igual a la parte izquierda.

00:07:39.000 --> 00:07:48.490
Es igual a 1 mas dy dx.

00:07:48.490 --> 00:07:51.420
Y ahora todo lo que tenemos que hacer es resolver para dy dx.

00:07:51.420 --> 00:07:53.990
Así que déjenme sólo repasar cómo llegamos aquí.

00:07:53.990 --> 00:07:56.300
Aplicamos la regla de la cadena en cada paso del camino, pero

00:07:56.300 --> 00:07:58.170
una vez que aprendas el truco, puedes literalmente sólo pasar

00:07:58.170 --> 00:07:59.360
directo por este camino.

00:07:59.360 --> 00:08:01.380
La manera de pensar en ello -- la parte derecha

00:08:01.380 --> 00:08:02.033
creo que la entiendes.

00:08:02.033 --> 00:08:04.380
La derivada de x es 1, la derivada de y con respecto

00:08:04.380 --> 00:08:06.560
a x, bueno esto es sólo dy dx.

00:08:06.560 --> 00:08:09.010
Pero la parte de la izquierda, es tomar la derivada de

00:08:09.010 --> 00:08:11.630
todo esto con respecto a x sobre y.

00:08:11.630 --> 00:08:14.100
Así que es sólo la derivada de tangente es 1 sobre

00:08:14.100 --> 00:08:15.020
coseno cuadrado.

00:08:15.020 --> 00:08:18.620
Así es 1 sobre coseno cuadrado de x sobre , y multiplicar

00:08:18.620 --> 00:08:23.530
eso por la derivada de x sobre y con respecto a x.

00:08:23.530 --> 00:08:26.770
Y la derivada de x sobre y con respecto a x es la

00:08:26.770 --> 00:08:28.970
derivada de -- y se complica, por eso es

00:08:28.970 --> 00:08:31.590
bueno hacerlo a un lado -- pero es la derivada de

00:08:31.590 --> 00:08:34.150
x, que es 1 por 1 sobre y.

00:08:34.150 --> 00:08:39.680
Que es ese término más la derivada de 1 sobre y con

00:08:39.680 --> 00:08:44.200
respecto a x, que es menos 1 sobre y cuadrado dy dx, de

00:08:44.200 --> 00:08:46.620
la regla de la cadena, por dx.

00:08:46.620 --> 00:08:48.140
Es por eso que fue bueno hacerlo a un lado para no

00:08:48.140 --> 00:08:49.360
cometer errores descuidados.

00:08:49.360 --> 00:08:51.410
Pero una vez que te acostumbres, podrías realmente hacer eso en tu

00:08:51.410 --> 00:08:53.980
cabeza, y por supuesto, esto igual a la parte de la derecha.

00:08:53.980 --> 00:08:56.520
Así que de ahora en adelante es sólo álgebra pura.

00:08:56.520 --> 00:08:59.140
Sólo resolver para dy dx.

00:08:59.140 --> 00:09:01.490
Así que un buen sitio para empezar es multiplicar a ambos lados de esta

00:09:01.490 --> 00:09:04.910
ecuación por coseno cuadrado de x sobre y.

00:09:04.910 --> 00:09:07.420
Así que obviamente, eso nos dará 1 en este lado.

00:09:07.420 --> 00:09:14.970
Y en el lado izquierdo sería 1 sobre y menos x sobre y cuadrado

00:09:14.970 --> 00:09:23.690
dy dx es igual a -- tengo que multiplicar a ambos lados de la

00:09:23.690 --> 00:09:26.730
ecuación por el denominador de aquí -- es igual a

00:09:26.730 --> 00:09:32.530
coseno cuadrado de x sobre y mas coseno cuadrado de

00:09:32.530 --> 00:09:35.190
x sobre y dy dx.

00:09:39.420 --> 00:09:40.190
Ahora qué podemos hacer.

00:09:40.190 --> 00:09:44.210
Podemos restar este coseno cuadrado de x sobre y de ambos

00:09:44.210 --> 00:09:52.110
lados de la ecuación, y podemos obtener 1 sobre y menos coseno

00:09:52.110 --> 00:09:53.710
cuadrado de x sobre y.

00:09:53.710 --> 00:09:55.780
Todo lo que hice fue restar esto de ambos lados de la

00:09:55.780 --> 00:09:57.590
ecuación, así que esencialmente moví esto hacia el

00:09:57.590 --> 00:09:59.040
lado izquierdo.

00:09:59.040 --> 00:10:01.040
Lo que estoy tratando de hacer es voy a tratar de separar los

00:10:01.040 --> 00:10:04.810
términos sin dy dx de los términos con dy dx.

00:10:04.810 --> 00:10:06.750
Así que quiero traer este término dy dx hacia

00:10:06.750 --> 00:10:07.950
el lado derecho.

00:10:07.950 --> 00:10:11.550
Así que déjenme sumar x sobre y cuadrado dy dx a ambos lados.

00:10:11.550 --> 00:10:17.260
Así que esto es igual a x sobre y -- déjenme escribir esto en el

00:10:17.260 --> 00:10:21.070
color en el que lo escribí originalmente, lígeramente

00:10:21.070 --> 00:10:21.470
otro color.

00:10:21.470 --> 00:10:27.110
Así que eso es x sobre y cuadrado -- Escribiré el dy dx en anaranjado.

00:10:27.110 --> 00:10:34.120
dy dx, y luego tienes este término, mas coseno cuadrado

00:10:34.120 --> 00:10:36.880
de x sobre y dy dx.

00:10:40.950 --> 00:10:43.000
Yo creo que estamos a punto de acabar.

00:10:43.000 --> 00:10:46.410
Factorisemos este dy dx del lado derecho.

00:10:46.410 --> 00:10:56.770
Así que esto es igual a dy dx por x sobre y cuadrado más

00:10:56.770 --> 00:11:01.220
coseno cuadrado de x sobre y.

00:11:01.220 --> 00:11:04.180
Y eso es igual a esto de aqui, es igual a

00:11:04.180 --> 00:11:09.250
1 sobre y menos coseno cuadrado de x sobre y.

00:11:09.250 --> 00:11:12.240
Ahora para resolver para dy dx, sólo tenemos que dividir a ambos lados de

00:11:12.240 --> 00:11:15.450
esta ecuación por la expresión de aquí.

00:11:15.450 --> 00:11:16.900
Y luego, ¿qué obtenemos?

00:11:16.900 --> 00:11:21.970
Obtenemos, si sólo dividimos a ambos lados por eso, obtenemos 1 sobre y

00:11:21.970 --> 00:11:27.210
menos coseno cuadrado de x sobre y dividido por todo este

00:11:27.210 --> 00:11:28.720
asunto de aquí.

00:11:28.720 --> 00:11:36.190
x sobre y cuadrado mas coseno cuadrado de x sobre y es

00:11:36.190 --> 00:11:42.150
igual a nuestro dy dx.

00:11:42.150 --> 00:11:43.370
Y luego acabamos.

00:11:43.370 --> 00:11:46.460
Sólo aplicamos la regla de la cadena múltiples veces y fuimos capaces

00:11:46.460 --> 00:11:50.600
de diferenciar implícitamente tangente de y sobre x

00:11:50.600 --> 00:11:51.600
igual a x mas y.

00:11:51.600 --> 00:11:55.980
La parte difícil es realmente llegar al paso de aquí.

00:11:55.980 --> 00:11:59.470
Luego de este paso es sólo literalmente álgebra pura sólo para resolver

00:11:59.470 --> 00:12:04.730
para el dy dx, y luego obtienes esa respuesta de ahí.

00:12:04.730 --> 00:12:07.380
De todas maneras, ojalá hayas encontrado esto útil.