1 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 . 2 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 . 3 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 . 4 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 . 5 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Herzlich Willkommen bei dem Thema Lineare Gleichungen Level 4. 6 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Ok, am besten fangen wir gleich mit einigen Problemstellungen an. 7 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Also. 8 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Nehmen wir folgende Situation an -- lass mich Dir ein paar 9 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Probleme kurz darstellen -- nehmen wir an, 3 geteilt durch x ist gleich, sagen wir mal, 5. 10 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 So, und was wir jetzt tun werden - denn das Problem ist ein bisschen ungewoehnlicher als 11 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 die Aufgabenstellungen, die wir in den Lektionen vorher betrachtet hatten, 12 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Ungewoehnlich, weil in diesem Fall anstatt x im Zaehler, haben wir hier 13 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 x im Nenner. 14 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Also, ich mag in meinen Gleichungen eigentlich kein x in meinen Nennern, 15 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 darum bringen wir doch x am besten raus aus dem Nenner 16 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 in den Zaehler oder zumindest ganz raus aus dem Nenner, 17 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 und das so schnell als moeglich. 18 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Nun, eine Alternative, eine Zahl aus dem Nenner zu bekommen, 19 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 ist beide Seiten der Gleichung mit der Zahl, also in diesem Fall mit x, zu multiplizieren. 20 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Wie du hier sehr schoen sehen kannst, koennen wir durch die Multiplikation 21 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 das x auf der linken Seite kuerzen, 22 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 und auf der rechten Seite bekommst du durch die Multiplikation 5 mal x, also 5x. 23 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Also, das ergibt dann - mit den beiden x, die wir kuerzen koennen - 24 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Drei ist gleich Fuenf x, also 3 = 5x. 25 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Nun koennen wir das auch enstsprechend als Fuenf x ist gleich Drei, also 5x = 3 darstellen. 26 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Und nun koennen wir hier auf zwei Arten weiter vorgehen und loesen. 27 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Wir koennen entweder beide Seiten mit 1/5 multiplizieren, oder aber du kannst 28 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 genausogut durch 5 teilen. 29 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Wenn du beide Seiten mit 1/5 multiplizierst 30 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 bekommst du auf der linken Seite x, 31 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 und auf der rechten Seite erhaelst du drei mal ein fuenftel, also 3 mal 1/5, das entspricht drei fuenftel, also 3/5. 32 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Also, nochmal - was haben wir hier gerade gemacht? 33 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Diese Aufgabe hier hat sich doch ganz schnell in eine 34 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Level 2 Aufgabe, oder eigentlich eine Level 1 Aufgabe 35 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 umgewandelt, oder? 36 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Das Einzige, was wir hier gemacht haben, war doch einfach nur beide Seiten 37 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 der Gleichung mit x multiplizieren, oder? 38 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Und schon hatten wir das x aus dem Nenner draussen. 39 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Ok, probieren wir das einfach nochmal an einer anderen Aufgabenstellung aus. 40 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Ok, hier haben wir -- sagen wir mal, x plus zwei geteilt durch x plus 1 41 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 ist gleich, sagen wir mal, sieben. 42 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 In diesem Fall, anstatt x alleine im Nenner, 43 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 haben wir hier also x plus eins im Nenner. 44 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Aber wir gehen hier nach dem gleichen Loesungsprinzip vor. 45 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Um in diesem Fall x plus eins aus dem Nenner zu bekommen, 46 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 multiplizieren wir einfach beide Seiten der Gleichung mit x plus 1. 47 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Also, weil wir das nun auf der linken Seite enstprechend durchgefuehrt haben, 48 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 machen wir das nun auch auf der rechten Seite, also sieben durch eins, also sieben Eintel 49 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 mal x plus eins durch eins. 50 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Nun, zurueck zur linken Seite und wir sehen, dass sich das x wiederum schoen kuerzen laesst , 51 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 und was nun uebrig bleibt ist x plus zwei. 52 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Eigentlich ist das x plus zwei durch eins, aber wir koennen die eins im Nenner hier ignorieren. 53 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Und das ist somit gleich sieben mal x plus 1. 54 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Und das ist wiederum das gleiche wie x plus 2 55 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Und, nicht vergessen, die sieben hier vor der Klammer bedeutet sieben mal den ganzen Inhalt der Klammer, also 7mal x plus 1. 56 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Also muessen hier die Klammer enstprechend ausmultiplizieren 57 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Und das wird dann zu sieben x plus 7, also 7x + 7. 58 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Hier haben wir nun eine, ich glaube, 59 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Level 3 lineare Gleichung. 60 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Und das einzige was wir jetzt noch machen muessen, 61 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 ist alle x auf die eine Seite der Gleichung zu bekommen 62 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 und alle andere Zahlen auf die andere Seite 63 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 der Gleichung. 64 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Also, ich bring jetzt zuerst einmal die x auf die linke Seite. 65 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Also, hier dann am besten sieben x, also 7x, auf die linke Seite. 66 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Un das machen wir am besten, indem wir sieben x, also 7x von beiden Seiten abziehen. 67 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Minus 7x plus -- und hier minus 7x. 68 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Auf der rechten Seite, kuerzen wir wieder die beiden 7x , 69 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 und auf der linken Seite haben wir minus 7x plus x... 70 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 also, eigentlich ist das ja dann minus 6x plus 2 ist gleich 71 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 und hier rechts haben wir sieben uebrig. 72 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Jetzt muessen wir uns nur noch um die zwei kuemmern. 73 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Und die bekommen wir am besten aufgeloest, indem wir auf beiden Seiten 2 subtrahieren. 74 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Und uns bleibt dann nur noch minus sechs x ist gleich fuenf, also -6x = 5. 75 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Jetzt ist das ganze nur noch ein Level 1 Problem. 76 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Wir muessen jetzt nur noch beide Seiten mit dem 77 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 umgekehrten Koeffizienten der linken Seite multiplizieren, 78 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 und der Koeffizient hier ist minus 6, also -6. 79 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Also, wenn wir dann beide Seiten der Gleichung mit 80 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 minus ein sechstel malnehmen, also 1/6 81 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 dann haben wir auf der linken Seite minus ein sechstel multipliziert mit minus 6 82 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 ergibt eins 83 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Also bekommen wir hier x ist gleich fuenf mal minus ein sechstel 84 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 also fuenf sechstel, 5/6 85 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 und das war's. 86 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Und falls du das ueberpruefen moechtest, dann nimmst du einfach den Wert des x hier, also 87 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 x gleich minus fuenf sechstel, also x= -5/6, du nimmst also minus fuenf sechstel und setzt das anstelle des x in die original Gleichung 88 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 um auszuprobieren, ob du das ganze richtig gerechnet hast. 89 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Ok, rechnen wir doch einfach noch eine weitere Aufgabe gemeinsam durch. 90 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 und uebrigens ich denke mir das hier gerade aus waehrend ich gleichzeitig das Video aufzeiche, 91 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 lass mich ueberlegen, 92 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 drei geteilt durch x plus fuenf ist gleich acht geteilt durch x plus 2 93 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Ok, hier gehen wir wieder nach dem gleichen Prinzip vor. 94 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Obwohl, hier diesem Fall haben wir zwei verschiedene Ausdruecke, 95 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 die wir beide aus dem Nenner rausbringen wollen. 96 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Wir wollen x plus 5, also x+5 und wir wollen 97 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 dieses x plus 2, also x+2 aus dem Nenner rausbringen. 98 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Ok, dann kuemmern wir uns doch zuerst um das x plus fuenf. 99 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Also, genau so, wie schon in der vorherigen Uebung, 100 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 multiplizieren wir diese Gleichung mit x plus fuenf, also x+5. 101 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Also, eigentlich x plus 5 durch eins. 102 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 und hier dann mal x plus 5 durch eins. 103 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Zurueck auf der linken Seite sehen wir, dass sich die beiden x+5 gegenseitig aufheben, weil hier hier wieder kuerzen 104 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 und uns bleibt dann drei ist gleich, also 3 = 105 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 und hier jetzt das Ergebnis der Multiplikation, also acht mal x plus 5 durch x plus 2. 106 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 So, wenn wir jetzt dann den Zaehler ausmultiplizieren 107 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 also acht mal den ganzen Ausdruck x+5 108 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 also, ausmultipliziert ergibt das dann acht x plus vierzig, also 8x+40, geteilt durch x plus zwei, also x+2. 109 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Und jetzt kuemmern wir uns um das zweite Problem, das x plus 2, also x+2, aus dem Nenner zu bringen. 110 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Und das machen wir einfach auf die gleiche Art und Weise. 111 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Wir multiplizieren wieder beide Seiten der Gleichung hier 112 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 mit x plus 2 durch eins. 113 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Hier x plus zwei, also x+2 114 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 wir koennten hier einfach sagen, dass wir beide 115 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Seiten mit x plus zwei, also x+2 malnehmen. 116 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Das eine hier ist eigentlich unnoetig. 117 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Und auf der linken Seite bekommen wir drei x plus sechs, also 3x+6. 118 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Nicht vergessen, wir muessen hier immer den ganzen Term 119 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 also den Ausdruck in der Klammer, ausmultiplizieren, also hier mit drei malnehmen. 120 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 x plus zwei. 121 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Und auf der rechten Seite haben wir, 122 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 hier haben wir dann x plus 2, also x+2 einmal im Zaehler und einmal im Nenner, die wir wieder schoen kuerzen koennen. 123 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Und wir haben dann acht x plus vierzig, also 8x+40 uebrig. 124 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Und das ist nun dann wieder ein Level 3 Problem. 125 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Also, wenn wir dann auf beiden Seiten acht x subtrahieren, also hier minus acht x, also 8x 126 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 jetzt hab ich hier keinen Platz mehr zum Weiterrechnen 127 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 minus acht x, also 8x 128 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 dann heben sich die plus acht x und die minus acht x auf der rechten Seite auf 129 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 und auf der linken Seite haben wir dann minus fuenf x plus sechs, also -5x+6 ist gleich 130 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 vierzig, also 40, auf der rechten Seite. 131 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Jetzt subtrahieren wir einfach sechs, also 6, auf beiden Seiten 132 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 lass mich das hier kurz aufschreiben 133 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 minus sechs plus, also -6 + 134 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 und, ich hoffe, dass das jetzt nicht zu verwirrend fuer Euch da draussen ist, 135 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 ich schreib' jetzt mal hier oben weiter 136 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 also, wenn ich jetzt hier minus sechs, also -6 auf beiden Seiten abziehe, dann habe ich 137 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 auf der linken Seite fuenf x, also 5x uebrig und 138 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 auf der rechten Seite haben wir vierunddreissig, also 34. 139 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 und wir haben somit ein Level 1 Problem. 140 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Multiplizieren wir jetzt beide Seiten mit minus ein fuenftel, also -1/5 141 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 minus ein fuenftel, also -1/5 142 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 dann haben wir auf der linken Seite x 143 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 und auf der rechten Seite haben wir minus vierunddreissig fuenftel, also 34/5 144 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Und, es sei denn ich hab mich hier verrechnet, das ist, glaube ich, das ist das richtige Ergebnis. 145 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Und ich glaube, wenn du verstanden hast, was wir hier in den letzten Minuten gemeinsam gerechnet haben und wie wir zu den jeweiligen Ergebnissen gekommen sind, 146 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 dann hast du genug Wissen aufgebaut, um selbst mit Level 4 linearen Gleichungen anzufangen. 147 00:00:00,000 --> 00:00:00,000 Viel Spass dabei.