1
00:00:00,000 --> 00:00:00,430
.

2
00:00:00,430 --> 00:00:04,050
لقد طلب مني ان اجد التمايز الضمني لمعادلة

3
00:00:04,050 --> 00:00:10,390
الخط القاطع لـ x / y = x + y

4
00:00:10,390 --> 00:00:14,150
وقد قمت بتصميم عدة عروض حول التمايز الضمني، لكن

5
00:00:14,150 --> 00:00:17,440
ان هذا يصبح احد اكبر مصادر العناء

6
00:00:17,440 --> 00:00:18,720
لطلاب السنة الاولى في التفاضل والتكامل

7
00:00:18,720 --> 00:00:21,040
لذا فكرت بأن أعطي مثال آخر على الاقل

8
00:00:21,040 --> 00:00:22,860
وليس من الخطأ ان نرى العديد من الامثلة

9
00:00:22,860 --> 00:00:24,290
لذا دعونا نقوم بحل هذا

10
00:00:24,290 --> 00:00:26,680
اذاً لكي نمايز هذه ضمنياً، اننا نقوم بتطبيق

11
00:00:26,680 --> 00:00:29,363
المشتقة فيما يتعلق بـ x عامل طرفي

12
00:00:29,363 --> 00:00:29,970
المعادلة

13
00:00:29,970 --> 00:00:33,290
ان مشتقة هذا فيما يتعلق بـ x --مشتقة

14
00:00:33,290 --> 00:00:35,420
الجانب الايسر فيما يتعلق بـ x هي نفس

15
00:00:35,420 --> 00:00:40,580
مشتقة الجانب الايمن فيما يتعلق بـ x

16
00:00:40,580 --> 00:00:42,790
مشتقة الجانب الايمن ستكون مباشرة جداً، لكن

17
00:00:42,790 --> 00:00:44,770
بالنسبة للجانب الايسر ستكون مخادعة بعض الشيئ

18
00:00:44,770 --> 00:00:47,380
اذاً دعونا نفعل ذلك هنا

19
00:00:47,380 --> 00:00:52,020
دعوني اكتب الجانب الايسر بطريقة مختلفة

20
00:00:52,020 --> 00:00:52,990
سأكتبه بلون مختلف

21
00:00:52,990 --> 00:01:00,410
دعوني افترض ان a = ظل b

22
00:01:00,410 --> 00:01:09,380
ودعوني افترض ان b = x / y

23
00:01:09,380 --> 00:01:11,620
ثم ان a هو، وبكل وضوح، نفس الشيئ

24
00:01:11,620 --> 00:01:14,860
اعني انه اذا عوضت b هنا، فإن هذا

25
00:01:14,860 --> 00:01:18,090
كله يمكنني ان اعيد كتابته ليصبح a

26
00:01:18,090 --> 00:01:20,930
فاذا كنا ناخذ مشتقة a فيما يتعلق

27
00:01:20,930 --> 00:01:23,740
بـ x، هذا ما نرغب بفعله هنا

28
00:01:23,740 --> 00:01:26,570
دعوني آخذ مشتقة طرفي هذه

29
00:01:26,570 --> 00:01:36,500
هذه ستكون مشتقة a فيما يتعلق بـ x تساوي

30
00:01:36,500 --> 00:01:38,610
مشتقة x فيما يتعلق بـ x

31
00:01:38,610 --> 00:01:41,210
حسناً، ان ذلك مباشر للغاية، انها تساوي 1

32
00:01:41,210 --> 00:01:44,390
+ مشتقة y فيما يتعلق بـ x

33
00:01:44,390 --> 00:01:45,430
اذاً دعوني اكتبها بهذا الشكل

34
00:01:45,430 --> 00:01:48,820
سوف اكتب عامل المشتقة، اي مشتقة

35
00:01:48,820 --> 00:01:53,770
y فيما يتعلق بـ x

36
00:01:53,770 --> 00:01:54,350
هذا هو كل ما فعلناه

37
00:01:54,350 --> 00:01:56,520
لقد طبقنا عامل المشتقة على y، ولا

38
00:01:56,520 --> 00:01:58,650
اعرف ما هذا الشيئ، سوف نقوم بحلها

39
00:01:58,650 --> 00:02:01,180
لكن بكل وضوح، لا يمكنني ان اترك هذا هنا، مشتقة

40
00:02:01,180 --> 00:02:02,360
a فيما يتعلق بـ x

41
00:02:02,360 --> 00:02:04,610
لقد اوجدنا a للتو، و a هو عبارة عن هذا الشيئ

42
00:02:04,610 --> 00:02:05,930
الموجود هنا، اليس كذلك؟

43
00:02:05,930 --> 00:02:09,450
ان a هو ظل b، و b = y / x

44
00:02:09,450 --> 00:02:11,730
وسبب كتابتي لها بهذه الطريقة هو لأنني اردت ان اوضح

45
00:02:11,730 --> 00:02:14,870
لكم انه عندما تأخذون مشتقة هذا، فإنه

46
00:02:14,870 --> 00:02:16,500
يأتي من قاعدة السلسلة

47
00:02:16,500 --> 00:02:18,840
انه ليس نوع جديد من الشعوذة التي

48
00:02:18,840 --> 00:02:20,090
لم تتعلموها بعد

49
00:02:20,090 --> 00:02:22,200
اذاً مشتقة --دعوني اكتب

50
00:02:22,200 --> 00:02:23,990
قاعدة السلسلة هنا

51
00:02:23,990 --> 00:02:30,930
مشتقة a فيما يتعلق بـ x تساوي

52
00:02:30,930 --> 00:02:35,280
مشتقة a فيما يتعلق بـ b × مشتقة

53
00:02:35,280 --> 00:02:37,580
b فيما يتعلق بـ x

54
00:02:37,580 --> 00:02:39,720
تلك هي قاعدة السلسلة وهي سهلة للغاية

55
00:02:39,720 --> 00:02:43,040
لأن الـ db يتم حذفهم ويتبقى لدينا

56
00:02:43,040 --> 00:02:45,800
مشتقة a فيما يتعلق بـ x، اذا كنت قد عاملت هذه

57
00:02:45,800 --> 00:02:47,470
ككسور عادية

58
00:02:47,470 --> 00:02:50,275
اذاً ما هي مشتقة a فيما يتعلق بـ b؟

59
00:02:50,275 --> 00:02:55,020
ما هي مشتقة a فيما يتعلق بـ b؟

60
00:02:55,020 --> 00:03:01,570
حسناً، انها 1 / مربع جيب تمام b

61
00:03:01,570 --> 00:03:03,570
واذا لم تقم بحفظ هذا، فإنه ليس

62
00:03:03,570 --> 00:03:07,400
من الصعب اثباته لأنفسكم اذا كتبتم هذا بصورة جيب

63
00:03:07,400 --> 00:03:10,670
b / جيب تمام b، لكنه سيكون واحداً من

64
00:03:10,670 --> 00:03:12,130
مشتقات علم حساب المثلثات التي يحفظها معظم الناس

65
00:03:12,130 --> 00:03:14,230
اعتقد انني بالفعل قد صممت عرضاً اثبت فيه هذا

66
00:03:14,230 --> 00:03:16,840
وبعض الكتب لا تزال تكتب هذا بصورة مربع قاطع b، لكننا

67
00:03:16,840 --> 00:03:19,070
نعرف ان مربع القاطع يعادل 1 /

68
00:03:19,070 --> 00:03:20,340
مربع جيب التمام

69
00:03:20,340 --> 00:03:25,320
انني احب ان ابقيه بصورة وظائف علم حساب المثلثات الاساسية

70
00:03:25,320 --> 00:03:27,360
او نسب علم حساب المثلثات بدلاً من الاشياء التي مثل القاطع

71
00:03:27,360 --> 00:03:28,490
وقاطع التمام

72
00:03:28,490 --> 00:03:31,090
ثم ما هي مشتقة b فيما يتعلق بـ x؟

73
00:03:31,090 --> 00:03:37,030
مشتقة b فيما يتعلق بـ x

74
00:03:37,030 --> 00:03:38,260
ان هذا مثير للاهتمام فعلاً

75
00:03:38,260 --> 00:03:39,710
في الواقع، دعوني اعيد كتابة b

76
00:03:39,710 --> 00:03:45,730
دعوني اكتب b = x × y^-1

77
00:03:45,730 --> 00:03:48,520
اذاً مشتقة b فيما يتعلق بـ x، يمكننا استخدام

78
00:03:48,520 --> 00:03:50,470
قاعدة السلسلة هنا

79
00:03:50,470 --> 00:03:53,680
يمكن ان نقول --دعوني اكتب هذا-- مشتقة b

80
00:03:53,680 --> 00:03:57,530
فيما يتعلق بـ x تساوي مشتقة x ×

81
00:03:57,530 --> 00:03:58,790
y^-1

82
00:03:58,790 --> 00:04:01,300
اذاً مشتقة x هي 1

83
00:04:01,300 --> 00:04:07,360
× y^-1 + مشتقة y

84
00:04:07,360 --> 00:04:08,030
--دعوني اكتب هذا--

85
00:04:08,030 --> 00:04:12,320
+ المشتقة فيما يتعلق بـ x لـ y^-1

86
00:04:12,320 --> 00:04:17,930
× العبارة الاولى، اي × x

87
00:04:17,930 --> 00:04:20,470
اذاً هذا الشيئ الموجود هنا، وبكل وضوح لم اقم

88
00:04:20,470 --> 00:04:21,190
بتبسيطها تماماً بعد

89
00:04:21,190 --> 00:04:22,890
لا يزال علي ان اجد ما هذا الشيئ الموجود هنا

90
00:04:22,890 --> 00:04:25,010
لكنني قمت بكل بساطة بتطبيق قاعدة حاصل الضرب هنا

91
00:04:25,010 --> 00:04:27,990
مشتقة العبارة الاولى، اي مشتقة x هي 1

92
00:04:27,990 --> 00:04:30,380
× العبارة الثانية + مشتقة العبارة الثانية

93
00:04:30,380 --> 00:04:31,310
× العبارة الاولى

94
00:04:31,310 --> 00:04:32,700
هذا هو كل ما فعلته هنا

95
00:04:32,700 --> 00:04:35,170
اذاً مشتقة b فيما يتعلق بـ x هي

96
00:04:35,170 --> 00:04:36,560
هذا الشيئ الموجود هنا

97
00:04:36,560 --> 00:04:42,290
اذاً تساوي --دعوني افعل هذا باللون الاصفر-- اذاً هي ×

98
00:04:42,290 --> 00:04:43,520
--اوه، سأكتبها باللون الازرق بما انني قد كتبتها بالفعل

99
00:04:43,520 --> 00:04:47,290
هذا هو اللون الازرق، مشتقة b فيما يتعلق بـ x هي y^-1

100
00:04:47,290 --> 00:04:52,580
او 1 / y + المشتقة فيما يتعلق بـ

101
00:04:52,580 --> 00:04:59,590
x(1/y) × x

102
00:04:59,590 --> 00:05:01,180
اذاً دعوني اكتب هذا هنا

103
00:05:01,180 --> 00:05:04,330
لقد اوجدنا، او اننا قد انتهينا تقريباً من ايجاد

104
00:05:04,330 --> 00:05:07,400
ما هي مشتقة a فيما يتعلق بـ x، و

105
00:05:07,400 --> 00:05:08,450
يمكننا ان نضع هذا هنا

106
00:05:08,450 --> 00:05:09,230
لكننا لم ننته بعد

107
00:05:09,230 --> 00:05:12,280
ما هي مشتقة 1 / y فيما يتعلق بـ x؟

108
00:05:12,280 --> 00:05:14,990
حسناً، سنستخدم قاعدة السلسلة مرة اخرى

109
00:05:14,990 --> 00:05:17,520
.

110
00:05:17,520 --> 00:05:18,830
واريد ان اكون واضحاً جداً بهذا

111
00:05:18,830 --> 00:05:21,570
اعلم ان ما افعله هنا ربما يبدو ثقيلاً

112
00:05:21,570 --> 00:05:24,020
لكنني اعتقد انه لربما يكون منطقياً

113
00:05:24,020 --> 00:05:28,390
دعوني اضع ان c = 1 / y

114
00:05:28,390 --> 00:05:32,550
اذاً مشتقة c فيما يتعلق بـ x، من خلال

115
00:05:32,550 --> 00:05:35,580
قاعدة السلسلة، تساوي مشتقة c فيما يتعلق

116
00:05:35,580 --> 00:05:40,090
بـ y × مشتقة y فيما يتعلق بـ x

117
00:05:40,090 --> 00:05:43,140
ما هي مشتقة c فيما يتعلق بـ y؟

118
00:05:43,140 --> 00:05:44,930
حسناً، ان هذا يعادل --بامكاني اعادة كتابة

119
00:05:44,930 --> 00:05:46,350
هذا بصورة y^-1

120
00:05:46,350 --> 00:05:51,160
اذاً هي y^-2-

121
00:05:51,160 --> 00:05:52,910
هذا هو هذا الشيئ

122
00:05:52,910 --> 00:05:55,740
هذا الشيئ عبارة عن هذا الموجود هنا

123
00:05:55,740 --> 00:05:57,220
ولا اعرف ما هي مشتقة y

124
00:05:57,220 --> 00:05:58,020
فيما يتعلق بـ x

125
00:05:58,020 --> 00:05:59,690
هذا ما نسعى لأن نجده

126
00:05:59,690 --> 00:06:02,390
اذاً انها عبارة عن هذا × مشتقة y

127
00:06:02,390 --> 00:06:03,540
فيما يتعلق بـ x

128
00:06:03,540 --> 00:06:05,340
هذا قد اتى من قاعدة السلسلة

129
00:06:05,340 --> 00:06:11,400
اذاً هذا الشيئ الموجود هنا، هذه هي مشتقة هذا الشيئ

130
00:06:11,400 --> 00:06:13,830
فيما يتعلق بـ x، وهي تعادل مشتقة

131
00:06:13,830 --> 00:06:15,770
c فيما يتعلق بـ x

132
00:06:15,770 --> 00:06:19,210
اذاً بامكاني ان اكتب هذه القصاصة الصغيرة هنا، يمكنني ان

133
00:06:19,210 --> 00:06:25,240
اعيد كتابة هذه القصاصة كالتالي: y^-2dy dx-

134
00:06:25,240 --> 00:06:28,910
ومن ثم، بالطبع، يوجد × x

135
00:06:28,910 --> 00:06:33,910
ومن ثم لدي + 1 / y، وجميع ذلك كان مضروب

136
00:06:33,910 --> 00:06:38,050
بـ 1 / جيب تمام b

137
00:06:38,050 --> 00:06:40,660
اذاً الآن قمنا بتبسيط هذا بشكل جيد

138
00:06:40,660 --> 00:06:42,840
اتمنى ان الخوض في قاعدة السلسلة لم يربككم

139
00:06:42,840 --> 00:06:45,020
لأنني في الحقيقة اريد توضيح نقطة بأن جميع

140
00:06:45,020 --> 00:06:48,320
مسائل التمايز الضمني هذه، اي dy dx هذه

141
00:06:48,320 --> 00:06:50,570
ليست نفس القاعدة التي يجب ان تحفظوها

142
00:06:50,570 --> 00:06:52,890
انها اتت بشكل طبيعي من قاعدة السلسلة

143
00:06:52,890 --> 00:06:56,930
اذاً لقد اوجدنا da dx، وهي تساوي هذه

144
00:06:56,930 --> 00:06:59,230
العبارة الموجودة هنا

145
00:06:59,230 --> 00:07:07,130
دعوني اكتبها، انها تساوي 1 / مربع جيب تمام b

146
00:07:07,130 --> 00:07:07,880
حسناً، ما هي قيمة b؟

147
00:07:07,880 --> 00:07:10,640
لقد كتبتها، انها جيب تمام x / y

148
00:07:10,640 --> 00:07:16,920
مربع جيب تمام x / y × كل هذه الاشياء الموجودة

149
00:07:16,920 --> 00:07:19,840
هنا، × كل هذه الفوضى

150
00:07:19,840 --> 00:07:25,670
1 / y +، او ربما يجب ان اقول -، - --اذا

151
00:07:25,670 --> 00:07:32,486
بسطت هذا، فإن هذا x / y^2 × dy dx

152
00:07:32,486 --> 00:07:36,660
× dy dx

153
00:07:36,660 --> 00:07:39,000
ثم ان هذا مساوياً للجانب الايمن

154
00:07:39,000 --> 00:07:48,490
انه يساوي 1 + dy dx

155
00:07:48,490 --> 00:07:51,420
والآن كل ما علينا فعله هو ان نجد قيمة dy dx

156
00:07:51,420 --> 00:07:53,990
لذا دعوني اقوم بمراجعة لكيفية وصولنا الى هنا

157
00:07:53,990 --> 00:07:56,300
لقد مررت بقاعدة السلسلة في كل خطوة، لكن

158
00:07:56,300 --> 00:07:58,170
عندما تدركونها، سيكون بامكانكم ان تنتقلوا

159
00:07:58,170 --> 00:07:59,360
مباشرة الى الاسفل بهذا الاتجاه

160
00:07:59,360 --> 00:08:01,380
الطريقة التي فكرت بها هي --الجانب الايمن

161
00:08:01,380 --> 00:08:02,033
اعتقد انكم قد فهمتموه

162
00:08:02,033 --> 00:08:04,380
مشتقة x هي 1، ومشتقة y فيما يتعلق

163
00:08:04,380 --> 00:08:06,560
بـ x، حسناً، عبارة عن dy dx

164
00:08:06,560 --> 00:08:09,010
لكن الجانب الايسر، تاخذ مشتقة

165
00:08:09,010 --> 00:08:11,630
كل شيئ فيما يتعلق بـ x / y

166
00:08:11,630 --> 00:08:14,100
اذاً هذه هي مشتقة القاطع، وهي 1 /

167
00:08:14,100 --> 00:08:15,020
مربع جيب التمام

168
00:08:15,020 --> 00:08:18,620
اذاً هي 1 / مربع جيب تمام x / y، وتضرب

169
00:08:18,620 --> 00:08:23,530
ذلك بمشتقة x / y فيما يتعلق بـ x

170
00:08:23,530 --> 00:08:26,770
ومشتقة x / y فيما يتعلق بـ x عبارة عن

171
00:08:26,770 --> 00:08:28,970
مشتقة --وقد بدأت بالتعقد، لهذا السبب انه من

172
00:08:28,970 --> 00:08:31,590
الجيد االقيام بهذا على جانب هنا-- لكنها مشتقة

173
00:08:31,590 --> 00:08:34,150
x، وهي 1 × 1 / y

174
00:08:34,150 --> 00:08:39,680
وهي تلك العبارة + مشتقة 1 / y

175
00:08:39,680 --> 00:08:44,200
فيما يتعلق بـ x، اي هي -1 / y^2 dy dx، من

176
00:08:44,200 --> 00:08:46,620
قاعدة السلسلة، × dx

177
00:08:46,620 --> 00:08:48,140
لهذا السبب كان من الافضل القيام بهذا جانباً لكي لا

178
00:08:48,140 --> 00:08:49,360
نرتكب خطأ غير مقصود

179
00:08:49,360 --> 00:08:51,410
لكن عندما تعتادون عليه، سيكون بامكانكم القيام بذلك

180
00:08:51,410 --> 00:08:53,980
ذهنياً، وبالطبع، ان هذا يساوي الجانب الايمن

181
00:08:53,980 --> 00:08:56,520
اذاً من اليوم فصاعداً، ان هذا يعتبر جبراً

182
00:08:56,520 --> 00:08:59,140
لكي نجد dy dx

183
00:08:59,140 --> 00:09:01,490
اذاً المكان الجيد لنبدأ منه هو ان نضرب طرفي هذه

184
00:09:01,490 --> 00:09:04,910
المعادلة بمربع جيب تمام x / y

185
00:09:04,910 --> 00:09:07,420
اذاً بكل وضوح، ان ذلك يصبح 1 على هذا الجانب

186
00:09:07,420 --> 00:09:14,970
والجانب الايسر سيصبح 1 / y - x / y^2 dy dx

187
00:09:14,970 --> 00:09:23,690
= --علي ان اضرب طرفي

188
00:09:23,690 --> 00:09:26,730
المعادلة بهذا المقام الموجود هنا-- =

189
00:09:26,730 --> 00:09:32,530
مربع جيب تمام x / y + مربع جيب تمام

190
00:09:32,530 --> 00:09:35,190
x / y dy dx

191
00:09:35,190 --> 00:09:39,420
dy dx

192
00:09:39,420 --> 00:09:40,190
ماذا يمكن ان نفعل الآن

193
00:09:40,190 --> 00:09:44,210
يمكننا ان نطرح مربع جيب تمام x / y هذا من

194
00:09:44,210 --> 00:09:52,110
طرفي المعادلة، ونحصل على 1 / y -

195
00:09:52,110 --> 00:09:53,710
مربع جيب تمام x / y

196
00:09:53,710 --> 00:09:55,780
كل ما فعلته هو انني طرحت هذا من طرفي

197
00:09:55,780 --> 00:09:57,590
المعادلة، لذا بالضرورة قد حركتها الى

198
00:09:57,590 --> 00:09:59,040
الجانب الايسر

199
00:09:59,040 --> 00:10:01,040
ما احاول فعله هو ان احاول فصل

200
00:10:01,040 --> 00:10:04,810
العبارات التي لا تحتوي على dy dx عن العبارات التي تحتوي على dy dx

201
00:10:04,810 --> 00:10:06,750
لذا سوف احضر عبارة dy dx هذه الى

202
00:10:06,750 --> 00:10:07,950
الجانب الايمن

203
00:10:07,950 --> 00:10:11,550
لذا دعوني اضيف x / y^2 dy dx لكلا الطرفين

204
00:10:11,550 --> 00:10:17,260
ثم ان هذا يساوي x / y --دعوني اكتب ذلك

205
00:10:17,260 --> 00:10:21,070
باللون الذي قد كتبتها به

206
00:10:21,070 --> 00:10:21,470
لون مختلف قليلاً

207
00:10:21,470 --> 00:10:27,110
اذاً x / y^2 --سوف اكتب الـ dy dx باللون البرتقالي

208
00:10:27,110 --> 00:10:34,120
dy dx، ومن ثم لدينا هذه العبارة، + مربع جيب تمام

209
00:10:34,120 --> 00:10:36,880
x / y dy dx

210
00:10:36,880 --> 00:10:40,950
dy dx

211
00:10:40,950 --> 00:10:43,000
اعتقد اننا في لب الموضوع

212
00:10:43,000 --> 00:10:46,410
دعونا نستخرج العامل المشترك dy dx من الجانب الايمن

213
00:10:46,410 --> 00:10:56,770
اذاً هذا يساوي dy dx (x / y^2

214
00:10:56,770 --> 00:11:01,220
+ مربع جيب تمام x / y)

215
00:11:01,220 --> 00:11:04,180
وهذا يساوي هذا الشيئ الموجود هنا، انه يساوي

216
00:11:04,180 --> 00:11:09,250
1 / y - مربع جيب تمام x / y

217
00:11:09,250 --> 00:11:12,240
الآن لكي نجد dy dx، علينا ان نقسم طرفي

218
00:11:12,240 --> 00:11:15,450
هذه المعادلة على هذه العبارة الموجودة هنا

219
00:11:15,450 --> 00:11:16,900
وبالتالي على ماذا نحصل؟

220
00:11:16,900 --> 00:11:21,970
نحصل على، اذا قسمنا كلا الطرفين على هذا، سنحصل على 1 / y

221
00:11:21,970 --> 00:11:27,210
- مربع جيب تمام x / y ÷

222
00:11:27,210 --> 00:11:28,720
كل هذا الشيئ الموجود هنا

223
00:11:28,720 --> 00:11:36,190
x / y^2 + مربع جيب تمام x / y

224
00:11:36,190 --> 00:11:42,150
= dy dx

225
00:11:42,150 --> 00:11:43,370
ومن ثم نكون انتهينا

226
00:11:43,370 --> 00:11:46,460
لقد طبقنا قاعدة السلسلة عدة مرات وكنا قادرين

227
00:11:46,460 --> 00:11:50,600
على التمايز الضمني لظل y / x

228
00:11:50,600 --> 00:11:51,600
= y + x

229
00:11:51,600 --> 00:11:55,980
ان الجزء الصعب هو الوصول الى هذه الخطوة

230
00:11:55,980 --> 00:11:59,470
بعد هذه الخطوة يعتبر جبراً بشكل تام لكي نقوم بايجاد

231
00:11:59,470 --> 00:12:04,730
dy dx، ومن ثم تحصل على تلك الاجابة الموجودة هناك

232
00:12:04,730 --> 00:12:07,380
على اي حال، اتمنى انكم قد وجدت هذا مفيداً