1
00:00:00,430 --> 00:00:04,050
Me han preguntado cómo resolver la ecuación diferencial implícita

2
00:00:04,050 --> 00:00:10,390
tangente de x sobre y igual a x mas y.

3
00:00:10,390 --> 00:00:14,150
Y he realizado muchos videos de diferenciales implicitas, pero

4
00:00:14,150 --> 00:00:17,440
esto tiende a ser uno de los ejercicios más difíciles para

5
00:00:17,440 --> 00:00:18,720
estudiantes de cálculo de primer año.

6
00:00:18,720 --> 00:00:21,040
Entonces pensé en dar al menos otro ejemplo.

7
00:00:21,040 --> 00:00:22,860
Nunca duele ver tantos como sea posible

8
00:00:22,860 --> 00:00:24,290
Entonces hagamos esto.

9
00:00:24,290 --> 00:00:26,680
Así que para implícitamente differenciar éste, simplemente aplicamos la

10
00:00:26,680 --> 00:00:29,363
derivada con respecto al operador x a ambos lados

11
00:00:29,363 --> 00:00:29,970
de la ecuación.

12
00:00:29,970 --> 00:00:33,290
La derivada con respecto a x -- la derivada

13
00:00:33,290 --> 00:00:35,420
en el lado izquierdo con respecto a x es igual a la

14
00:00:35,420 --> 00:00:40,580
derivada del lado derecho con respecto a x.

15
00:00:40,580 --> 00:00:42,790
El lado derecho será sencillo, pero

16
00:00:42,790 --> 00:00:44,770
el lado izquierdo será un poco engorroso.

17
00:00:44,770 --> 00:00:47,380
Así que hagamos esto por aquí a un lado.

18
00:00:47,380 --> 00:00:52,020
Permítanme escribir la parte izquierda un poco diferente.

19
00:00:52,020 --> 00:00:52,990
Voy a tratar de hacerlo en otro color.

20
00:00:52,990 --> 00:01:00,410
Déjenme decir que a es igual a la tangente de b.

21
00:01:00,410 --> 00:01:09,380
Y que b es igual a x sobre y.

22
00:01:09,380 --> 00:01:11,620
Entonces a es claramente la misma cosa.

23
00:01:11,620 --> 00:01:14,860
Es decir si sólo substituyo b de nuevo aqui,

24
00:01:14,860 --> 00:01:18,090
todo esto lo podría reescribir como sólo a.

25
00:01:18,090 --> 00:01:20,930
Así que si tomo la derivada de a con respecto

26
00:01:20,930 --> 00:01:23,740
a x, es lo que queremos hacer aqui.

27
00:01:23,740 --> 00:01:26,570
Permítanme sólo tomar la derivada a ambos lados de esto.

28
00:01:26,570 --> 00:01:36,500
Esto sería la derivada de a con respecto de x igual a

29
00:01:36,500 --> 00:01:38,610
la derivada de x con respecto a x.

30
00:01:38,610 --> 00:01:41,210
Que es muy simple, es sólo 1.

31
00:01:41,210 --> 00:01:44,390
Más la derivada de y con respecto de x.

32
00:01:44,390 --> 00:01:45,430
Así que déjenme escribirlo así:

33
00:01:45,430 --> 00:01:48,820
Escribiré el operador de la derivada, la derivada

34
00:01:48,820 --> 00:01:53,770
de y con respecto a x.

35
00:01:53,770 --> 00:01:54,350
Eso fue todo lo que hicimos.

36
00:01:54,350 --> 00:01:56,520
Sólo aplicamos el operador de la derivada a y, y no

37
00:01:56,520 --> 00:01:58,650
sabemos qué es esto, vamos a resolver para esto.

38
00:01:58,650 --> 00:02:01,180
Pero obviamente, no puedo dejar esto aquí, la derivada

39
00:02:01,180 --> 00:02:02,360
de a con respecto de x.

40
00:02:02,360 --> 00:02:04,610
Resolvimos para a, y a es sólo esto

41
00:02:04,610 --> 00:02:05,930
de aquí, cierto?

42
00:02:05,930 --> 00:02:09,450
a es tangente de b, y b es sólo y sobre x.

43
00:02:09,450 --> 00:02:11,730
La razón por la cual la escribí así es porque quería mostrar

44
00:02:11,730 --> 00:02:14,870
que cuando tomas la derivada de esto, sólo

45
00:02:14,870 --> 00:02:16,500
sale de la regla de la cadena.

46
00:02:16,500 --> 00:02:18,840
No es algún tipo de nueva mágia voodoo que tu

47
00:02:18,840 --> 00:02:20,090
no has aprendido aún.

48
00:02:20,090 --> 00:02:22,200
Así que la derivada -- déjame sólo escribir la

49
00:02:22,200 --> 00:02:23,990
regla de la cadena aquí.

50
00:02:23,990 --> 00:02:30,930
La derivada de a con respecto a x es igual a la

51
00:02:30,930 --> 00:02:35,280
derivada de a con respecto a b multiplicado por la derivada

52
00:02:35,280 --> 00:02:37,580
de b con respecto a x.

53
00:02:37,580 --> 00:02:39,720
Eso es sólo la regla de la cadena y es muy fácil de recordar,

54
00:02:39,720 --> 00:02:43,040
porque el db se cancela y sólo te queda la

55
00:02:43,040 --> 00:02:45,800
derivada de a con respecto a x, si sólo las tratas

56
00:02:45,800 --> 00:02:47,470
como fracciones normales.

57
00:02:47,470 --> 00:02:50,275
Así que cúal es la derivada de a con respecto a b?

58
00:02:55,020 --> 00:03:01,570
Bueno, es sólo 1 sobre coseno cuadrado de b.

59
00:03:01,570 --> 00:03:03,570
Y si no lo sabes de memoria, no es realmente

60
00:03:03,570 --> 00:03:07,400
tan difícil de probar que si sólo escriber seno

61
00:03:07,400 --> 00:03:10,670
de b sobre coseno de b, pero esto tiende a ser una

62
00:03:10,670 --> 00:03:12,130
derivada que la mayoría de las personas se memorizan.

63
00:03:12,130 --> 00:03:14,230
Yo creo que ya hice un video comprobando esto.

64
00:03:14,230 --> 00:03:16,840
Y algunos libros aún escriben esto como secante cuadrado de b, pero nosotros

65
00:03:16,840 --> 00:03:19,070
sabemos que secante cuadrado es lo mismo que 1 sobre

66
00:03:19,070 --> 00:03:20,340
coseno cuadrado.

67
00:03:20,340 --> 00:03:25,320
A mi me gusta dejarlo en términos de las funciones trig fúndamentales,

68
00:03:25,320 --> 00:03:27,360
o las relaciones trig contrario a las cosas como secante

69
00:03:27,360 --> 00:03:28,490
y cosecante.

70
00:03:28,490 --> 00:03:31,090
Así que, ¿cúal es la derivada de b con respecto de x?

71
00:03:37,030 --> 00:03:38,260
Esto es bastante interesante.

72
00:03:38,260 --> 00:03:39,710
Déjenme reescribir b, realmente.

73
00:03:39,710 --> 00:03:45,730
Déjenme reescribir b igual a x por y a la menos 1.

74
00:03:45,730 --> 00:03:48,520
Así la derivada de b con respecto a x, podríamos hacer

75
00:03:48,520 --> 00:03:50,470
un poco de la regla de la cadena aquí.

76
00:03:50,470 --> 00:03:53,680
Podríamos decir -- déjenme escribir esto -- la derivada de b

77
00:03:53,680 --> 00:03:57,530
con respecto a x es igual a la derivada de x por

78
00:03:57,530 --> 00:03:58,790
y a la 1 negativo.

79
00:03:58,790 --> 00:04:01,300
Así la derivada de x es 1.

80
00:04:01,300 --> 00:04:07,360
por y a la negativo 1 mas la derivada de y -- así que

81
00:04:07,360 --> 00:04:08,030
permítanme sólo escribirlo.

82
00:04:08,030 --> 00:04:12,320
Más la derivada con respecto a x de y a la

83
00:04:12,320 --> 00:04:17,930
menos 1 por el primer término, por x.

84
00:04:17,930 --> 00:04:20,470
Así que esto de aquí, y claro que todavía no he

85
00:04:20,470 --> 00:04:21,190
simplificado esto completamente.

86
00:04:21,190 --> 00:04:22,890
Me queda aún por entender qué es esto de aquí.

87
00:04:22,890 --> 00:04:25,010
Pero quiero simplemente aplicar la regla del producto aquí.

88
00:04:25,010 --> 00:04:27,990
La derivada de este primer término, derivada de x es 1

89
00:04:27,990 --> 00:04:30,380
por el segundo término más la derivada del segundo

90
00:04:30,380 --> 00:04:31,310
por el primer término.

91
00:04:31,310 --> 00:04:32,700
Eso es todo lo que hice aquí.

92
00:04:32,700 --> 00:04:35,170
Así que la derivada de b con respecto a x es sólo

93
00:04:35,170 --> 00:04:36,560
esto que tengo aquí.

94
00:04:36,560 --> 00:04:42,290
Así que es igual -- déjenme hacerlo en amarillo -- así que es --

95
00:04:42,290 --> 00:04:43,520
oh, lo haré en azul puesto que ya escribí eso.

96
00:04:43,520 --> 00:04:47,290
Esto es azul, derivada de b con respecto a x es y a la

97
00:04:47,290 --> 00:04:52,580
menos 1, o 1 sobre y, más la derivada con respecto a

98
00:04:52,580 --> 00:04:59,590
x de 1 sobre y por x.

99
00:04:59,590 --> 00:05:01,180
Así que déjenme escribirlo aquí.

100
00:05:01,180 --> 00:05:04,330
Así que ya resolvimos, o estamos a punto de resolver,

101
00:05:04,330 --> 00:05:07,400
cual es la derivada de a con respecto a x, y

102
00:05:07,400 --> 00:05:08,450
podríamos meter eso ahí.

103
00:05:08,450 --> 00:05:09,230
Pero no hemos terminado.

104
00:05:09,230 --> 00:05:12,280
¿Cuál es la derivada de 1 sobre y con respecto a x?

105
00:05:12,280 --> 00:05:14,990
Bueno, aplicamos nuevamente la regla de la cadena.

106
00:05:17,520 --> 00:05:18,830
Y lo que quiero dejar claro es esto.

107
00:05:18,830 --> 00:05:21,570
Yo sé que puede parecer complejo lo que estoy haciendo

108
00:05:21,570 --> 00:05:24,020
aquí, pero creo que podría tener un poco de sentido.

109
00:05:24,020 --> 00:05:28,390
Déjenme establecer c igual a 1 sobre y.

110
00:05:28,390 --> 00:05:32,550
Así la derivada de c con respecto a x, sólo por la

111
00:05:32,550 --> 00:05:35,580
regla de la cadena, es igual a la derivada de c con respecto a

112
00:05:35,580 --> 00:05:40,090
y por la derivada de y con respecto a x.

113
00:05:40,090 --> 00:05:43,140
¿Cuál es la derivada de c con respecto a y?

114
00:05:43,140 --> 00:05:44,930
Bueno esto es la misma cosa -- Podría re-escribir

115
00:05:44,930 --> 00:05:46,350
esto cómo y a la menos 1.

116
00:05:46,350 --> 00:05:51,160
Así que es menos y a la potencia menos 2.

117
00:05:51,160 --> 00:05:52,910
Esto es lo que esto es.

118
00:05:52,910 --> 00:05:55,740
Esto es esto de ahí.

119
00:05:55,740 --> 00:05:57,220
Y no sabemos qué es la derivada de y con

120
00:05:57,220 --> 00:05:58,020
respecto a x.

121
00:05:58,020 --> 00:05:59,690
Eso es por lo que tenemos que resolver.

122
00:05:59,690 --> 00:06:02,390
Así que es eso por la derivada de y

123
00:06:02,390 --> 00:06:03,540
con respecto a x.

124
00:06:03,540 --> 00:06:05,340
Eso simplemente sale de la regla de la cadena.

125
00:06:05,340 --> 00:06:11,400
Así que esto de aquí, esto es la derivada de esto

126
00:06:11,400 --> 00:06:13,830
con respecto a x, lo que es lo mismo a la derivada

127
00:06:13,830 --> 00:06:15,770
de c con respecto a x.

128
00:06:15,770 --> 00:06:19,210
Así que puedo escribir esta pequeña parte de aquí, puedo

129
00:06:19,210 --> 00:06:25,240
re-escribir esta partecita como menos y a la menos 2 dy

130
00:06:25,240 --> 00:06:28,910
dx, y luego, por supuesto, tengo multiplicado x.

131
00:06:28,910 --> 00:06:33,910
Y luego tenemos el más 1 sobre y, y todo eso multiplicado

132
00:06:33,910 --> 00:06:38,050
el 1 sobre coseno cuadrado de b.

133
00:06:38,050 --> 00:06:40,660
Así que ahora lo hemos simplificado una buena parte.

134
00:06:40,660 --> 00:06:42,840
Espero que aplicar la regla de la cadena no los confundiera,

135
00:06:42,840 --> 00:06:45,020
porque yo francamente quiero dejar claro que todo

136
00:06:45,020 --> 00:06:48,320
estos problemas de diferenciales implícitos, estos dy dx's no son sólo,

137
00:06:48,320 --> 00:06:50,570
no es una regla que deberías memorizar.

138
00:06:50,570 --> 00:06:52,890
Ellos vienen naturalmente de la regla de la cadena.

139
00:06:52,890 --> 00:06:56,930
Así que resolvimos da dx, esto es igual a esta

140
00:06:56,930 --> 00:06:59,230
expresión de aquí.

141
00:06:59,230 --> 00:07:07,130
Déjenme escribir esto, esto es igual a 1 sobre coseno cuadrado de b.

142
00:07:07,130 --> 00:07:07,880
Bueno, ¿qué es b?

143
00:07:07,880 --> 00:07:10,640
Escribí que es cos x sobre y.

144
00:07:10,640 --> 00:07:16,920
Coseno cuadrado de x sobre y mulplicado por todo esto de

145
00:07:16,920 --> 00:07:19,840
aquí, por todo este lío.

146
00:07:19,840 --> 00:07:25,670
1 sobre y más, o quizás debería decir menos, menos - si

147
00:07:25,670 --> 00:07:32,486
sólo simplifico esto, esto es x sobre y cuadrado por dy dx.

148
00:07:36,660 --> 00:07:39,000
Luego esto es igual a la parte izquierda.

149
00:07:39,000 --> 00:07:48,490
Es igual a 1 mas dy dx.

150
00:07:48,490 --> 00:07:51,420
Y ahora todo lo que tenemos que hacer es resolver para dy dx.

151
00:07:51,420 --> 00:07:53,990
Así que déjenme sólo repasar cómo llegamos aquí.

152
00:07:53,990 --> 00:07:56,300
Aplicamos la regla de la cadena en cada paso del camino, pero

153
00:07:56,300 --> 00:07:58,170
una vez que aprendas el truco, puedes literalmente sólo pasar

154
00:07:58,170 --> 00:07:59,360
directo por este camino.

155
00:07:59,360 --> 00:08:01,380
La manera de pensar en ello -- la parte derecha

156
00:08:01,380 --> 00:08:02,033
creo que la entiendes.

157
00:08:02,033 --> 00:08:04,380
La derivada de x es 1, la derivada de y con respecto

158
00:08:04,380 --> 00:08:06,560
a x, bueno esto es sólo dy dx.

159
00:08:06,560 --> 00:08:09,010
Pero la parte de la izquierda, es tomar la derivada de

160
00:08:09,010 --> 00:08:11,630
todo esto con respecto a x sobre y.

161
00:08:11,630 --> 00:08:14,100
Así que es sólo la derivada de tangente es 1 sobre

162
00:08:14,100 --> 00:08:15,020
coseno cuadrado.

163
00:08:15,020 --> 00:08:18,620
Así es 1 sobre coseno cuadrado de x sobre , y multiplicar

164
00:08:18,620 --> 00:08:23,530
eso por la derivada de x sobre y con respecto a x.

165
00:08:23,530 --> 00:08:26,770
Y la derivada de x sobre y con respecto a x es la

166
00:08:26,770 --> 00:08:28,970
derivada de -- y se complica, por eso es

167
00:08:28,970 --> 00:08:31,590
bueno hacerlo a un lado -- pero es la derivada de

168
00:08:31,590 --> 00:08:34,150
x, que es 1 por 1 sobre y.

169
00:08:34,150 --> 00:08:39,680
Que es ese término más la derivada de 1 sobre y con

170
00:08:39,680 --> 00:08:44,200
respecto a x, que es menos 1 sobre y cuadrado dy dx, de

171
00:08:44,200 --> 00:08:46,620
la regla de la cadena, por dx.

172
00:08:46,620 --> 00:08:48,140
Es por eso que fue bueno hacerlo a un lado para no

173
00:08:48,140 --> 00:08:49,360
cometer errores descuidados.

174
00:08:49,360 --> 00:08:51,410
Pero una vez que te acostumbres, podrías realmente hacer eso en tu

175
00:08:51,410 --> 00:08:53,980
cabeza, y por supuesto, esto igual a la parte de la derecha.

176
00:08:53,980 --> 00:08:56,520
Así que de ahora en adelante es sólo álgebra pura.

177
00:08:56,520 --> 00:08:59,140
Sólo resolver para dy dx.

178
00:08:59,140 --> 00:09:01,490
Así que un buen sitio para empezar es multiplicar a ambos lados de esta

179
00:09:01,490 --> 00:09:04,910
ecuación por coseno cuadrado de x sobre y.

180
00:09:04,910 --> 00:09:07,420
Así que obviamente, eso nos dará 1 en este lado.

181
00:09:07,420 --> 00:09:14,970
Y en el lado izquierdo sería 1 sobre y menos x sobre y cuadrado

182
00:09:14,970 --> 00:09:23,690
dy dx es igual a -- tengo que multiplicar a ambos lados de la

183
00:09:23,690 --> 00:09:26,730
ecuación por el denominador de aquí -- es igual a

184
00:09:26,730 --> 00:09:32,530
coseno cuadrado de x sobre y mas coseno cuadrado de

185
00:09:32,530 --> 00:09:35,190
x sobre y dy dx.

186
00:09:39,420 --> 00:09:40,190
Ahora qué podemos hacer.

187
00:09:40,190 --> 00:09:44,210
Podemos restar este coseno cuadrado de x sobre y de ambos

188
00:09:44,210 --> 00:09:52,110
lados de la ecuación, y podemos obtener 1 sobre y menos coseno

189
00:09:52,110 --> 00:09:53,710
cuadrado de x sobre y.

190
00:09:53,710 --> 00:09:55,780
Todo lo que hice fue restar esto de ambos lados de la

191
00:09:55,780 --> 00:09:57,590
ecuación, así que esencialmente moví esto hacia el

192
00:09:57,590 --> 00:09:59,040
lado izquierdo.

193
00:09:59,040 --> 00:10:01,040
Lo que estoy tratando de hacer es voy a tratar de separar los

194
00:10:01,040 --> 00:10:04,810
términos sin dy dx de los términos con dy dx.

195
00:10:04,810 --> 00:10:06,750
Así que quiero traer este término dy dx hacia

196
00:10:06,750 --> 00:10:07,950
el lado derecho.

197
00:10:07,950 --> 00:10:11,550
Así que déjenme sumar x sobre y cuadrado dy dx a ambos lados.

198
00:10:11,550 --> 00:10:17,260
Así que esto es igual a x sobre y -- déjenme escribir esto en el

199
00:10:17,260 --> 00:10:21,070
color en el que lo escribí originalmente, lígeramente

200
00:10:21,070 --> 00:10:21,470
otro color.

201
00:10:21,470 --> 00:10:27,110
Así que eso es x sobre y cuadrado -- Escribiré el dy dx en anaranjado.

202
00:10:27,110 --> 00:10:34,120
dy dx, y luego tienes este término, mas coseno cuadrado

203
00:10:34,120 --> 00:10:36,880
de x sobre y dy dx.

204
00:10:40,950 --> 00:10:43,000
Yo creo que estamos a punto de acabar.

205
00:10:43,000 --> 00:10:46,410
Factorisemos este dy dx del lado derecho.

206
00:10:46,410 --> 00:10:56,770
Así que esto es igual a dy dx por x sobre y cuadrado más

207
00:10:56,770 --> 00:11:01,220
coseno cuadrado de x sobre y.

208
00:11:01,220 --> 00:11:04,180
Y eso es igual a esto de aqui, es igual a

209
00:11:04,180 --> 00:11:09,250
1 sobre y menos coseno cuadrado de x sobre y.

210
00:11:09,250 --> 00:11:12,240
Ahora para resolver para dy dx, sólo tenemos que dividir a ambos lados de

211
00:11:12,240 --> 00:11:15,450
esta ecuación por la expresión de aquí.

212
00:11:15,450 --> 00:11:16,900
Y luego, ¿qué obtenemos?

213
00:11:16,900 --> 00:11:21,970
Obtenemos, si sólo dividimos a ambos lados por eso, obtenemos 1 sobre y

214
00:11:21,970 --> 00:11:27,210
menos coseno cuadrado de x sobre y dividido por todo este

215
00:11:27,210 --> 00:11:28,720
asunto de aquí.

216
00:11:28,720 --> 00:11:36,190
x sobre y cuadrado mas coseno cuadrado de x sobre y es

217
00:11:36,190 --> 00:11:42,150
igual a nuestro dy dx.

218
00:11:42,150 --> 00:11:43,370
Y luego acabamos.

219
00:11:43,370 --> 00:11:46,460
Sólo aplicamos la regla de la cadena múltiples veces y fuimos capaces

220
00:11:46,460 --> 00:11:50,600
de diferenciar implícitamente tangente de y sobre x

221
00:11:50,600 --> 00:11:51,600
igual a x mas y.

222
00:11:51,600 --> 00:11:55,980
La parte difícil es realmente llegar al paso de aquí.

223
00:11:55,980 --> 00:11:59,470
Luego de este paso es sólo literalmente álgebra pura sólo para resolver

224
00:11:59,470 --> 00:12:04,730
para el dy dx, y luego obtienes esa respuesta de ahí.

225
00:12:04,730 --> 00:12:07,380
De todas maneras, ojalá hayas encontrado esto útil.