1 00:00:01,030 --> 00:00:05,980 Ich habe einen Vorschlag erhalten, echte alte Aufgaben des Lehramtsexamen zu bearbeiten, 2 00:00:05,980 --> 00:00:08,550 also schaute ich und - siehe da - auf der 3 00:00:08,550 --> 00:00:11,640 College Board Seite, auf collegeboard.com, kann man 4 00:00:11,640 --> 00:00:14,380 zwar nicht die eigentlichen Multiple-Choice Aufgaben, 5 00:00:14,380 --> 00:00:16,760 aber die normalen Aufgaben finden. 6 00:00:16,760 --> 00:00:19,790 Dies ist eigentlich die erste normale Aufgabe 7 00:00:19,790 --> 00:00:23,060 in vom Calculus BC, von 2008. 8 00:00:24,620 --> 00:00:25,990 Also lasst uns dieses Problem lösen. 9 00:00:25,990 --> 00:00:28,140 Und mal ehrlich, wenn man alle normalen Aufgaben lösen kann, 10 00:00:28,140 --> 00:00:32,200 sollte man auch bei den Multiple Choice Fragen relativ 11 00:00:32,200 --> 00:00:34,840 gut abschneiden, weil die normalen Aufgaben in der Regel 12 00:00:34,840 --> 00:00:36,980 etwas schwieriger gestellt sind, besonders die 13 00:00:36,980 --> 00:00:38,260 letzten Probleme. 14 00:00:38,260 --> 00:00:40,110 Jedenfalls, lasst uns beginnen. 15 00:00:40,110 --> 00:00:42,205 Ich lese einfach vor, weil ich es nicht alles hier 16 00:00:42,205 --> 00:00:44,300 aufschreiben will, aber dies ist die Original Grafik. 17 00:00:44,300 --> 00:00:48,250 Ich habe sie aus dem PDF, welches auf 18 00:00:48,250 --> 00:00:50,360 collegeboard.com zur Verfügung steht, kopiert. 19 00:00:50,360 --> 00:00:54,630 Es heißt hier: R sei die Fläche zwischen den Graphen 20 00:00:54,630 --> 00:00:57,390 y = sin(PI * x) 21 00:00:57,390 --> 00:00:58,850 ..lasst mich das aufschreiben. 22 00:00:58,850 --> 00:01:09,116 Also dieser obere Graph ist y = sin(PI * x) 23 00:01:09,116 --> 00:01:22,860 y = sin(PI * x) 24 00:01:22,860 --> 00:01:28,060 und der untere Graph ist y = x^3 - 4x. 25 00:01:28,060 --> 00:01:37,410 y = x^3 - 4x. 26 00:01:37,410 --> 00:01:39,320 Woher weiß ich dass dies der untere ist? 27 00:01:39,320 --> 00:01:41,780 Naja, I weiß dass dieser hier der Sinus von PI * x ist, stimmts? 28 00:01:41,780 --> 00:01:42,840 Die Sinuskurve sieht eben so aus. 29 00:01:42,840 --> 00:01:44,910 Nicht wie dieser Graph. 30 00:01:44,910 --> 00:01:48,280 Setzt man den Sinus von PI auf 0, findet man sin(0)=0, 31 00:01:48,280 --> 00:01:50,380 sin(2 * PI) = 0, ... 32 00:01:50,380 --> 00:01:51,760 Also ist dies hier der Sinus von PI mal x. 33 00:01:51,760 --> 00:01:55,600 Also, dies ist die Fläche zwischen 34 00:01:55,600 --> 00:01:59,110 diesen zwei Funktionen und Teil A - und dies ist 35 00:01:59,110 --> 00:02:01,890 der "Softball-Teil" der Frage, nur um sicherzugehen dass du weißt wie 36 00:02:01,890 --> 00:02:07,040 man Integrale definiert - es heißt hier: "Finde die Fläche von R." 37 00:02:07,040 --> 00:02:08,890 Also, wie machen wir das? 38 00:02:08,890 --> 00:02:11,800 Du weißt sicher, dass wir ein bestimmtes Integral 39 00:02:11,800 --> 00:02:13,290 suchen, also lass uns das tun. 40 00:02:13,290 --> 00:02:15,780 Also wir nehmen das bestimmte Integral, demnach 41 00:02:15,780 --> 00:02:23,280 sei die Fläche gleich - ich hoffe ich schreibe 42 00:02:23,280 --> 00:02:26,140 groß genug - die Fläche sei gleich dem 43 00:02:26,140 --> 00:02:28,960 bestimmten Integral in den Grenzen - 44 00:02:28,960 --> 00:02:30,150 Nun, was sind die x-Werte der Grenzen? 45 00:02:30,150 --> 00:02:32,266 Wir nehmen das integral von x = 0 46 00:02:32,266 --> 00:02:34,540 bis x = 2. 47 00:02:34,540 --> 00:02:38,890 Von 0 bis 2. 48 00:02:38,890 --> 00:02:40,330 Und was ist das hier? 49 00:02:40,330 --> 00:02:44,510 Für jeden Punkt im Wertebereich von x, was wird die 50 00:02:44,510 --> 00:02:46,990 Höhe... wenn wir die Fläche suchen, nehmen wir eine Menge 51 00:02:46,990 --> 00:02:50,850 Rechtecke der Breite dx, 52 00:02:50,850 --> 00:02:52,900 also haben wir hier 53 00:02:52,900 --> 00:02:55,750 so ein Rechteck. 54 00:02:55,750 --> 00:02:56,890 Oups. 55 00:02:56,890 --> 00:03:00,730 Also hier ist eines meiner Rechtecke 56 00:03:02,070 --> 00:03:04,110 Seine Breite ist dx. 57 00:03:04,110 --> 00:03:06,220 Wie hoch ist es? 58 00:03:06,220 --> 00:03:09,440 Die Höhe wird der Wert des oberen Graphen 59 00:03:09,440 --> 00:03:12,340 minus der des unteren Graphen sein. 60 00:03:12,340 --> 00:03:15,240 Also, wir nehmen die Gesamtfläche aller dieser Rechtecke, 61 00:03:15,240 --> 00:03:18,710 und ihre Höhe ist die - lasst mich willkürlich eine 62 00:03:18,710 --> 00:03:22,670 Farbe wählen - die Höhe wird die Differenz zwischen 63 00:03:22,670 --> 00:03:24,500 oberer und unterer Funktion werden. 64 00:03:24,500 --> 00:03:35,060 Also sin(PI*x) minus 65 00:03:35,060 --> 00:03:35,720 den unteren Graphen. 66 00:03:35,720 --> 00:03:40,250 Also minus x^3 + 4x 67 00:03:40,250 --> 00:03:42,810 sin(PI*x) - x^3 + 4x 68 00:03:42,810 --> 00:03:47,270 Weil ich subtrahiere, habe ich hier die Vorzeichen gewechselt. 69 00:03:47,270 --> 00:03:51,010 Und das ganze multiplizieren wir mit der Breite der kleinen 70 00:03:51,010 --> 00:03:54,670 Rechtecke - welche unendlich klein ist - dx. 71 00:03:54,670 --> 00:03:56,810 Wir addieren alle Rechtecke im Bereich 72 00:03:56,810 --> 00:03:59,510 x = 0 bis x = 2. 73 00:03:59,510 --> 00:04:01,610 Das sollte relativ überschaubar sein. 74 00:04:01,610 --> 00:04:02,850 Wie können wir das jetzt ausrechnen? 75 00:04:02,850 --> 00:04:06,080 Nun, im Grunde nehmen wir die Integration hiervon, 76 00:04:06,080 --> 00:04:08,870 und setzen dann 2 und 0 nacheinander ein. 77 00:04:08,870 --> 00:04:12,590 Was ist die Integration von sin(PI*x)? 78 00:04:12,590 --> 00:04:17,900 Nun, von welcher Funktion ist sin(x) die Ableitung? 79 00:04:17,900 --> 00:04:19,100 Kosinus von x.... mal sehen... 80 00:04:19,100 --> 00:04:21,420 Wenn ich die Ableitung des Kosinus nehme... oder 81 00:04:21,420 --> 00:04:24,960 besser, die Ableitung von cos(PI*x), 82 00:04:24,960 --> 00:04:27,090 das sollte dir eigentlich bekannt vorkommen, 83 00:04:27,090 --> 00:04:30,590 Was kommt also bei der Ableitung von cos(PI*x) 84 00:04:30,590 --> 00:04:34,200 heraus? 85 00:04:34,200 --> 00:04:36,320 Dies ist PI. 86 00:04:36,320 --> 00:04:37,980 Man nimmt die Innere Ableitung, richtig? 87 00:04:37,980 --> 00:04:39,120 Die Kettenregel. 88 00:04:39,120 --> 00:04:43,130 Also PI mal die Ableitung des Ganzen 89 00:04:43,130 --> 00:04:46,230 Die Ableitung von cos(x) ist -sin(x), also ist 90 00:04:46,230 --> 00:04:54,440 die Ableitung PI * -sin(PI * x) 91 00:04:54,440 --> 00:05:02,080 beziehungsweise -PIsin(PIx). 92 00:05:02,080 --> 00:05:06,810 Also ist die Ableitung von cos(PI*x) fast dies hier, nur 93 00:05:06,810 --> 00:05:09,270 hat sie noch dieses "- PI". 94 00:05:09,270 --> 00:05:12,150 Mal sehen ob wir das umschreiben können, so dass es genau 95 00:05:12,150 --> 00:05:16,440 die Ableitung vom Kosinus von PI mal X ist. 96 00:05:16,440 --> 00:05:17,690 Ich wechsel zu Magenta hier. 97 00:05:20,730 --> 00:05:22,400 Ich muss aufpassen dass ich genug Platz 98 00:05:22,400 --> 00:05:23,225 für die ganze Aufgabe haben. 99 00:05:27,180 --> 00:05:36,880 Schreiben wir also -1/PI * -PI 100 00:05:36,880 --> 00:05:40,020 Was ich mache - wenn wir das hier ausrechnen, kommt 1 heraus, also kann ich 101 00:05:40,020 --> 00:05:48,100 dies mit sin(PI*x) multiplizieren, und dann hier 102 00:05:48,100 --> 00:05:54,370 -x^3 + 4x, und das alles mal die Breite dx. 103 00:05:54,370 --> 00:05:55,200 Da haben wir's. 104 00:05:55,200 --> 00:05:59,810 Wir wissen, dies hier integriert ist cos(PI*x), richtig? 105 00:05:59,810 --> 00:06:00,910 Dies hier ist nur eine Konstante. 106 00:06:00,910 --> 00:06:03,370 Also, was ist die Stammfunktion dieses Ganzen? 107 00:06:03,370 --> 00:06:05,780 Ich wechsel wieder die Farbe. 108 00:06:05,780 --> 00:06:10,070 Die Integration ist cos(PI*x), also 109 00:06:10,070 --> 00:06:18,620 haben wir -1 / PI * cos(PI*x) ... ich konnte das hier 110 00:06:18,620 --> 00:06:21,320 einfach übernehmen, es ist nur eine Konstante, die 111 00:06:21,320 --> 00:06:25,590 Integration passiert hier. 112 00:06:25,590 --> 00:06:28,330 Und diese hier sind noch etwas einfacher. 113 00:06:28,330 --> 00:06:31,770 Also minus die Integration von x^3 ist 114 00:06:31,770 --> 00:06:41,300 x^4 / 4, plus die Integration hiervon 115 00:06:41,300 --> 00:06:47,250 ist 4x^2 / 2, oder einfach 2x^2. 116 00:06:47,250 --> 00:06:52,620 Und dann werden wir diesen Term berechnen, mit 117 00:06:52,620 --> 00:06:55,260 x = 2 und dann x = 0. 118 00:06:55,260 --> 00:07:03,510 Also, dies ist gleich cos(2*PI), wir haben hier noch ein 119 00:07:03,510 --> 00:07:09,930 Minuszeichen, also -cos(2*PI) / PI minus 120 00:07:09,930 --> 00:07:11,680 was ist 2^4? 121 00:07:11,680 --> 00:07:11,960 Mal sehen. 122 00:07:11,960 --> 00:07:18,170 2^3 ist 8, 2^4 ist 16, 16 / 4 ist 4. 123 00:07:18,170 --> 00:07:26,750 also kommt hier minus 4. Zwei zum Quadrat ist 4, mal 2 ergibt 8, also hier plus 8. 124 00:07:26,750 --> 00:07:31,020 Das ist die Stammfunktion mit 2 für x eingesetzt, jetzt nochmal 125 00:07:31,020 --> 00:07:35,460 den Term für x = 0 abziehen. 126 00:07:35,460 --> 00:07:46,470 Also -cos(0) / PI, okay, das ergibt 0. 127 00:07:46,470 --> 00:07:50,630 Minus 0, plus 0. 128 00:07:50,630 --> 00:07:52,540 Also diese Terme tragen nichts bei, sie 129 00:07:52,540 --> 00:07:54,880 ergeben einfach 0. 130 00:07:54,880 --> 00:07:56,250 Also, was kommt raus? 131 00:07:56,250 --> 00:07:58,620 Der Kosinus von 2 PI? 132 00:07:58,620 --> 00:08:01,110 Das ist das gleiche wie der Kosinus 133 00:08:01,110 --> 00:08:03,090 von Null, es ergibt 1. 134 00:08:03,090 --> 00:08:06,490 Was ist der x-Wert des Einheitskreises bei 2 PI, bzw bei 0? 135 00:08:06,490 --> 00:08:07,070 Es ist 1. 136 00:08:07,070 --> 00:08:15,670 Also ergibt dies -1/PI - 4 + 8, also 137 00:08:15,670 --> 00:08:19,900 lösen sich diese Minuszeichen auf, cos(0) = 1, also 138 00:08:19,900 --> 00:08:25,840 plus 1/PI, diese -1/PI und +1/PI 139 00:08:25,840 --> 00:08:30,570 werden sich aufheben, und übrig bleibt 140 00:08:30,570 --> 00:08:34,210 -4 + 8 = 4. 141 00:08:34,210 --> 00:08:42,830 Also, dies ist der erste Teil, Aufgabe 1a, der 142 00:08:42,830 --> 00:08:43,920 normalen Aufgaben von DC 2008. 143 00:08:43,920 --> 00:08:46,090 Ich habe wirklich ein ganzes Video für diesen einen Teil gebraucht... 144 00:08:46,090 --> 00:08:48,550 Im nächsten Video zeige ich Teil B, wir machen einfach 145 00:08:48,550 --> 00:08:51,115 weiter damit, und ich versuche ein paar davon jeden Tag zu zeigen. 146 00:08:51,115 --> 00:08:52,690 Bis bald.