Algebra: Linear equations 4 | Linear equations | Algebra I | Khan Academy

.

.

.

.

Herzlich Willkommen bei dem Thema Lineare Gleichungen Level 4.

Ok, am besten fangen wir gleich mit einigen Problemstellungen an.

Also.

Nehmen wir folgende Situation an -- lass mich Dir ein paar

Probleme kurz darstellen -- nehmen wir an, 3 geteilt durch x ist gleich, sagen wir mal, 5.

So, und was wir jetzt tun werden - denn das Problem ist ein bisschen ungewoehnlicher als

die Aufgabenstellungen, die wir in den Lektionen vorher betrachtet hatten,

Ungewoehnlich, weil in diesem Fall anstatt x im Zaehler, haben wir hier

x im Nenner.

Also, ich mag in meinen Gleichungen eigentlich kein x in meinen Nennern,

darum bringen wir doch x am besten raus aus dem Nenner

in den Zaehler oder zumindest ganz raus aus dem Nenner,

und das so schnell als moeglich.

Nun, eine Alternative, eine Zahl aus dem Nenner zu bekommen,

ist beide Seiten der Gleichung mit der Zahl, also in diesem Fall mit x, zu multiplizieren.

Wie du hier sehr schoen sehen kannst, koennen wir durch die Multiplikation

das x auf der linken Seite kuerzen,

und auf der rechten Seite bekommst du durch die Multiplikation 5 mal x, also 5x.

Also, das ergibt dann - mit den beiden x, die wir kuerzen koennen -

Drei ist gleich Fuenf x, also 3 = 5x.

Nun koennen wir das auch enstsprechend als Fuenf x ist gleich Drei, also 5x = 3 darstellen.

Und nun koennen wir hier auf zwei Arten weiter vorgehen und loesen.

Wir koennen entweder beide Seiten mit 1/5 multiplizieren, oder aber du kannst

genausogut durch 5 teilen.

Wenn du beide Seiten mit 1/5 multiplizierst

bekommst du auf der linken Seite x,

und auf der rechten Seite erhaelst du drei mal ein fuenftel, also 3 mal 1/5, das entspricht drei fuenftel, also 3/5.

Also, nochmal - was haben wir hier gerade gemacht?

Diese Aufgabe hier hat sich doch ganz schnell in eine

Level 2 Aufgabe, oder eigentlich eine Level 1 Aufgabe

umgewandelt, oder?

Das Einzige, was wir hier gemacht haben, war doch einfach nur beide Seiten

der Gleichung mit x multiplizieren, oder?

Und schon hatten wir das x aus dem Nenner draussen.

Ok, probieren wir das einfach nochmal an einer anderen Aufgabenstellung aus.

Ok, hier haben wir -- sagen wir mal, x plus zwei geteilt durch x plus 1

ist gleich, sagen wir mal, sieben.

In diesem Fall, anstatt x alleine im Nenner,

haben wir hier also x plus eins im Nenner.

Aber wir gehen hier nach dem gleichen Loesungsprinzip vor.

Um in diesem Fall x plus eins aus dem Nenner zu bekommen,

multiplizieren wir einfach beide Seiten der Gleichung mit x plus 1.

Also, weil wir das nun auf der linken Seite enstprechend durchgefuehrt haben,

machen wir das nun auch auf der rechten Seite, also sieben durch eins, also sieben Eintel

mal x plus eins durch eins.

Nun, zurueck zur linken Seite und wir sehen, dass sich das x wiederum schoen kuerzen laesst ,

und was nun uebrig bleibt ist x plus zwei.

Eigentlich ist das x plus zwei durch eins, aber wir koennen die eins im Nenner hier ignorieren.

Und das ist somit gleich sieben mal x plus 1.

Und das ist wiederum das gleiche wie x plus 2

Und, nicht vergessen, die sieben hier vor der Klammer bedeutet sieben mal den ganzen Inhalt der Klammer, also 7mal x plus 1.

Also muessen hier die Klammer enstprechend ausmultiplizieren

Und das wird dann zu sieben x plus 7, also 7x + 7.

Hier haben wir nun eine, ich glaube,

Level 3 lineare Gleichung.

Und das einzige was wir jetzt noch machen muessen,

ist alle x auf die eine Seite der Gleichung zu bekommen

und alle andere Zahlen auf die andere Seite

der Gleichung.

Also, ich bring jetzt zuerst einmal die x auf die linke Seite.

Also, hier dann am besten sieben x, also 7x, auf die linke Seite.

Un das machen wir am besten, indem wir sieben x, also 7x von beiden Seiten abziehen.

Minus 7x plus -- und hier minus 7x.

Auf der rechten Seite, kuerzen wir wieder die beiden 7x ,

und auf der linken Seite haben wir minus 7x plus x...

also, eigentlich ist das ja dann minus 6x plus 2 ist gleich

und hier rechts haben wir sieben uebrig.

Jetzt muessen wir uns nur noch um die zwei kuemmern.

Und die bekommen wir am besten aufgeloest, indem wir auf beiden Seiten 2 subtrahieren.

Und uns bleibt dann nur noch minus sechs x ist gleich fuenf, also -6x = 5.

Jetzt ist das ganze nur noch ein Level 1 Problem.

Wir muessen jetzt nur noch beide Seiten mit dem

umgekehrten Koeffizienten der linken Seite multiplizieren,

und der Koeffizient hier ist minus 6, also -6.

Also, wenn wir dann beide Seiten der Gleichung mit

minus ein sechstel malnehmen, also 1/6

dann haben wir auf der linken Seite minus ein sechstel multipliziert mit minus 6

ergibt eins

Also bekommen wir hier x ist gleich fuenf mal minus ein sechstel

also fuenf sechstel, 5/6

und das war's.

Und falls du das ueberpruefen moechtest, dann nimmst du einfach den Wert des x hier, also

x gleich minus fuenf sechstel, also x= -5/6, du nimmst also minus fuenf sechstel und setzt das anstelle des x in die original Gleichung

um auszuprobieren, ob du das ganze richtig gerechnet hast.

Ok, rechnen wir doch einfach noch eine weitere Aufgabe gemeinsam durch.

und uebrigens ich denke mir das hier gerade aus waehrend ich gleichzeitig das Video aufzeiche,

lass mich ueberlegen,

drei geteilt durch x plus fuenf ist gleich acht geteilt durch x plus 2

Ok, hier gehen wir wieder nach dem gleichen Prinzip vor.

Obwohl, hier diesem Fall haben wir zwei verschiedene Ausdruecke,

die wir beide aus dem Nenner rausbringen wollen.

Wir wollen x plus 5, also x+5 und wir wollen

dieses x plus 2, also x+2 aus dem Nenner rausbringen.

Ok, dann kuemmern wir uns doch zuerst um das x plus fuenf.

Also, genau so, wie schon in der vorherigen Uebung,

multiplizieren wir diese Gleichung mit x plus fuenf, also x+5.

Also, eigentlich x plus 5 durch eins.

und hier dann mal x plus 5 durch eins.

Zurueck auf der linken Seite sehen wir, dass sich die beiden x+5 gegenseitig aufheben, weil hier hier wieder kuerzen

und uns bleibt dann drei ist gleich, also 3 =

und hier jetzt das Ergebnis der Multiplikation, also acht mal x plus 5 durch x plus 2.

So, wenn wir jetzt dann den Zaehler ausmultiplizieren

also acht mal den ganzen Ausdruck x+5

also, ausmultipliziert ergibt das dann acht x plus vierzig, also 8x+40, geteilt durch x plus zwei, also x+2.

Und jetzt kuemmern wir uns um das zweite Problem, das x plus 2, also x+2, aus dem Nenner zu bringen.

Und das machen wir einfach auf die gleiche Art und Weise.

Wir multiplizieren wieder beide Seiten der Gleichung hier

mit x plus 2 durch eins.

Hier x plus zwei, also x+2

wir koennten hier einfach sagen, dass wir beide

Seiten mit x plus zwei, also x+2 malnehmen.

Das eine hier ist eigentlich unnoetig.

Und auf der linken Seite bekommen wir drei x plus sechs, also 3x+6.

Nicht vergessen, wir muessen hier immer den ganzen Term

also den Ausdruck in der Klammer, ausmultiplizieren, also hier mit drei malnehmen.

x plus zwei.

Und auf der rechten Seite haben wir,

hier haben wir dann x plus 2, also x+2 einmal im Zaehler und einmal im Nenner, die wir wieder schoen kuerzen koennen.

Und wir haben dann acht x plus vierzig, also 8x+40 uebrig.

Und das ist nun dann wieder ein Level 3 Problem.

Also, wenn wir dann auf beiden Seiten acht x subtrahieren, also hier minus acht x, also 8x

jetzt hab ich hier keinen Platz mehr zum Weiterrechnen

minus acht x, also 8x

dann heben sich die plus acht x und die minus acht x auf der rechten Seite auf

und auf der linken Seite haben wir dann minus fuenf x plus sechs, also -5x+6 ist gleich

vierzig, also 40, auf der rechten Seite.

Jetzt subtrahieren wir einfach sechs, also 6, auf beiden Seiten

lass mich das hier kurz aufschreiben

minus sechs plus, also -6 +

und, ich hoffe, dass das jetzt nicht zu verwirrend fuer Euch da draussen ist,

ich schreib' jetzt mal hier oben weiter

also, wenn ich jetzt hier minus sechs, also -6 auf beiden Seiten abziehe, dann habe ich

auf der linken Seite fuenf x, also 5x uebrig und

auf der rechten Seite haben wir vierunddreissig, also 34.

und wir haben somit ein Level 1 Problem.

Multiplizieren wir jetzt beide Seiten mit minus ein fuenftel, also -1/5

minus ein fuenftel, also -1/5

dann haben wir auf der linken Seite x

und auf der rechten Seite haben wir minus vierunddreissig fuenftel, also 34/5

Und, es sei denn ich hab mich hier verrechnet, das ist, glaube ich, das ist das richtige Ergebnis.

Und ich glaube, wenn du verstanden hast, was wir hier in den letzten Minuten gemeinsam gerechnet haben und wie wir zu den jeweiligen Ergebnissen gekommen sind,

dann hast du genug Wissen aufgebaut, um selbst mit Level 4 linearen Gleichungen anzufangen.

Viel Spass dabei.