AP Calculus BC Exams: 2008 1 a

Ich habe einen Vorschlag erhalten, echte alte Aufgaben des Lehramtsexamen zu bearbeiten,

also schaute ich und - siehe da - auf der

College Board Seite, auf collegeboard.com, kann man

zwar nicht die eigentlichen Multiple-Choice Aufgaben,

aber die normalen Aufgaben finden.

Dies ist eigentlich die erste normale Aufgabe

in vom Calculus BC, von 2008.

Also lasst uns dieses Problem lösen.

Und mal ehrlich, wenn man alle normalen Aufgaben lösen kann,

sollte man auch bei den Multiple Choice Fragen relativ

gut abschneiden, weil die normalen Aufgaben in der Regel

etwas schwieriger gestellt sind, besonders die

letzten Probleme.

Jedenfalls, lasst uns beginnen.

Ich lese einfach vor, weil ich es nicht alles hier

aufschreiben will, aber dies ist die Original Grafik.

Ich habe sie aus dem PDF, welches auf

collegeboard.com zur Verfügung steht, kopiert.

Es heißt hier: R sei die Fläche zwischen den Graphen

y = sin(PI * x)

..lasst mich das aufschreiben.

Also dieser obere Graph ist y = sin(PI * x)

y = sin(PI * x)

und der untere Graph ist y = x^3 - 4x.

y = x^3 - 4x.

Woher weiß ich dass dies der untere ist?

Naja, I weiß dass dieser hier der Sinus von PI * x ist, stimmts?

Die Sinuskurve sieht eben so aus.

Nicht wie dieser Graph.

Setzt man den Sinus von PI auf 0, findet man sin(0)=0,

sin(2 * PI) = 0, ...

Also ist dies hier der Sinus von PI mal x.

Also, dies ist die Fläche zwischen

diesen zwei Funktionen und Teil A - und dies ist

der "Softball-Teil" der Frage, nur um sicherzugehen dass du weißt wie

man Integrale definiert - es heißt hier: "Finde die Fläche von R."

Also, wie machen wir das?

Du weißt sicher, dass wir ein bestimmtes Integral

suchen, also lass uns das tun.

Also wir nehmen das bestimmte Integral, demnach

sei die Fläche gleich - ich hoffe ich schreibe

groß genug - die Fläche sei gleich dem

bestimmten Integral in den Grenzen -

Nun, was sind die x-Werte der Grenzen?

Wir nehmen das integral von x = 0

bis x = 2.

Von 0 bis 2.

Und was ist das hier?

Für jeden Punkt im Wertebereich von x, was wird die

Höhe... wenn wir die Fläche suchen, nehmen wir eine Menge

Rechtecke der Breite dx,

also haben wir hier

so ein Rechteck.

Oups.

Also hier ist eines meiner Rechtecke

Seine Breite ist dx.

Wie hoch ist es?

Die Höhe wird der Wert des oberen Graphen

minus der des unteren Graphen sein.

Also, wir nehmen die Gesamtfläche aller dieser Rechtecke,

und ihre Höhe ist die - lasst mich willkürlich eine

Farbe wählen - die Höhe wird die Differenz zwischen

oberer und unterer Funktion werden.

Also sin(PI*x) minus

den unteren Graphen.

Also minus x^3 + 4x

sin(PI*x) - x^3 + 4x

Weil ich subtrahiere, habe ich hier die Vorzeichen gewechselt.

Und das ganze multiplizieren wir mit der Breite der kleinen

Rechtecke - welche unendlich klein ist - dx.

Wir addieren alle Rechtecke im Bereich

x = 0 bis x = 2.

Das sollte relativ überschaubar sein.

Wie können wir das jetzt ausrechnen?

Nun, im Grunde nehmen wir die Integration hiervon,

und setzen dann 2 und 0 nacheinander ein.

Was ist die Integration von sin(PI*x)?

Nun, von welcher Funktion ist sin(x) die Ableitung?

Kosinus von x.... mal sehen...

Wenn ich die Ableitung des Kosinus nehme... oder

besser, die Ableitung von cos(PI*x),

das sollte dir eigentlich bekannt vorkommen,

Was kommt also bei der Ableitung von cos(PI*x)

heraus?

Dies ist PI.

Man nimmt die Innere Ableitung, richtig?

Die Kettenregel.

Also PI mal die Ableitung des Ganzen

Die Ableitung von cos(x) ist -sin(x), also ist

die Ableitung PI * -sin(PI * x)

beziehungsweise -PI<i>sin(PI</i>x).

Also ist die Ableitung von cos(PI*x) fast dies hier, nur

hat sie noch dieses "- PI".

Mal sehen ob wir das umschreiben können, so dass es genau

die Ableitung vom Kosinus von PI mal X ist.

Ich wechsel zu Magenta hier.

Ich muss aufpassen dass ich genug Platz

für die ganze Aufgabe haben.

Schreiben wir also -1/PI * -PI

Was ich mache - wenn wir das hier ausrechnen, kommt 1 heraus, also kann ich

dies mit sin(PI*x) multiplizieren, und dann hier

-x^3 + 4x, und das alles mal die Breite dx.

Da haben wir's.

Wir wissen, dies hier integriert ist cos(PI*x), richtig?

Dies hier ist nur eine Konstante.

Also, was ist die Stammfunktion dieses Ganzen?

Ich wechsel wieder die Farbe.

Die Integration ist cos(PI*x), also

haben wir -1 / PI * cos(PI*x) ... ich konnte das hier

einfach übernehmen, es ist nur eine Konstante, die

Integration passiert hier.

Und diese hier sind noch etwas einfacher.

Also minus die Integration von x^3 ist

x^4 / 4, plus die Integration hiervon

ist 4x^2 / 2, oder einfach 2x^2.

Und dann werden wir diesen Term berechnen, mit

x = 2 und dann x = 0.

Also, dies ist gleich cos(2*PI), wir haben hier noch ein

Minuszeichen, also -cos(2*PI) / PI minus

was ist 2^4?

Mal sehen.

2^3 ist 8, 2^4 ist 16, 16 / 4 ist 4.

also kommt hier minus 4. Zwei zum Quadrat ist 4, mal 2 ergibt 8, also hier plus 8.

Das ist die Stammfunktion mit 2 für x eingesetzt, jetzt nochmal

den Term für x = 0 abziehen.

Also -cos(0) / PI, okay, das ergibt 0.

Minus 0, plus 0.

Also diese Terme tragen nichts bei, sie

ergeben einfach 0.

Also, was kommt raus?

Der Kosinus von 2 PI?

Das ist das gleiche wie der Kosinus

von Null, es ergibt 1.

Was ist der x-Wert des Einheitskreises bei 2 PI, bzw bei 0?

Es ist 1.

Also ergibt dies -1/PI - 4 + 8, also

lösen sich diese Minuszeichen auf, cos(0) = 1, also

plus 1/PI, diese -1/PI und +1/PI

werden sich aufheben, und übrig bleibt

-4 + 8 = 4.

Also, dies ist der erste Teil, Aufgabe 1a, der

normalen Aufgaben von DC 2008.

Ich habe wirklich ein ganzes Video für diesen einen Teil gebraucht...

Im nächsten Video zeige ich Teil B, wir machen einfach

weiter damit, und ich versuche ein paar davon jeden Tag zu zeigen.

Bis bald.