0:00:01.030,0:00:05.980 Ich habe einen Vorschlag erhalten, echte alte Aufgaben des Lehramtsexamen zu bearbeiten, 0:00:05.980,0:00:08.550 also schaute ich und - siehe da - auf der 0:00:08.550,0:00:11.640 College Board Seite, auf collegeboard.com, kann man 0:00:11.640,0:00:14.380 zwar nicht die eigentlichen Multiple-Choice Aufgaben, 0:00:14.380,0:00:16.760 aber die normalen Aufgaben finden. 0:00:16.760,0:00:19.790 Dies ist eigentlich die erste normale Aufgabe 0:00:19.790,0:00:23.060 in vom Calculus BC, von 2008. 0:00:24.620,0:00:25.990 Also lasst uns dieses Problem lösen. 0:00:25.990,0:00:28.140 Und mal ehrlich, wenn man alle normalen Aufgaben lösen kann, 0:00:28.140,0:00:32.200 sollte man auch bei den Multiple Choice Fragen relativ 0:00:32.200,0:00:34.840 gut abschneiden, weil die normalen Aufgaben in der Regel 0:00:34.840,0:00:36.980 etwas schwieriger gestellt sind, besonders die 0:00:36.980,0:00:38.260 letzten Probleme. 0:00:38.260,0:00:40.110 Jedenfalls, lasst uns beginnen. 0:00:40.110,0:00:42.205 Ich lese einfach vor, weil ich es nicht alles hier 0:00:42.205,0:00:44.300 aufschreiben will, aber dies ist die Original Grafik. 0:00:44.300,0:00:48.250 Ich habe sie aus dem PDF, welches auf 0:00:48.250,0:00:50.360 collegeboard.com zur Verfügung steht, kopiert. 0:00:50.360,0:00:54.630 Es heißt hier: R sei die Fläche zwischen den Graphen 0:00:54.630,0:00:57.390 y = sin(PI * x) 0:00:57.390,0:00:58.850 ..lasst mich das aufschreiben. 0:00:58.850,0:01:09.116 Also dieser obere Graph ist y = sin(PI * x) 0:01:09.116,0:01:22.860 y = sin(PI * x) 0:01:22.860,0:01:28.060 und der untere Graph ist y = x^3 - 4x. 0:01:28.060,0:01:37.410 y = x^3 - 4x. 0:01:37.410,0:01:39.320 Woher weiß ich dass dies der untere ist? 0:01:39.320,0:01:41.780 Naja, I weiß dass dieser hier der Sinus von PI * x ist, stimmts? 0:01:41.780,0:01:42.840 Die Sinuskurve sieht eben so aus. 0:01:42.840,0:01:44.910 Nicht wie dieser Graph. 0:01:44.910,0:01:48.280 Setzt man den Sinus von PI auf 0, findet man sin(0)=0, 0:01:48.280,0:01:50.380 sin(2 * PI) = 0, ... 0:01:50.380,0:01:51.760 Also ist dies hier der Sinus von PI mal x. 0:01:51.760,0:01:55.600 Also, dies ist die Fläche zwischen 0:01:55.600,0:01:59.110 diesen zwei Funktionen und Teil A - und dies ist 0:01:59.110,0:02:01.890 der "Softball-Teil" der Frage, nur um sicherzugehen dass du weißt wie 0:02:01.890,0:02:07.040 man Integrale definiert - es heißt hier: "Finde die Fläche von R." 0:02:07.040,0:02:08.890 Also, wie machen wir das? 0:02:08.890,0:02:11.800 Du weißt sicher, dass wir ein bestimmtes Integral 0:02:11.800,0:02:13.290 suchen, also lass uns das tun. 0:02:13.290,0:02:15.780 Also wir nehmen das bestimmte Integral, demnach 0:02:15.780,0:02:23.280 sei die Fläche gleich - ich hoffe ich schreibe 0:02:23.280,0:02:26.140 groß genug - die Fläche sei gleich dem 0:02:26.140,0:02:28.960 bestimmten Integral in den Grenzen - 0:02:28.960,0:02:30.150 Nun, was sind die x-Werte der Grenzen? 0:02:30.150,0:02:32.266 Wir nehmen das integral von x = 0 0:02:32.266,0:02:34.540 bis x = 2. 0:02:34.540,0:02:38.890 Von 0 bis 2. 0:02:38.890,0:02:40.330 Und was ist das hier? 0:02:40.330,0:02:44.510 Für jeden Punkt im Wertebereich von x, was wird die 0:02:44.510,0:02:46.990 Höhe... wenn wir die Fläche suchen, nehmen wir eine Menge 0:02:46.990,0:02:50.850 Rechtecke der Breite dx, 0:02:50.850,0:02:52.900 also haben wir hier 0:02:52.900,0:02:55.750 so ein Rechteck. 0:02:55.750,0:02:56.890 Oups. 0:02:56.890,0:03:00.730 Also hier ist eines meiner Rechtecke 0:03:02.070,0:03:04.110 Seine Breite ist dx. 0:03:04.110,0:03:06.220 Wie hoch ist es? 0:03:06.220,0:03:09.440 Die Höhe wird der Wert des oberen Graphen 0:03:09.440,0:03:12.340 minus der des unteren Graphen sein. 0:03:12.340,0:03:15.240 Also, wir nehmen die Gesamtfläche aller dieser Rechtecke, 0:03:15.240,0:03:18.710 und ihre Höhe ist die - lasst mich willkürlich eine 0:03:18.710,0:03:22.670 Farbe wählen - die Höhe wird die Differenz zwischen 0:03:22.670,0:03:24.500 oberer und unterer Funktion werden. 0:03:24.500,0:03:35.060 Also sin(PI*x) minus 0:03:35.060,0:03:35.720 den unteren Graphen. 0:03:35.720,0:03:40.250 Also minus x^3 + 4x 0:03:40.250,0:03:42.810 sin(PI*x) - x^3 + 4x 0:03:42.810,0:03:47.270 Weil ich subtrahiere, habe ich hier die Vorzeichen gewechselt. 0:03:47.270,0:03:51.010 Und das ganze multiplizieren wir mit der Breite der kleinen 0:03:51.010,0:03:54.670 Rechtecke - welche unendlich klein ist - dx. 0:03:54.670,0:03:56.810 Wir addieren alle Rechtecke im Bereich 0:03:56.810,0:03:59.510 x = 0 bis x = 2. 0:03:59.510,0:04:01.610 Das sollte relativ überschaubar sein. 0:04:01.610,0:04:02.850 Wie können wir das jetzt ausrechnen? 0:04:02.850,0:04:06.080 Nun, im Grunde nehmen wir die Integration hiervon, 0:04:06.080,0:04:08.870 und setzen dann 2 und 0 nacheinander ein. 0:04:08.870,0:04:12.590 Was ist die Integration von sin(PI*x)? 0:04:12.590,0:04:17.900 Nun, von welcher Funktion ist sin(x) die Ableitung? 0:04:17.900,0:04:19.100 Kosinus von x.... mal sehen... 0:04:19.100,0:04:21.420 Wenn ich die Ableitung des Kosinus nehme... oder 0:04:21.420,0:04:24.960 besser, die Ableitung von cos(PI*x), 0:04:24.960,0:04:27.090 das sollte dir eigentlich bekannt vorkommen, 0:04:27.090,0:04:30.590 Was kommt also bei der Ableitung von cos(PI*x) 0:04:30.590,0:04:34.200 heraus? 0:04:34.200,0:04:36.320 Dies ist PI. 0:04:36.320,0:04:37.980 Man nimmt die Innere Ableitung, richtig? 0:04:37.980,0:04:39.120 Die Kettenregel. 0:04:39.120,0:04:43.130 Also PI mal die Ableitung des Ganzen 0:04:43.130,0:04:46.230 Die Ableitung von cos(x) ist -sin(x), also ist 0:04:46.230,0:04:54.440 die Ableitung PI * -sin(PI * x) 0:04:54.440,0:05:02.080 beziehungsweise -PI<i>sin(PI</i>x). 0:05:02.080,0:05:06.810 Also ist die Ableitung von cos(PI*x) fast dies hier, nur 0:05:06.810,0:05:09.270 hat sie noch dieses "- PI". 0:05:09.270,0:05:12.150 Mal sehen ob wir das umschreiben können, so dass es genau 0:05:12.150,0:05:16.440 die Ableitung vom Kosinus von PI mal X ist. 0:05:16.440,0:05:17.690 Ich wechsel zu Magenta hier. 0:05:20.730,0:05:22.400 Ich muss aufpassen dass ich genug Platz 0:05:22.400,0:05:23.225 für die ganze Aufgabe haben. 0:05:27.180,0:05:36.880 Schreiben wir also -1/PI * -PI 0:05:36.880,0:05:40.020 Was ich mache - wenn wir das hier ausrechnen, kommt 1 heraus, also kann ich 0:05:40.020,0:05:48.100 dies mit sin(PI*x) multiplizieren, und dann hier 0:05:48.100,0:05:54.370 -x^3 + 4x, und das alles mal die Breite dx. 0:05:54.370,0:05:55.200 Da haben wir's. 0:05:55.200,0:05:59.810 Wir wissen, dies hier integriert ist cos(PI*x), richtig? 0:05:59.810,0:06:00.910 Dies hier ist nur eine Konstante. 0:06:00.910,0:06:03.370 Also, was ist die Stammfunktion dieses Ganzen? 0:06:03.370,0:06:05.780 Ich wechsel wieder die Farbe. 0:06:05.780,0:06:10.070 Die Integration ist cos(PI*x), also 0:06:10.070,0:06:18.620 haben wir -1 / PI * cos(PI*x) ... ich konnte das hier 0:06:18.620,0:06:21.320 einfach übernehmen, es ist nur eine Konstante, die 0:06:21.320,0:06:25.590 Integration passiert hier. 0:06:25.590,0:06:28.330 Und diese hier sind noch etwas einfacher. 0:06:28.330,0:06:31.770 Also minus die Integration von x^3 ist 0:06:31.770,0:06:41.300 x^4 / 4, plus die Integration hiervon 0:06:41.300,0:06:47.250 ist 4x^2 / 2, oder einfach 2x^2. 0:06:47.250,0:06:52.620 Und dann werden wir diesen Term berechnen, mit 0:06:52.620,0:06:55.260 x = 2 und dann x = 0. 0:06:55.260,0:07:03.510 Also, dies ist gleich cos(2*PI), wir haben hier noch ein 0:07:03.510,0:07:09.930 Minuszeichen, also -cos(2*PI) / PI minus 0:07:09.930,0:07:11.680 was ist 2^4? 0:07:11.680,0:07:11.960 Mal sehen. 0:07:11.960,0:07:18.170 2^3 ist 8, 2^4 ist 16, 16 / 4 ist 4. 0:07:18.170,0:07:26.750 also kommt hier minus 4. Zwei zum Quadrat ist 4, mal 2 ergibt 8, also hier plus 8. 0:07:26.750,0:07:31.020 Das ist die Stammfunktion mit 2 für x eingesetzt, jetzt nochmal 0:07:31.020,0:07:35.460 den Term für x = 0 abziehen. 0:07:35.460,0:07:46.470 Also -cos(0) / PI, okay, das ergibt 0. 0:07:46.470,0:07:50.630 Minus 0, plus 0. 0:07:50.630,0:07:52.540 Also diese Terme tragen nichts bei, sie 0:07:52.540,0:07:54.880 ergeben einfach 0. 0:07:54.880,0:07:56.250 Also, was kommt raus? 0:07:56.250,0:07:58.620 Der Kosinus von 2 PI? 0:07:58.620,0:08:01.110 Das ist das gleiche wie der Kosinus 0:08:01.110,0:08:03.090 von Null, es ergibt 1. 0:08:03.090,0:08:06.490 Was ist der x-Wert des Einheitskreises bei 2 PI, bzw bei 0? 0:08:06.490,0:08:07.070 Es ist 1. 0:08:07.070,0:08:15.670 Also ergibt dies -1/PI - 4 + 8, also 0:08:15.670,0:08:19.900 lösen sich diese Minuszeichen auf, cos(0) = 1, also 0:08:19.900,0:08:25.840 plus 1/PI, diese -1/PI und +1/PI 0:08:25.840,0:08:30.570 werden sich aufheben, und übrig bleibt 0:08:30.570,0:08:34.210 -4 + 8 = 4. 0:08:34.210,0:08:42.830 Also, dies ist der erste Teil, Aufgabe 1a, der 0:08:42.830,0:08:43.920 normalen Aufgaben von DC 2008. 0:08:43.920,0:08:46.090 Ich habe wirklich ein ganzes Video für diesen einen Teil gebraucht... 0:08:46.090,0:08:48.550 Im nächsten Video zeige ich Teil B, wir machen einfach 0:08:48.550,0:08:51.115 weiter damit, und ich versuche ein paar davon jeden Tag zu zeigen. 0:08:51.115,0:08:52.690 Bis bald.