Trig Implicit Differentiation Example

Implicit differentiation example that involves the tangent function

.

لقد طلب مني ان اجد التمايز الضمني لمعادلة

الخط القاطع لـ x / y = x + y

وقد قمت بتصميم عدة عروض حول التمايز الضمني، لكن

ان هذا يصبح احد اكبر مصادر العناء

لطلاب السنة الاولى في التفاضل والتكامل

لذا فكرت بأن أعطي مثال آخر على الاقل

وليس من الخطأ ان نرى العديد من الامثلة

لذا دعونا نقوم بحل هذا

اذاً لكي نمايز هذه ضمنياً، اننا نقوم بتطبيق

المشتقة فيما يتعلق بـ x عامل طرفي

المعادلة

ان مشتقة هذا فيما يتعلق بـ x --مشتقة

الجانب الايسر فيما يتعلق بـ x هي نفس

مشتقة الجانب الايمن فيما يتعلق بـ x

مشتقة الجانب الايمن ستكون مباشرة جداً، لكن

بالنسبة للجانب الايسر ستكون مخادعة بعض الشيئ

اذاً دعونا نفعل ذلك هنا

دعوني اكتب الجانب الايسر بطريقة مختلفة

سأكتبه بلون مختلف

دعوني افترض ان a = ظل b

ودعوني افترض ان b = x / y

ثم ان a هو، وبكل وضوح، نفس الشيئ

اعني انه اذا عوضت b هنا، فإن هذا

كله يمكنني ان اعيد كتابته ليصبح a

فاذا كنا ناخذ مشتقة a فيما يتعلق

بـ x، هذا ما نرغب بفعله هنا

دعوني آخذ مشتقة طرفي هذه

هذه ستكون مشتقة a فيما يتعلق بـ x تساوي

مشتقة x فيما يتعلق بـ x

حسناً، ان ذلك مباشر للغاية، انها تساوي 1

+ مشتقة y فيما يتعلق بـ x

اذاً دعوني اكتبها بهذا الشكل

سوف اكتب عامل المشتقة، اي مشتقة

y فيما يتعلق بـ x

هذا هو كل ما فعلناه

لقد طبقنا عامل المشتقة على y، ولا

اعرف ما هذا الشيئ، سوف نقوم بحلها

لكن بكل وضوح، لا يمكنني ان اترك هذا هنا، مشتقة

a فيما يتعلق بـ x

لقد اوجدنا a للتو، و a هو عبارة عن هذا الشيئ

الموجود هنا، اليس كذلك؟

ان a هو ظل b، و b = y / x

وسبب كتابتي لها بهذه الطريقة هو لأنني اردت ان اوضح

لكم انه عندما تأخذون مشتقة هذا، فإنه

يأتي من قاعدة السلسلة

انه ليس نوع جديد من الشعوذة التي

لم تتعلموها بعد

اذاً مشتقة --دعوني اكتب

قاعدة السلسلة هنا

مشتقة a فيما يتعلق بـ x تساوي

مشتقة a فيما يتعلق بـ b × مشتقة

b فيما يتعلق بـ x

تلك هي قاعدة السلسلة وهي سهلة للغاية

لأن الـ db يتم حذفهم ويتبقى لدينا

مشتقة a فيما يتعلق بـ x، اذا كنت قد عاملت هذه

ككسور عادية

اذاً ما هي مشتقة a فيما يتعلق بـ b؟

ما هي مشتقة a فيما يتعلق بـ b؟

حسناً، انها 1 / مربع جيب تمام b

واذا لم تقم بحفظ هذا، فإنه ليس

من الصعب اثباته لأنفسكم اذا كتبتم هذا بصورة جيب

b / جيب تمام b، لكنه سيكون واحداً من

مشتقات علم حساب المثلثات التي يحفظها معظم الناس

اعتقد انني بالفعل قد صممت عرضاً اثبت فيه هذا

وبعض الكتب لا تزال تكتب هذا بصورة مربع قاطع b، لكننا

نعرف ان مربع القاطع يعادل 1 /

مربع جيب التمام

انني احب ان ابقيه بصورة وظائف علم حساب المثلثات الاساسية

او نسب علم حساب المثلثات بدلاً من الاشياء التي مثل القاطع

وقاطع التمام

ثم ما هي مشتقة b فيما يتعلق بـ x؟

مشتقة b فيما يتعلق بـ x

ان هذا مثير للاهتمام فعلاً

في الواقع، دعوني اعيد كتابة b

دعوني اكتب b = x × y^-1

اذاً مشتقة b فيما يتعلق بـ x، يمكننا استخدام

قاعدة السلسلة هنا

يمكن ان نقول --دعوني اكتب هذا-- مشتقة b

فيما يتعلق بـ x تساوي مشتقة x ×

y^-1

اذاً مشتقة x هي 1

× y^-1 + مشتقة y

--دعوني اكتب هذا--

+ المشتقة فيما يتعلق بـ x لـ y^-1

× العبارة الاولى، اي × x

اذاً هذا الشيئ الموجود هنا، وبكل وضوح لم اقم

بتبسيطها تماماً بعد

لا يزال علي ان اجد ما هذا الشيئ الموجود هنا

لكنني قمت بكل بساطة بتطبيق قاعدة حاصل الضرب هنا

مشتقة العبارة الاولى، اي مشتقة x هي 1

× العبارة الثانية + مشتقة العبارة الثانية

× العبارة الاولى

هذا هو كل ما فعلته هنا

اذاً مشتقة b فيما يتعلق بـ x هي

هذا الشيئ الموجود هنا

اذاً تساوي --دعوني افعل هذا باللون الاصفر-- اذاً هي ×

--اوه، سأكتبها باللون الازرق بما انني قد كتبتها بالفعل

هذا هو اللون الازرق، مشتقة b فيما يتعلق بـ x هي y^-1

او 1 / y + المشتقة فيما يتعلق بـ

x(1/y) × x

اذاً دعوني اكتب هذا هنا

لقد اوجدنا، او اننا قد انتهينا تقريباً من ايجاد

ما هي مشتقة a فيما يتعلق بـ x، و

يمكننا ان نضع هذا هنا

لكننا لم ننته بعد

ما هي مشتقة 1 / y فيما يتعلق بـ x؟

حسناً، سنستخدم قاعدة السلسلة مرة اخرى

.

واريد ان اكون واضحاً جداً بهذا

اعلم ان ما افعله هنا ربما يبدو ثقيلاً

لكنني اعتقد انه لربما يكون منطقياً

دعوني اضع ان c = 1 / y

اذاً مشتقة c فيما يتعلق بـ x، من خلال

قاعدة السلسلة، تساوي مشتقة c فيما يتعلق

بـ y × مشتقة y فيما يتعلق بـ x

ما هي مشتقة c فيما يتعلق بـ y؟

حسناً، ان هذا يعادل --بامكاني اعادة كتابة

هذا بصورة y^-1

اذاً هي y^-2-

هذا هو هذا الشيئ

هذا الشيئ عبارة عن هذا الموجود هنا

ولا اعرف ما هي مشتقة y

فيما يتعلق بـ x

هذا ما نسعى لأن نجده

اذاً انها عبارة عن هذا × مشتقة y

فيما يتعلق بـ x

هذا قد اتى من قاعدة السلسلة

اذاً هذا الشيئ الموجود هنا، هذه هي مشتقة هذا الشيئ

فيما يتعلق بـ x، وهي تعادل مشتقة

c فيما يتعلق بـ x

اذاً بامكاني ان اكتب هذه القصاصة الصغيرة هنا، يمكنني ان

اعيد كتابة هذه القصاصة كالتالي: y^-2dy dx-

ومن ثم، بالطبع، يوجد × x

ومن ثم لدي + 1 / y، وجميع ذلك كان مضروب

بـ 1 / جيب تمام b

اذاً الآن قمنا بتبسيط هذا بشكل جيد

اتمنى ان الخوض في قاعدة السلسلة لم يربككم

لأنني في الحقيقة اريد توضيح نقطة بأن جميع

مسائل التمايز الضمني هذه، اي dy dx هذه

ليست نفس القاعدة التي يجب ان تحفظوها

انها اتت بشكل طبيعي من قاعدة السلسلة

اذاً لقد اوجدنا da dx، وهي تساوي هذه

العبارة الموجودة هنا

دعوني اكتبها، انها تساوي 1 / مربع جيب تمام b

حسناً، ما هي قيمة b؟

لقد كتبتها، انها جيب تمام x / y

مربع جيب تمام x / y × كل هذه الاشياء الموجودة

هنا، × كل هذه الفوضى

1 / y +، او ربما يجب ان اقول -، - --اذا

بسطت هذا، فإن هذا x / y^2 × dy dx

× dy dx

ثم ان هذا مساوياً للجانب الايمن

انه يساوي 1 + dy dx

والآن كل ما علينا فعله هو ان نجد قيمة dy dx

لذا دعوني اقوم بمراجعة لكيفية وصولنا الى هنا

لقد مررت بقاعدة السلسلة في كل خطوة، لكن

عندما تدركونها، سيكون بامكانكم ان تنتقلوا

مباشرة الى الاسفل بهذا الاتجاه

الطريقة التي فكرت بها هي --الجانب الايمن

اعتقد انكم قد فهمتموه

مشتقة x هي 1، ومشتقة y فيما يتعلق

بـ x، حسناً، عبارة عن dy dx

لكن الجانب الايسر، تاخذ مشتقة

كل شيئ فيما يتعلق بـ x / y

اذاً هذه هي مشتقة القاطع، وهي 1 /

مربع جيب التمام

اذاً هي 1 / مربع جيب تمام x / y، وتضرب

ذلك بمشتقة x / y فيما يتعلق بـ x

ومشتقة x / y فيما يتعلق بـ x عبارة عن

مشتقة --وقد بدأت بالتعقد، لهذا السبب انه من

الجيد االقيام بهذا على جانب هنا-- لكنها مشتقة

x، وهي 1 × 1 / y

وهي تلك العبارة + مشتقة 1 / y

فيما يتعلق بـ x، اي هي -1 / y^2 dy dx، من

قاعدة السلسلة، × dx

لهذا السبب كان من الافضل القيام بهذا جانباً لكي لا

نرتكب خطأ غير مقصود

لكن عندما تعتادون عليه، سيكون بامكانكم القيام بذلك

ذهنياً، وبالطبع، ان هذا يساوي الجانب الايمن

اذاً من اليوم فصاعداً، ان هذا يعتبر جبراً

لكي نجد dy dx

اذاً المكان الجيد لنبدأ منه هو ان نضرب طرفي هذه

المعادلة بمربع جيب تمام x / y

اذاً بكل وضوح، ان ذلك يصبح 1 على هذا الجانب

والجانب الايسر سيصبح 1 / y - x / y^2 dy dx

= --علي ان اضرب طرفي

المعادلة بهذا المقام الموجود هنا-- =

مربع جيب تمام x / y + مربع جيب تمام

x / y dy dx

dy dx

ماذا يمكن ان نفعل الآن

يمكننا ان نطرح مربع جيب تمام x / y هذا من

طرفي المعادلة، ونحصل على 1 / y -

مربع جيب تمام x / y

كل ما فعلته هو انني طرحت هذا من طرفي

المعادلة، لذا بالضرورة قد حركتها الى

الجانب الايسر

ما احاول فعله هو ان احاول فصل

العبارات التي لا تحتوي على dy dx عن العبارات التي تحتوي على dy dx

لذا سوف احضر عبارة dy dx هذه الى

الجانب الايمن

لذا دعوني اضيف x / y^2 dy dx لكلا الطرفين

ثم ان هذا يساوي x / y --دعوني اكتب ذلك

باللون الذي قد كتبتها به

لون مختلف قليلاً

اذاً x / y^2 --سوف اكتب الـ dy dx باللون البرتقالي

dy dx، ومن ثم لدينا هذه العبارة، + مربع جيب تمام

x / y dy dx

dy dx

اعتقد اننا في لب الموضوع

دعونا نستخرج العامل المشترك dy dx من الجانب الايمن

اذاً هذا يساوي dy dx (x / y^2

+ مربع جيب تمام x / y)

وهذا يساوي هذا الشيئ الموجود هنا، انه يساوي

1 / y - مربع جيب تمام x / y

الآن لكي نجد dy dx، علينا ان نقسم طرفي

هذه المعادلة على هذه العبارة الموجودة هنا

وبالتالي على ماذا نحصل؟

نحصل على، اذا قسمنا كلا الطرفين على هذا، سنحصل على 1 / y

- مربع جيب تمام x / y ÷

كل هذا الشيئ الموجود هنا

x / y^2 + مربع جيب تمام x / y

= dy dx

ومن ثم نكون انتهينا

لقد طبقنا قاعدة السلسلة عدة مرات وكنا قادرين

على التمايز الضمني لظل y / x

= y + x

ان الجزء الصعب هو الوصول الى هذه الخطوة

بعد هذه الخطوة يعتبر جبراً بشكل تام لكي نقوم بايجاد

dy dx، ومن ثم تحصل على تلك الاجابة الموجودة هناك

على اي حال، اتمنى انكم قد وجدت هذا مفيداً