0:00:00.000,0:00:00.430
.

0:00:00.430,0:00:04.050
لقد طلب مني ان اجد التمايز الضمني لمعادلة

0:00:04.050,0:00:10.390
الخط القاطع لـ x / y = x + y

0:00:10.390,0:00:14.150
وقد قمت بتصميم عدة عروض حول التمايز الضمني، لكن

0:00:14.150,0:00:17.440
ان هذا يصبح احد اكبر مصادر العناء

0:00:17.440,0:00:18.720
لطلاب السنة الاولى في التفاضل والتكامل

0:00:18.720,0:00:21.040
لذا فكرت بأن أعطي مثال آخر على الاقل

0:00:21.040,0:00:22.860
وليس من الخطأ ان نرى العديد من الامثلة

0:00:22.860,0:00:24.290
لذا دعونا نقوم بحل هذا

0:00:24.290,0:00:26.680
اذاً لكي نمايز هذه ضمنياً، اننا نقوم بتطبيق

0:00:26.680,0:00:29.363
المشتقة فيما يتعلق بـ x عامل طرفي

0:00:29.363,0:00:29.970
المعادلة

0:00:29.970,0:00:33.290
ان مشتقة هذا فيما يتعلق بـ x --مشتقة

0:00:33.290,0:00:35.420
الجانب الايسر فيما يتعلق بـ x هي نفس

0:00:35.420,0:00:40.580
مشتقة الجانب الايمن فيما يتعلق بـ x

0:00:40.580,0:00:42.790
مشتقة الجانب الايمن ستكون مباشرة جداً، لكن

0:00:42.790,0:00:44.770
بالنسبة للجانب الايسر ستكون مخادعة بعض الشيئ

0:00:44.770,0:00:47.380
اذاً دعونا نفعل ذلك هنا

0:00:47.380,0:00:52.020
دعوني اكتب الجانب الايسر بطريقة مختلفة

0:00:52.020,0:00:52.990
سأكتبه بلون مختلف

0:00:52.990,0:01:00.410
دعوني افترض ان a = ظل b

0:01:00.410,0:01:09.380
ودعوني افترض ان b = x / y

0:01:09.380,0:01:11.620
ثم ان a هو، وبكل وضوح، نفس الشيئ

0:01:11.620,0:01:14.860
اعني انه اذا عوضت b هنا، فإن هذا

0:01:14.860,0:01:18.090
كله يمكنني ان اعيد كتابته ليصبح a

0:01:18.090,0:01:20.930
فاذا كنا ناخذ مشتقة a فيما يتعلق

0:01:20.930,0:01:23.740
بـ x، هذا ما نرغب بفعله هنا

0:01:23.740,0:01:26.570
دعوني آخذ مشتقة طرفي هذه

0:01:26.570,0:01:36.500
هذه ستكون مشتقة a فيما يتعلق بـ x تساوي

0:01:36.500,0:01:38.610
مشتقة x فيما يتعلق بـ x

0:01:38.610,0:01:41.210
حسناً، ان ذلك مباشر للغاية، انها تساوي 1

0:01:41.210,0:01:44.390
+ مشتقة y فيما يتعلق بـ x

0:01:44.390,0:01:45.430
اذاً دعوني اكتبها بهذا الشكل

0:01:45.430,0:01:48.820
سوف اكتب عامل المشتقة، اي مشتقة

0:01:48.820,0:01:53.770
y فيما يتعلق بـ x

0:01:53.770,0:01:54.350
هذا هو كل ما فعلناه

0:01:54.350,0:01:56.520
لقد طبقنا عامل المشتقة على y، ولا

0:01:56.520,0:01:58.650
اعرف ما هذا الشيئ، سوف نقوم بحلها

0:01:58.650,0:02:01.180
لكن بكل وضوح، لا يمكنني ان اترك هذا هنا، مشتقة

0:02:01.180,0:02:02.360
a فيما يتعلق بـ x

0:02:02.360,0:02:04.610
لقد اوجدنا a للتو، و a هو عبارة عن هذا الشيئ

0:02:04.610,0:02:05.930
الموجود هنا، اليس كذلك؟

0:02:05.930,0:02:09.450
ان a هو ظل b، و b = y / x

0:02:09.450,0:02:11.730
وسبب كتابتي لها بهذه الطريقة هو لأنني اردت ان اوضح

0:02:11.730,0:02:14.870
لكم انه عندما تأخذون مشتقة هذا، فإنه

0:02:14.870,0:02:16.500
يأتي من قاعدة السلسلة

0:02:16.500,0:02:18.840
انه ليس نوع جديد من الشعوذة التي

0:02:18.840,0:02:20.090
لم تتعلموها بعد

0:02:20.090,0:02:22.200
اذاً مشتقة --دعوني اكتب

0:02:22.200,0:02:23.990
قاعدة السلسلة هنا

0:02:23.990,0:02:30.930
مشتقة a فيما يتعلق بـ x تساوي

0:02:30.930,0:02:35.280
مشتقة a فيما يتعلق بـ b × مشتقة

0:02:35.280,0:02:37.580
b فيما يتعلق بـ x

0:02:37.580,0:02:39.720
تلك هي قاعدة السلسلة وهي سهلة للغاية

0:02:39.720,0:02:43.040
لأن الـ db يتم حذفهم ويتبقى لدينا

0:02:43.040,0:02:45.800
مشتقة a فيما يتعلق بـ x، اذا كنت قد عاملت هذه

0:02:45.800,0:02:47.470
ككسور عادية

0:02:47.470,0:02:50.275
اذاً ما هي مشتقة a فيما يتعلق بـ b؟

0:02:50.275,0:02:55.020
ما هي مشتقة a فيما يتعلق بـ b؟

0:02:55.020,0:03:01.570
حسناً، انها 1 / مربع جيب تمام b

0:03:01.570,0:03:03.570
واذا لم تقم بحفظ هذا، فإنه ليس

0:03:03.570,0:03:07.400
من الصعب اثباته لأنفسكم اذا كتبتم هذا بصورة جيب

0:03:07.400,0:03:10.670
b / جيب تمام b، لكنه سيكون واحداً من

0:03:10.670,0:03:12.130
مشتقات علم حساب المثلثات التي يحفظها معظم الناس

0:03:12.130,0:03:14.230
اعتقد انني بالفعل قد صممت عرضاً اثبت فيه هذا

0:03:14.230,0:03:16.840
وبعض الكتب لا تزال تكتب هذا بصورة مربع قاطع b، لكننا

0:03:16.840,0:03:19.070
نعرف ان مربع القاطع يعادل 1 /

0:03:19.070,0:03:20.340
مربع جيب التمام

0:03:20.340,0:03:25.320
انني احب ان ابقيه بصورة وظائف علم حساب المثلثات الاساسية

0:03:25.320,0:03:27.360
او نسب علم حساب المثلثات بدلاً من الاشياء التي مثل القاطع

0:03:27.360,0:03:28.490
وقاطع التمام

0:03:28.490,0:03:31.090
ثم ما هي مشتقة b فيما يتعلق بـ x؟

0:03:31.090,0:03:37.030
مشتقة b فيما يتعلق بـ x

0:03:37.030,0:03:38.260
ان هذا مثير للاهتمام فعلاً

0:03:38.260,0:03:39.710
في الواقع، دعوني اعيد كتابة b

0:03:39.710,0:03:45.730
دعوني اكتب b = x × y^-1

0:03:45.730,0:03:48.520
اذاً مشتقة b فيما يتعلق بـ x، يمكننا استخدام

0:03:48.520,0:03:50.470
قاعدة السلسلة هنا

0:03:50.470,0:03:53.680
يمكن ان نقول --دعوني اكتب هذا-- مشتقة b

0:03:53.680,0:03:57.530
فيما يتعلق بـ x تساوي مشتقة x ×

0:03:57.530,0:03:58.790
y^-1

0:03:58.790,0:04:01.300
اذاً مشتقة x هي 1

0:04:01.300,0:04:07.360
× y^-1 + مشتقة y

0:04:07.360,0:04:08.030
--دعوني اكتب هذا--

0:04:08.030,0:04:12.320
+ المشتقة فيما يتعلق بـ x لـ y^-1

0:04:12.320,0:04:17.930
× العبارة الاولى، اي × x

0:04:17.930,0:04:20.470
اذاً هذا الشيئ الموجود هنا، وبكل وضوح لم اقم

0:04:20.470,0:04:21.190
بتبسيطها تماماً بعد

0:04:21.190,0:04:22.890
لا يزال علي ان اجد ما هذا الشيئ الموجود هنا

0:04:22.890,0:04:25.010
لكنني قمت بكل بساطة بتطبيق قاعدة حاصل الضرب هنا

0:04:25.010,0:04:27.990
مشتقة العبارة الاولى، اي مشتقة x هي 1

0:04:27.990,0:04:30.380
× العبارة الثانية + مشتقة العبارة الثانية

0:04:30.380,0:04:31.310
× العبارة الاولى

0:04:31.310,0:04:32.700
هذا هو كل ما فعلته هنا

0:04:32.700,0:04:35.170
اذاً مشتقة b فيما يتعلق بـ x هي

0:04:35.170,0:04:36.560
هذا الشيئ الموجود هنا

0:04:36.560,0:04:42.290
اذاً تساوي --دعوني افعل هذا باللون الاصفر-- اذاً هي ×

0:04:42.290,0:04:43.520
--اوه، سأكتبها باللون الازرق بما انني قد كتبتها بالفعل

0:04:43.520,0:04:47.290
هذا هو اللون الازرق، مشتقة b فيما يتعلق بـ x هي y^-1

0:04:47.290,0:04:52.580
او 1 / y + المشتقة فيما يتعلق بـ

0:04:52.580,0:04:59.590
x(1/y) × x

0:04:59.590,0:05:01.180
اذاً دعوني اكتب هذا هنا

0:05:01.180,0:05:04.330
لقد اوجدنا، او اننا قد انتهينا تقريباً من ايجاد

0:05:04.330,0:05:07.400
ما هي مشتقة a فيما يتعلق بـ x، و

0:05:07.400,0:05:08.450
يمكننا ان نضع هذا هنا

0:05:08.450,0:05:09.230
لكننا لم ننته بعد

0:05:09.230,0:05:12.280
ما هي مشتقة 1 / y فيما يتعلق بـ x؟

0:05:12.280,0:05:14.990
حسناً، سنستخدم قاعدة السلسلة مرة اخرى

0:05:14.990,0:05:17.520
.

0:05:17.520,0:05:18.830
واريد ان اكون واضحاً جداً بهذا

0:05:18.830,0:05:21.570
اعلم ان ما افعله هنا ربما يبدو ثقيلاً

0:05:21.570,0:05:24.020
لكنني اعتقد انه لربما يكون منطقياً

0:05:24.020,0:05:28.390
دعوني اضع ان c = 1 / y

0:05:28.390,0:05:32.550
اذاً مشتقة c فيما يتعلق بـ x، من خلال

0:05:32.550,0:05:35.580
قاعدة السلسلة، تساوي مشتقة c فيما يتعلق

0:05:35.580,0:05:40.090
بـ y × مشتقة y فيما يتعلق بـ x

0:05:40.090,0:05:43.140
ما هي مشتقة c فيما يتعلق بـ y؟

0:05:43.140,0:05:44.930
حسناً، ان هذا يعادل --بامكاني اعادة كتابة

0:05:44.930,0:05:46.350
هذا بصورة y^-1

0:05:46.350,0:05:51.160
اذاً هي y^-2-

0:05:51.160,0:05:52.910
هذا هو هذا الشيئ

0:05:52.910,0:05:55.740
هذا الشيئ عبارة عن هذا الموجود هنا

0:05:55.740,0:05:57.220
ولا اعرف ما هي مشتقة y

0:05:57.220,0:05:58.020
فيما يتعلق بـ x

0:05:58.020,0:05:59.690
هذا ما نسعى لأن نجده

0:05:59.690,0:06:02.390
اذاً انها عبارة عن هذا × مشتقة y

0:06:02.390,0:06:03.540
فيما يتعلق بـ x

0:06:03.540,0:06:05.340
هذا قد اتى من قاعدة السلسلة

0:06:05.340,0:06:11.400
اذاً هذا الشيئ الموجود هنا، هذه هي مشتقة هذا الشيئ

0:06:11.400,0:06:13.830
فيما يتعلق بـ x، وهي تعادل مشتقة

0:06:13.830,0:06:15.770
c فيما يتعلق بـ x

0:06:15.770,0:06:19.210
اذاً بامكاني ان اكتب هذه القصاصة الصغيرة هنا، يمكنني ان

0:06:19.210,0:06:25.240
اعيد كتابة هذه القصاصة كالتالي: y^-2dy dx-

0:06:25.240,0:06:28.910
ومن ثم، بالطبع، يوجد × x

0:06:28.910,0:06:33.910
ومن ثم لدي + 1 / y، وجميع ذلك كان مضروب

0:06:33.910,0:06:38.050
بـ 1 / جيب تمام b

0:06:38.050,0:06:40.660
اذاً الآن قمنا بتبسيط هذا بشكل جيد

0:06:40.660,0:06:42.840
اتمنى ان الخوض في قاعدة السلسلة لم يربككم

0:06:42.840,0:06:45.020
لأنني في الحقيقة اريد توضيح نقطة بأن جميع

0:06:45.020,0:06:48.320
مسائل التمايز الضمني هذه، اي dy dx هذه

0:06:48.320,0:06:50.570
ليست نفس القاعدة التي يجب ان تحفظوها

0:06:50.570,0:06:52.890
انها اتت بشكل طبيعي من قاعدة السلسلة

0:06:52.890,0:06:56.930
اذاً لقد اوجدنا da dx، وهي تساوي هذه

0:06:56.930,0:06:59.230
العبارة الموجودة هنا

0:06:59.230,0:07:07.130
دعوني اكتبها، انها تساوي 1 / مربع جيب تمام b

0:07:07.130,0:07:07.880
حسناً، ما هي قيمة b؟

0:07:07.880,0:07:10.640
لقد كتبتها، انها جيب تمام x / y

0:07:10.640,0:07:16.920
مربع جيب تمام x / y × كل هذه الاشياء الموجودة

0:07:16.920,0:07:19.840
هنا، × كل هذه الفوضى

0:07:19.840,0:07:25.670
1 / y +، او ربما يجب ان اقول -، - --اذا

0:07:25.670,0:07:32.486
بسطت هذا، فإن هذا x / y^2 × dy dx

0:07:32.486,0:07:36.660
× dy dx

0:07:36.660,0:07:39.000
ثم ان هذا مساوياً للجانب الايمن

0:07:39.000,0:07:48.490
انه يساوي 1 + dy dx

0:07:48.490,0:07:51.420
والآن كل ما علينا فعله هو ان نجد قيمة dy dx

0:07:51.420,0:07:53.990
لذا دعوني اقوم بمراجعة لكيفية وصولنا الى هنا

0:07:53.990,0:07:56.300
لقد مررت بقاعدة السلسلة في كل خطوة، لكن

0:07:56.300,0:07:58.170
عندما تدركونها، سيكون بامكانكم ان تنتقلوا

0:07:58.170,0:07:59.360
مباشرة الى الاسفل بهذا الاتجاه

0:07:59.360,0:08:01.380
الطريقة التي فكرت بها هي --الجانب الايمن

0:08:01.380,0:08:02.033
اعتقد انكم قد فهمتموه

0:08:02.033,0:08:04.380
مشتقة x هي 1، ومشتقة y فيما يتعلق

0:08:04.380,0:08:06.560
بـ x، حسناً، عبارة عن dy dx

0:08:06.560,0:08:09.010
لكن الجانب الايسر، تاخذ مشتقة

0:08:09.010,0:08:11.630
كل شيئ فيما يتعلق بـ x / y

0:08:11.630,0:08:14.100
اذاً هذه هي مشتقة القاطع، وهي 1 /

0:08:14.100,0:08:15.020
مربع جيب التمام

0:08:15.020,0:08:18.620
اذاً هي 1 / مربع جيب تمام x / y، وتضرب

0:08:18.620,0:08:23.530
ذلك بمشتقة x / y فيما يتعلق بـ x

0:08:23.530,0:08:26.770
ومشتقة x / y فيما يتعلق بـ x عبارة عن

0:08:26.770,0:08:28.970
مشتقة --وقد بدأت بالتعقد، لهذا السبب انه من

0:08:28.970,0:08:31.590
الجيد االقيام بهذا على جانب هنا-- لكنها مشتقة

0:08:31.590,0:08:34.150
x، وهي 1 × 1 / y

0:08:34.150,0:08:39.680
وهي تلك العبارة + مشتقة 1 / y

0:08:39.680,0:08:44.200
فيما يتعلق بـ x، اي هي -1 / y^2 dy dx، من

0:08:44.200,0:08:46.620
قاعدة السلسلة، × dx

0:08:46.620,0:08:48.140
لهذا السبب كان من الافضل القيام بهذا جانباً لكي لا

0:08:48.140,0:08:49.360
نرتكب خطأ غير مقصود

0:08:49.360,0:08:51.410
لكن عندما تعتادون عليه، سيكون بامكانكم القيام بذلك

0:08:51.410,0:08:53.980
ذهنياً، وبالطبع، ان هذا يساوي الجانب الايمن

0:08:53.980,0:08:56.520
اذاً من اليوم فصاعداً، ان هذا يعتبر جبراً

0:08:56.520,0:08:59.140
لكي نجد dy dx

0:08:59.140,0:09:01.490
اذاً المكان الجيد لنبدأ منه هو ان نضرب طرفي هذه

0:09:01.490,0:09:04.910
المعادلة بمربع جيب تمام x / y

0:09:04.910,0:09:07.420
اذاً بكل وضوح، ان ذلك يصبح 1 على هذا الجانب

0:09:07.420,0:09:14.970
والجانب الايسر سيصبح 1 / y - x / y^2 dy dx

0:09:14.970,0:09:23.690
= --علي ان اضرب طرفي

0:09:23.690,0:09:26.730
المعادلة بهذا المقام الموجود هنا-- =

0:09:26.730,0:09:32.530
مربع جيب تمام x / y + مربع جيب تمام

0:09:32.530,0:09:35.190
x / y dy dx

0:09:35.190,0:09:39.420
dy dx

0:09:39.420,0:09:40.190
ماذا يمكن ان نفعل الآن

0:09:40.190,0:09:44.210
يمكننا ان نطرح مربع جيب تمام x / y هذا من

0:09:44.210,0:09:52.110
طرفي المعادلة، ونحصل على 1 / y -

0:09:52.110,0:09:53.710
مربع جيب تمام x / y

0:09:53.710,0:09:55.780
كل ما فعلته هو انني طرحت هذا من طرفي

0:09:55.780,0:09:57.590
المعادلة، لذا بالضرورة قد حركتها الى

0:09:57.590,0:09:59.040
الجانب الايسر

0:09:59.040,0:10:01.040
ما احاول فعله هو ان احاول فصل

0:10:01.040,0:10:04.810
العبارات التي لا تحتوي على dy dx عن العبارات التي تحتوي على dy dx

0:10:04.810,0:10:06.750
لذا سوف احضر عبارة dy dx هذه الى

0:10:06.750,0:10:07.950
الجانب الايمن

0:10:07.950,0:10:11.550
لذا دعوني اضيف x / y^2 dy dx لكلا الطرفين

0:10:11.550,0:10:17.260
ثم ان هذا يساوي x / y --دعوني اكتب ذلك

0:10:17.260,0:10:21.070
باللون الذي قد كتبتها به

0:10:21.070,0:10:21.470
لون مختلف قليلاً

0:10:21.470,0:10:27.110
اذاً x / y^2 --سوف اكتب الـ dy dx باللون البرتقالي

0:10:27.110,0:10:34.120
dy dx، ومن ثم لدينا هذه العبارة، + مربع جيب تمام

0:10:34.120,0:10:36.880
x / y dy dx

0:10:36.880,0:10:40.950
dy dx

0:10:40.950,0:10:43.000
اعتقد اننا في لب الموضوع

0:10:43.000,0:10:46.410
دعونا نستخرج العامل المشترك dy dx من الجانب الايمن

0:10:46.410,0:10:56.770
اذاً هذا يساوي dy dx (x / y^2

0:10:56.770,0:11:01.220
+ مربع جيب تمام x / y)

0:11:01.220,0:11:04.180
وهذا يساوي هذا الشيئ الموجود هنا، انه يساوي

0:11:04.180,0:11:09.250
1 / y - مربع جيب تمام x / y

0:11:09.250,0:11:12.240
الآن لكي نجد dy dx، علينا ان نقسم طرفي

0:11:12.240,0:11:15.450
هذه المعادلة على هذه العبارة الموجودة هنا

0:11:15.450,0:11:16.900
وبالتالي على ماذا نحصل؟

0:11:16.900,0:11:21.970
نحصل على، اذا قسمنا كلا الطرفين على هذا، سنحصل على 1 / y

0:11:21.970,0:11:27.210
- مربع جيب تمام x / y ÷

0:11:27.210,0:11:28.720
كل هذا الشيئ الموجود هنا

0:11:28.720,0:11:36.190
x / y^2 + مربع جيب تمام x / y

0:11:36.190,0:11:42.150
= dy dx

0:11:42.150,0:11:43.370
ومن ثم نكون انتهينا

0:11:43.370,0:11:46.460
لقد طبقنا قاعدة السلسلة عدة مرات وكنا قادرين

0:11:46.460,0:11:50.600
على التمايز الضمني لظل y / x

0:11:50.600,0:11:51.600
= y + x

0:11:51.600,0:11:55.980
ان الجزء الصعب هو الوصول الى هذه الخطوة

0:11:55.980,0:11:59.470
بعد هذه الخطوة يعتبر جبراً بشكل تام لكي نقوم بايجاد

0:11:59.470,0:12:04.730
dy dx، ومن ثم تحصل على تلك الاجابة الموجودة هناك

0:12:04.730,0:12:07.380
على اي حال، اتمنى انكم قد وجدت هذا مفيداً