WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.430
.

00:00:00.430 --> 00:00:04.050
لقد طلب مني ان اجد التمايز الضمني لمعادلة

00:00:04.050 --> 00:00:10.390
الخط القاطع لـ x / y = x + y

00:00:10.390 --> 00:00:14.150
وقد قمت بتصميم عدة عروض حول التمايز الضمني، لكن

00:00:14.150 --> 00:00:17.440
ان هذا يصبح احد اكبر مصادر العناء

00:00:17.440 --> 00:00:18.720
لطلاب السنة الاولى في التفاضل والتكامل

00:00:18.720 --> 00:00:21.040
لذا فكرت بأن أعطي مثال آخر على الاقل

00:00:21.040 --> 00:00:22.860
وليس من الخطأ ان نرى العديد من الامثلة

00:00:22.860 --> 00:00:24.290
لذا دعونا نقوم بحل هذا

00:00:24.290 --> 00:00:26.680
اذاً لكي نمايز هذه ضمنياً، اننا نقوم بتطبيق

00:00:26.680 --> 00:00:29.363
المشتقة فيما يتعلق بـ x عامل طرفي

00:00:29.363 --> 00:00:29.970
المعادلة

00:00:29.970 --> 00:00:33.290
ان مشتقة هذا فيما يتعلق بـ x --مشتقة

00:00:33.290 --> 00:00:35.420
الجانب الايسر فيما يتعلق بـ x هي نفس

00:00:35.420 --> 00:00:40.580
مشتقة الجانب الايمن فيما يتعلق بـ x

00:00:40.580 --> 00:00:42.790
مشتقة الجانب الايمن ستكون مباشرة جداً، لكن

00:00:42.790 --> 00:00:44.770
بالنسبة للجانب الايسر ستكون مخادعة بعض الشيئ

00:00:44.770 --> 00:00:47.380
اذاً دعونا نفعل ذلك هنا

00:00:47.380 --> 00:00:52.020
دعوني اكتب الجانب الايسر بطريقة مختلفة

00:00:52.020 --> 00:00:52.990
سأكتبه بلون مختلف

00:00:52.990 --> 00:01:00.410
دعوني افترض ان a = ظل b

00:01:00.410 --> 00:01:09.380
ودعوني افترض ان b = x / y

00:01:09.380 --> 00:01:11.620
ثم ان a هو، وبكل وضوح، نفس الشيئ

00:01:11.620 --> 00:01:14.860
اعني انه اذا عوضت b هنا، فإن هذا

00:01:14.860 --> 00:01:18.090
كله يمكنني ان اعيد كتابته ليصبح a

00:01:18.090 --> 00:01:20.930
فاذا كنا ناخذ مشتقة a فيما يتعلق

00:01:20.930 --> 00:01:23.740
بـ x، هذا ما نرغب بفعله هنا

00:01:23.740 --> 00:01:26.570
دعوني آخذ مشتقة طرفي هذه

00:01:26.570 --> 00:01:36.500
هذه ستكون مشتقة a فيما يتعلق بـ x تساوي

00:01:36.500 --> 00:01:38.610
مشتقة x فيما يتعلق بـ x

00:01:38.610 --> 00:01:41.210
حسناً، ان ذلك مباشر للغاية، انها تساوي 1

00:01:41.210 --> 00:01:44.390
+ مشتقة y فيما يتعلق بـ x

00:01:44.390 --> 00:01:45.430
اذاً دعوني اكتبها بهذا الشكل

00:01:45.430 --> 00:01:48.820
سوف اكتب عامل المشتقة، اي مشتقة

00:01:48.820 --> 00:01:53.770
y فيما يتعلق بـ x

00:01:53.770 --> 00:01:54.350
هذا هو كل ما فعلناه

00:01:54.350 --> 00:01:56.520
لقد طبقنا عامل المشتقة على y، ولا

00:01:56.520 --> 00:01:58.650
اعرف ما هذا الشيئ، سوف نقوم بحلها

00:01:58.650 --> 00:02:01.180
لكن بكل وضوح، لا يمكنني ان اترك هذا هنا، مشتقة

00:02:01.180 --> 00:02:02.360
a فيما يتعلق بـ x

00:02:02.360 --> 00:02:04.610
لقد اوجدنا a للتو، و a هو عبارة عن هذا الشيئ

00:02:04.610 --> 00:02:05.930
الموجود هنا، اليس كذلك؟

00:02:05.930 --> 00:02:09.450
ان a هو ظل b، و b = y / x

00:02:09.450 --> 00:02:11.730
وسبب كتابتي لها بهذه الطريقة هو لأنني اردت ان اوضح

00:02:11.730 --> 00:02:14.870
لكم انه عندما تأخذون مشتقة هذا، فإنه

00:02:14.870 --> 00:02:16.500
يأتي من قاعدة السلسلة

00:02:16.500 --> 00:02:18.840
انه ليس نوع جديد من الشعوذة التي

00:02:18.840 --> 00:02:20.090
لم تتعلموها بعد

00:02:20.090 --> 00:02:22.200
اذاً مشتقة --دعوني اكتب

00:02:22.200 --> 00:02:23.990
قاعدة السلسلة هنا

00:02:23.990 --> 00:02:30.930
مشتقة a فيما يتعلق بـ x تساوي

00:02:30.930 --> 00:02:35.280
مشتقة a فيما يتعلق بـ b × مشتقة

00:02:35.280 --> 00:02:37.580
b فيما يتعلق بـ x

00:02:37.580 --> 00:02:39.720
تلك هي قاعدة السلسلة وهي سهلة للغاية

00:02:39.720 --> 00:02:43.040
لأن الـ db يتم حذفهم ويتبقى لدينا

00:02:43.040 --> 00:02:45.800
مشتقة a فيما يتعلق بـ x، اذا كنت قد عاملت هذه

00:02:45.800 --> 00:02:47.470
ككسور عادية

00:02:47.470 --> 00:02:50.275
اذاً ما هي مشتقة a فيما يتعلق بـ b؟

00:02:50.275 --> 00:02:55.020
ما هي مشتقة a فيما يتعلق بـ b؟

00:02:55.020 --> 00:03:01.570
حسناً، انها 1 / مربع جيب تمام b

00:03:01.570 --> 00:03:03.570
واذا لم تقم بحفظ هذا، فإنه ليس

00:03:03.570 --> 00:03:07.400
من الصعب اثباته لأنفسكم اذا كتبتم هذا بصورة جيب

00:03:07.400 --> 00:03:10.670
b / جيب تمام b، لكنه سيكون واحداً من

00:03:10.670 --> 00:03:12.130
مشتقات علم حساب المثلثات التي يحفظها معظم الناس

00:03:12.130 --> 00:03:14.230
اعتقد انني بالفعل قد صممت عرضاً اثبت فيه هذا

00:03:14.230 --> 00:03:16.840
وبعض الكتب لا تزال تكتب هذا بصورة مربع قاطع b، لكننا

00:03:16.840 --> 00:03:19.070
نعرف ان مربع القاطع يعادل 1 /

00:03:19.070 --> 00:03:20.340
مربع جيب التمام

00:03:20.340 --> 00:03:25.320
انني احب ان ابقيه بصورة وظائف علم حساب المثلثات الاساسية

00:03:25.320 --> 00:03:27.360
او نسب علم حساب المثلثات بدلاً من الاشياء التي مثل القاطع

00:03:27.360 --> 00:03:28.490
وقاطع التمام

00:03:28.490 --> 00:03:31.090
ثم ما هي مشتقة b فيما يتعلق بـ x؟

00:03:31.090 --> 00:03:37.030
مشتقة b فيما يتعلق بـ x

00:03:37.030 --> 00:03:38.260
ان هذا مثير للاهتمام فعلاً

00:03:38.260 --> 00:03:39.710
في الواقع، دعوني اعيد كتابة b

00:03:39.710 --> 00:03:45.730
دعوني اكتب b = x × y^-1

00:03:45.730 --> 00:03:48.520
اذاً مشتقة b فيما يتعلق بـ x، يمكننا استخدام

00:03:48.520 --> 00:03:50.470
قاعدة السلسلة هنا

00:03:50.470 --> 00:03:53.680
يمكن ان نقول --دعوني اكتب هذا-- مشتقة b

00:03:53.680 --> 00:03:57.530
فيما يتعلق بـ x تساوي مشتقة x ×

00:03:57.530 --> 00:03:58.790
y^-1

00:03:58.790 --> 00:04:01.300
اذاً مشتقة x هي 1

00:04:01.300 --> 00:04:07.360
× y^-1 + مشتقة y

00:04:07.360 --> 00:04:08.030
--دعوني اكتب هذا--

00:04:08.030 --> 00:04:12.320
+ المشتقة فيما يتعلق بـ x لـ y^-1

00:04:12.320 --> 00:04:17.930
× العبارة الاولى، اي × x

00:04:17.930 --> 00:04:20.470
اذاً هذا الشيئ الموجود هنا، وبكل وضوح لم اقم

00:04:20.470 --> 00:04:21.190
بتبسيطها تماماً بعد

00:04:21.190 --> 00:04:22.890
لا يزال علي ان اجد ما هذا الشيئ الموجود هنا

00:04:22.890 --> 00:04:25.010
لكنني قمت بكل بساطة بتطبيق قاعدة حاصل الضرب هنا

00:04:25.010 --> 00:04:27.990
مشتقة العبارة الاولى، اي مشتقة x هي 1

00:04:27.990 --> 00:04:30.380
× العبارة الثانية + مشتقة العبارة الثانية

00:04:30.380 --> 00:04:31.310
× العبارة الاولى

00:04:31.310 --> 00:04:32.700
هذا هو كل ما فعلته هنا

00:04:32.700 --> 00:04:35.170
اذاً مشتقة b فيما يتعلق بـ x هي

00:04:35.170 --> 00:04:36.560
هذا الشيئ الموجود هنا

00:04:36.560 --> 00:04:42.290
اذاً تساوي --دعوني افعل هذا باللون الاصفر-- اذاً هي ×

00:04:42.290 --> 00:04:43.520
--اوه، سأكتبها باللون الازرق بما انني قد كتبتها بالفعل

00:04:43.520 --> 00:04:47.290
هذا هو اللون الازرق، مشتقة b فيما يتعلق بـ x هي y^-1

00:04:47.290 --> 00:04:52.580
او 1 / y + المشتقة فيما يتعلق بـ

00:04:52.580 --> 00:04:59.590
x(1/y) × x

00:04:59.590 --> 00:05:01.180
اذاً دعوني اكتب هذا هنا

00:05:01.180 --> 00:05:04.330
لقد اوجدنا، او اننا قد انتهينا تقريباً من ايجاد

00:05:04.330 --> 00:05:07.400
ما هي مشتقة a فيما يتعلق بـ x، و

00:05:07.400 --> 00:05:08.450
يمكننا ان نضع هذا هنا

00:05:08.450 --> 00:05:09.230
لكننا لم ننته بعد

00:05:09.230 --> 00:05:12.280
ما هي مشتقة 1 / y فيما يتعلق بـ x؟

00:05:12.280 --> 00:05:14.990
حسناً، سنستخدم قاعدة السلسلة مرة اخرى

00:05:14.990 --> 00:05:17.520
.

00:05:17.520 --> 00:05:18.830
واريد ان اكون واضحاً جداً بهذا

00:05:18.830 --> 00:05:21.570
اعلم ان ما افعله هنا ربما يبدو ثقيلاً

00:05:21.570 --> 00:05:24.020
لكنني اعتقد انه لربما يكون منطقياً

00:05:24.020 --> 00:05:28.390
دعوني اضع ان c = 1 / y

00:05:28.390 --> 00:05:32.550
اذاً مشتقة c فيما يتعلق بـ x، من خلال

00:05:32.550 --> 00:05:35.580
قاعدة السلسلة، تساوي مشتقة c فيما يتعلق

00:05:35.580 --> 00:05:40.090
بـ y × مشتقة y فيما يتعلق بـ x

00:05:40.090 --> 00:05:43.140
ما هي مشتقة c فيما يتعلق بـ y؟

00:05:43.140 --> 00:05:44.930
حسناً، ان هذا يعادل --بامكاني اعادة كتابة

00:05:44.930 --> 00:05:46.350
هذا بصورة y^-1

00:05:46.350 --> 00:05:51.160
اذاً هي y^-2-

00:05:51.160 --> 00:05:52.910
هذا هو هذا الشيئ

00:05:52.910 --> 00:05:55.740
هذا الشيئ عبارة عن هذا الموجود هنا

00:05:55.740 --> 00:05:57.220
ولا اعرف ما هي مشتقة y

00:05:57.220 --> 00:05:58.020
فيما يتعلق بـ x

00:05:58.020 --> 00:05:59.690
هذا ما نسعى لأن نجده

00:05:59.690 --> 00:06:02.390
اذاً انها عبارة عن هذا × مشتقة y

00:06:02.390 --> 00:06:03.540
فيما يتعلق بـ x

00:06:03.540 --> 00:06:05.340
هذا قد اتى من قاعدة السلسلة

00:06:05.340 --> 00:06:11.400
اذاً هذا الشيئ الموجود هنا، هذه هي مشتقة هذا الشيئ

00:06:11.400 --> 00:06:13.830
فيما يتعلق بـ x، وهي تعادل مشتقة

00:06:13.830 --> 00:06:15.770
c فيما يتعلق بـ x

00:06:15.770 --> 00:06:19.210
اذاً بامكاني ان اكتب هذه القصاصة الصغيرة هنا، يمكنني ان

00:06:19.210 --> 00:06:25.240
اعيد كتابة هذه القصاصة كالتالي: y^-2dy dx-

00:06:25.240 --> 00:06:28.910
ومن ثم، بالطبع، يوجد × x

00:06:28.910 --> 00:06:33.910
ومن ثم لدي + 1 / y، وجميع ذلك كان مضروب

00:06:33.910 --> 00:06:38.050
بـ 1 / جيب تمام b

00:06:38.050 --> 00:06:40.660
اذاً الآن قمنا بتبسيط هذا بشكل جيد

00:06:40.660 --> 00:06:42.840
اتمنى ان الخوض في قاعدة السلسلة لم يربككم

00:06:42.840 --> 00:06:45.020
لأنني في الحقيقة اريد توضيح نقطة بأن جميع

00:06:45.020 --> 00:06:48.320
مسائل التمايز الضمني هذه، اي dy dx هذه

00:06:48.320 --> 00:06:50.570
ليست نفس القاعدة التي يجب ان تحفظوها

00:06:50.570 --> 00:06:52.890
انها اتت بشكل طبيعي من قاعدة السلسلة

00:06:52.890 --> 00:06:56.930
اذاً لقد اوجدنا da dx، وهي تساوي هذه

00:06:56.930 --> 00:06:59.230
العبارة الموجودة هنا

00:06:59.230 --> 00:07:07.130
دعوني اكتبها، انها تساوي 1 / مربع جيب تمام b

00:07:07.130 --> 00:07:07.880
حسناً، ما هي قيمة b؟

00:07:07.880 --> 00:07:10.640
لقد كتبتها، انها جيب تمام x / y

00:07:10.640 --> 00:07:16.920
مربع جيب تمام x / y × كل هذه الاشياء الموجودة

00:07:16.920 --> 00:07:19.840
هنا، × كل هذه الفوضى

00:07:19.840 --> 00:07:25.670
1 / y +، او ربما يجب ان اقول -، - --اذا

00:07:25.670 --> 00:07:32.486
بسطت هذا، فإن هذا x / y^2 × dy dx

00:07:32.486 --> 00:07:36.660
× dy dx

00:07:36.660 --> 00:07:39.000
ثم ان هذا مساوياً للجانب الايمن

00:07:39.000 --> 00:07:48.490
انه يساوي 1 + dy dx

00:07:48.490 --> 00:07:51.420
والآن كل ما علينا فعله هو ان نجد قيمة dy dx

00:07:51.420 --> 00:07:53.990
لذا دعوني اقوم بمراجعة لكيفية وصولنا الى هنا

00:07:53.990 --> 00:07:56.300
لقد مررت بقاعدة السلسلة في كل خطوة، لكن

00:07:56.300 --> 00:07:58.170
عندما تدركونها، سيكون بامكانكم ان تنتقلوا

00:07:58.170 --> 00:07:59.360
مباشرة الى الاسفل بهذا الاتجاه

00:07:59.360 --> 00:08:01.380
الطريقة التي فكرت بها هي --الجانب الايمن

00:08:01.380 --> 00:08:02.033
اعتقد انكم قد فهمتموه

00:08:02.033 --> 00:08:04.380
مشتقة x هي 1، ومشتقة y فيما يتعلق

00:08:04.380 --> 00:08:06.560
بـ x، حسناً، عبارة عن dy dx

00:08:06.560 --> 00:08:09.010
لكن الجانب الايسر، تاخذ مشتقة

00:08:09.010 --> 00:08:11.630
كل شيئ فيما يتعلق بـ x / y

00:08:11.630 --> 00:08:14.100
اذاً هذه هي مشتقة القاطع، وهي 1 /

00:08:14.100 --> 00:08:15.020
مربع جيب التمام

00:08:15.020 --> 00:08:18.620
اذاً هي 1 / مربع جيب تمام x / y، وتضرب

00:08:18.620 --> 00:08:23.530
ذلك بمشتقة x / y فيما يتعلق بـ x

00:08:23.530 --> 00:08:26.770
ومشتقة x / y فيما يتعلق بـ x عبارة عن

00:08:26.770 --> 00:08:28.970
مشتقة --وقد بدأت بالتعقد، لهذا السبب انه من

00:08:28.970 --> 00:08:31.590
الجيد االقيام بهذا على جانب هنا-- لكنها مشتقة

00:08:31.590 --> 00:08:34.150
x، وهي 1 × 1 / y

00:08:34.150 --> 00:08:39.680
وهي تلك العبارة + مشتقة 1 / y

00:08:39.680 --> 00:08:44.200
فيما يتعلق بـ x، اي هي -1 / y^2 dy dx، من

00:08:44.200 --> 00:08:46.620
قاعدة السلسلة، × dx

00:08:46.620 --> 00:08:48.140
لهذا السبب كان من الافضل القيام بهذا جانباً لكي لا

00:08:48.140 --> 00:08:49.360
نرتكب خطأ غير مقصود

00:08:49.360 --> 00:08:51.410
لكن عندما تعتادون عليه، سيكون بامكانكم القيام بذلك

00:08:51.410 --> 00:08:53.980
ذهنياً، وبالطبع، ان هذا يساوي الجانب الايمن

00:08:53.980 --> 00:08:56.520
اذاً من اليوم فصاعداً، ان هذا يعتبر جبراً

00:08:56.520 --> 00:08:59.140
لكي نجد dy dx

00:08:59.140 --> 00:09:01.490
اذاً المكان الجيد لنبدأ منه هو ان نضرب طرفي هذه

00:09:01.490 --> 00:09:04.910
المعادلة بمربع جيب تمام x / y

00:09:04.910 --> 00:09:07.420
اذاً بكل وضوح، ان ذلك يصبح 1 على هذا الجانب

00:09:07.420 --> 00:09:14.970
والجانب الايسر سيصبح 1 / y - x / y^2 dy dx

00:09:14.970 --> 00:09:23.690
= --علي ان اضرب طرفي

00:09:23.690 --> 00:09:26.730
المعادلة بهذا المقام الموجود هنا-- =

00:09:26.730 --> 00:09:32.530
مربع جيب تمام x / y + مربع جيب تمام

00:09:32.530 --> 00:09:35.190
x / y dy dx

00:09:35.190 --> 00:09:39.420
dy dx

00:09:39.420 --> 00:09:40.190
ماذا يمكن ان نفعل الآن

00:09:40.190 --> 00:09:44.210
يمكننا ان نطرح مربع جيب تمام x / y هذا من

00:09:44.210 --> 00:09:52.110
طرفي المعادلة، ونحصل على 1 / y -

00:09:52.110 --> 00:09:53.710
مربع جيب تمام x / y

00:09:53.710 --> 00:09:55.780
كل ما فعلته هو انني طرحت هذا من طرفي

00:09:55.780 --> 00:09:57.590
المعادلة، لذا بالضرورة قد حركتها الى

00:09:57.590 --> 00:09:59.040
الجانب الايسر

00:09:59.040 --> 00:10:01.040
ما احاول فعله هو ان احاول فصل

00:10:01.040 --> 00:10:04.810
العبارات التي لا تحتوي على dy dx عن العبارات التي تحتوي على dy dx

00:10:04.810 --> 00:10:06.750
لذا سوف احضر عبارة dy dx هذه الى

00:10:06.750 --> 00:10:07.950
الجانب الايمن

00:10:07.950 --> 00:10:11.550
لذا دعوني اضيف x / y^2 dy dx لكلا الطرفين

00:10:11.550 --> 00:10:17.260
ثم ان هذا يساوي x / y --دعوني اكتب ذلك

00:10:17.260 --> 00:10:21.070
باللون الذي قد كتبتها به

00:10:21.070 --> 00:10:21.470
لون مختلف قليلاً

00:10:21.470 --> 00:10:27.110
اذاً x / y^2 --سوف اكتب الـ dy dx باللون البرتقالي

00:10:27.110 --> 00:10:34.120
dy dx، ومن ثم لدينا هذه العبارة، + مربع جيب تمام

00:10:34.120 --> 00:10:36.880
x / y dy dx

00:10:36.880 --> 00:10:40.950
dy dx

00:10:40.950 --> 00:10:43.000
اعتقد اننا في لب الموضوع

00:10:43.000 --> 00:10:46.410
دعونا نستخرج العامل المشترك dy dx من الجانب الايمن

00:10:46.410 --> 00:10:56.770
اذاً هذا يساوي dy dx (x / y^2

00:10:56.770 --> 00:11:01.220
+ مربع جيب تمام x / y)

00:11:01.220 --> 00:11:04.180
وهذا يساوي هذا الشيئ الموجود هنا، انه يساوي

00:11:04.180 --> 00:11:09.250
1 / y - مربع جيب تمام x / y

00:11:09.250 --> 00:11:12.240
الآن لكي نجد dy dx، علينا ان نقسم طرفي

00:11:12.240 --> 00:11:15.450
هذه المعادلة على هذه العبارة الموجودة هنا

00:11:15.450 --> 00:11:16.900
وبالتالي على ماذا نحصل؟

00:11:16.900 --> 00:11:21.970
نحصل على، اذا قسمنا كلا الطرفين على هذا، سنحصل على 1 / y

00:11:21.970 --> 00:11:27.210
- مربع جيب تمام x / y ÷

00:11:27.210 --> 00:11:28.720
كل هذا الشيئ الموجود هنا

00:11:28.720 --> 00:11:36.190
x / y^2 + مربع جيب تمام x / y

00:11:36.190 --> 00:11:42.150
= dy dx

00:11:42.150 --> 00:11:43.370
ومن ثم نكون انتهينا

00:11:43.370 --> 00:11:46.460
لقد طبقنا قاعدة السلسلة عدة مرات وكنا قادرين

00:11:46.460 --> 00:11:50.600
على التمايز الضمني لظل y / x

00:11:50.600 --> 00:11:51.600
= y + x

00:11:51.600 --> 00:11:55.980
ان الجزء الصعب هو الوصول الى هذه الخطوة

00:11:55.980 --> 00:11:59.470
بعد هذه الخطوة يعتبر جبراً بشكل تام لكي نقوم بايجاد

00:11:59.470 --> 00:12:04.730
dy dx، ومن ثم تحصل على تلك الاجابة الموجودة هناك

00:12:04.730 --> 00:12:07.380
على اي حال، اتمنى انكم قد وجدت هذا مفيداً