Me han preguntado cómo resolver la ecuación diferencial implícita
tangente de x sobre y igual a x mas y.
Y he realizado muchos videos de diferenciales implicitas, pero
esto tiende a ser uno de los ejercicios más difíciles para
estudiantes de cálculo de primer año.
Entonces pensé en dar al menos otro ejemplo.
Nunca duele ver tantos como sea posible
Entonces hagamos esto.
Así que para implícitamente differenciar éste, simplemente aplicamos la
derivada con respecto al operador x a ambos lados
de la ecuación.
La derivada con respecto a x -- la derivada
en el lado izquierdo con respecto a x es igual a la
derivada del lado derecho con respecto a x.
El lado derecho será sencillo, pero
el lado izquierdo será un poco engorroso.
Así que hagamos esto por aquí a un lado.
Permítanme escribir la parte izquierda un poco diferente.
Voy a tratar de hacerlo en otro color.
Déjenme decir que a es igual a la tangente de b.
Y que b es igual a x sobre y.
Entonces a es claramente la misma cosa.
Es decir si sólo substituyo b de nuevo aqui,
todo esto lo podría reescribir como sólo a.
Así que si tomo la derivada de a con respecto
a x, es lo que queremos hacer aqui.
Permítanme sólo tomar la derivada a ambos lados de esto.
Esto sería la derivada de a con respecto de x igual a
la derivada de x con respecto a x.
Que es muy simple, es sólo 1.
Más la derivada de y con respecto de x.
Así que déjenme escribirlo así:
Escribiré el operador de la derivada, la derivada
de y con respecto a x.
Eso fue todo lo que hicimos.
Sólo aplicamos el operador de la derivada a y, y no
sabemos qué es esto, vamos a resolver para esto.
Pero obviamente, no puedo dejar esto aquí, la derivada
de a con respecto de x.
Resolvimos para a, y a es sólo esto
de aquí, cierto?
a es tangente de b, y b es sólo y sobre x.
La razón por la cual la escribí así es porque quería mostrar
que cuando tomas la derivada de esto, sólo
sale de la regla de la cadena.
No es algún tipo de nueva mágia voodoo que tu
no has aprendido aún.
Así que la derivada -- déjame sólo escribir la
regla de la cadena aquí.
La derivada de a con respecto a x es igual a la
derivada de a con respecto a b multiplicado por la derivada
de b con respecto a x.
Eso es sólo la regla de la cadena y es muy fácil de recordar,
porque el db se cancela y sólo te queda la
derivada de a con respecto a x, si sólo las tratas
como fracciones normales.
Así que cúal es la derivada de a con respecto a b?
Bueno, es sólo 1 sobre coseno cuadrado de b.
Y si no lo sabes de memoria, no es realmente
tan difícil de probar que si sólo escriber seno
de b sobre coseno de b, pero esto tiende a ser una
derivada que la mayoría de las personas se memorizan.
Yo creo que ya hice un video comprobando esto.
Y algunos libros aún escriben esto como secante cuadrado de b, pero nosotros
sabemos que secante cuadrado es lo mismo que 1 sobre
coseno cuadrado.
A mi me gusta dejarlo en términos de las funciones trig fúndamentales,
o las relaciones trig contrario a las cosas como secante
y cosecante.
Así que, ¿cúal es la derivada de b con respecto de x?
Esto es bastante interesante.
Déjenme reescribir b, realmente.
Déjenme reescribir b igual a x por y a la menos 1.
Así la derivada de b con respecto a x, podríamos hacer
un poco de la regla de la cadena aquí.
Podríamos decir -- déjenme escribir esto -- la derivada de b
con respecto a x es igual a la derivada de x por
y a la 1 negativo.
Así la derivada de x es 1.
por y a la negativo 1 mas la derivada de y -- así que
permítanme sólo escribirlo.
Más la derivada con respecto a x de y a la
menos 1 por el primer término, por x.
Así que esto de aquí, y claro que todavía no he
simplificado esto completamente.
Me queda aún por entender qué es esto de aquí.
Pero quiero simplemente aplicar la regla del producto aquí.
La derivada de este primer término, derivada de x es 1
por el segundo término más la derivada del segundo
por el primer término.
Eso es todo lo que hice aquí.
Así que la derivada de b con respecto a x es sólo
esto que tengo aquí.
Así que es igual -- déjenme hacerlo en amarillo -- así que es --
oh, lo haré en azul puesto que ya escribí eso.
Esto es azul, derivada de b con respecto a x es y a la
menos 1, o 1 sobre y, más la derivada con respecto a
x de 1 sobre y por x.
Así que déjenme escribirlo aquí.
Así que ya resolvimos, o estamos a punto de resolver,
cual es la derivada de a con respecto a x, y
podríamos meter eso ahí.
Pero no hemos terminado.
¿Cuál es la derivada de 1 sobre y con respecto a x?
Bueno, aplicamos nuevamente la regla de la cadena.
Y lo que quiero dejar claro es esto.
Yo sé que puede parecer complejo lo que estoy haciendo
aquí, pero creo que podría tener un poco de sentido.
Déjenme establecer c igual a 1 sobre y.
Así la derivada de c con respecto a x, sólo por la
regla de la cadena, es igual a la derivada de c con respecto a
y por la derivada de y con respecto a x.
¿Cuál es la derivada de c con respecto a y?
Bueno esto es la misma cosa -- Podría re-escribir
esto cómo y a la menos 1.
Así que es menos y a la potencia menos 2.
Esto es lo que esto es.
Esto es esto de ahí.
Y no sabemos qué es la derivada de y con
respecto a x.
Eso es por lo que tenemos que resolver.
Así que es eso por la derivada de y
con respecto a x.
Eso simplemente sale de la regla de la cadena.
Así que esto de aquí, esto es la derivada de esto
con respecto a x, lo que es lo mismo a la derivada
de c con respecto a x.
Así que puedo escribir esta pequeña parte de aquí, puedo
re-escribir esta partecita como menos y a la menos 2 dy
dx, y luego, por supuesto, tengo multiplicado x.
Y luego tenemos el más 1 sobre y, y todo eso multiplicado
el 1 sobre coseno cuadrado de b.
Así que ahora lo hemos simplificado una buena parte.
Espero que aplicar la regla de la cadena no los confundiera,
porque yo francamente quiero dejar claro que todo
estos problemas de diferenciales implícitos, estos dy dx's no son sólo,
no es una regla que deberías memorizar.
Ellos vienen naturalmente de la regla de la cadena.
Así que resolvimos da dx, esto es igual a esta
expresión de aquí.
Déjenme escribir esto, esto es igual a 1 sobre coseno cuadrado de b.
Bueno, ¿qué es b?
Escribí que es cos x sobre y.
Coseno cuadrado de x sobre y mulplicado por todo esto de
aquí, por todo este lío.
1 sobre y más, o quizás debería decir menos, menos - si
sólo simplifico esto, esto es x sobre y cuadrado por dy dx.
Luego esto es igual a la parte izquierda.
Es igual a 1 mas dy dx.
Y ahora todo lo que tenemos que hacer es resolver para dy dx.
Así que déjenme sólo repasar cómo llegamos aquí.
Aplicamos la regla de la cadena en cada paso del camino, pero
una vez que aprendas el truco, puedes literalmente sólo pasar
directo por este camino.
La manera de pensar en ello -- la parte derecha
creo que la entiendes.
La derivada de x es 1, la derivada de y con respecto
a x, bueno esto es sólo dy dx.
Pero la parte de la izquierda, es tomar la derivada de
todo esto con respecto a x sobre y.
Así que es sólo la derivada de tangente es 1 sobre
coseno cuadrado.
Así es 1 sobre coseno cuadrado de x sobre , y multiplicar
eso por la derivada de x sobre y con respecto a x.
Y la derivada de x sobre y con respecto a x es la
derivada de -- y se complica, por eso es
bueno hacerlo a un lado -- pero es la derivada de
x, que es 1 por 1 sobre y.
Que es ese término más la derivada de 1 sobre y con
respecto a x, que es menos 1 sobre y cuadrado dy dx, de
la regla de la cadena, por dx.
Es por eso que fue bueno hacerlo a un lado para no
cometer errores descuidados.
Pero una vez que te acostumbres, podrías realmente hacer eso en tu
cabeza, y por supuesto, esto igual a la parte de la derecha.
Así que de ahora en adelante es sólo álgebra pura.
Sólo resolver para dy dx.
Así que un buen sitio para empezar es multiplicar a ambos lados de esta
ecuación por coseno cuadrado de x sobre y.
Así que obviamente, eso nos dará 1 en este lado.
Y en el lado izquierdo sería 1 sobre y menos x sobre y cuadrado
dy dx es igual a -- tengo que multiplicar a ambos lados de la
ecuación por el denominador de aquí -- es igual a
coseno cuadrado de x sobre y mas coseno cuadrado de
x sobre y dy dx.
Ahora qué podemos hacer.
Podemos restar este coseno cuadrado de x sobre y de ambos
lados de la ecuación, y podemos obtener 1 sobre y menos coseno
cuadrado de x sobre y.
Todo lo que hice fue restar esto de ambos lados de la
ecuación, así que esencialmente moví esto hacia el
lado izquierdo.
Lo que estoy tratando de hacer es voy a tratar de separar los
términos sin dy dx de los términos con dy dx.
Así que quiero traer este término dy dx hacia
el lado derecho.
Así que déjenme sumar x sobre y cuadrado dy dx a ambos lados.
Así que esto es igual a x sobre y -- déjenme escribir esto en el
color en el que lo escribí originalmente, lígeramente
otro color.
Así que eso es x sobre y cuadrado -- Escribiré el dy dx en anaranjado.
dy dx, y luego tienes este término, mas coseno cuadrado
de x sobre y dy dx.
Yo creo que estamos a punto de acabar.
Factorisemos este dy dx del lado derecho.
Así que esto es igual a dy dx por x sobre y cuadrado más
coseno cuadrado de x sobre y.
Y eso es igual a esto de aqui, es igual a
1 sobre y menos coseno cuadrado de x sobre y.
Ahora para resolver para dy dx, sólo tenemos que dividir a ambos lados de
esta ecuación por la expresión de aquí.
Y luego, ¿qué obtenemos?
Obtenemos, si sólo dividimos a ambos lados por eso, obtenemos 1 sobre y
menos coseno cuadrado de x sobre y dividido por todo este
asunto de aquí.
x sobre y cuadrado mas coseno cuadrado de x sobre y es
igual a nuestro dy dx.
Y luego acabamos.
Sólo aplicamos la regla de la cadena múltiples veces y fuimos capaces
de diferenciar implícitamente tangente de y sobre x
igual a x mas y.
La parte difícil es realmente llegar al paso de aquí.
Luego de este paso es sólo literalmente álgebra pura sólo para resolver
para el dy dx, y luego obtienes esa respuesta de ahí.
De todas maneras, ojalá hayas encontrado esto útil.