WEBVTT 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 . 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 . 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 . 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 . 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Herzlich Willkommen bei dem Thema Lineare Gleichungen Level 4. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Ok, am besten fangen wir gleich mit einigen Problemstellungen an. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Also. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Nehmen wir folgende Situation an -- lass mich Dir ein paar 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Probleme kurz darstellen -- nehmen wir an, 3 geteilt durch x ist gleich, sagen wir mal, 5. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 So, und was wir jetzt tun werden - denn das Problem ist ein bisschen ungewoehnlicher als 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 die Aufgabenstellungen, die wir in den Lektionen vorher betrachtet hatten, 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Ungewoehnlich, weil in diesem Fall anstatt x im Zaehler, haben wir hier 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 x im Nenner. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Also, ich mag in meinen Gleichungen eigentlich kein x in meinen Nennern, 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 darum bringen wir doch x am besten raus aus dem Nenner 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 in den Zaehler oder zumindest ganz raus aus dem Nenner, 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 und das so schnell als moeglich. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Nun, eine Alternative, eine Zahl aus dem Nenner zu bekommen, 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 ist beide Seiten der Gleichung mit der Zahl, also in diesem Fall mit x, zu multiplizieren. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Wie du hier sehr schoen sehen kannst, koennen wir durch die Multiplikation 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 das x auf der linken Seite kuerzen, 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 und auf der rechten Seite bekommst du durch die Multiplikation 5 mal x, also 5x. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Also, das ergibt dann - mit den beiden x, die wir kuerzen koennen - 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Drei ist gleich Fuenf x, also 3 = 5x. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Nun koennen wir das auch enstsprechend als Fuenf x ist gleich Drei, also 5x = 3 darstellen. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Und nun koennen wir hier auf zwei Arten weiter vorgehen und loesen. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Wir koennen entweder beide Seiten mit 1/5 multiplizieren, oder aber du kannst 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 genausogut durch 5 teilen. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Wenn du beide Seiten mit 1/5 multiplizierst 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 bekommst du auf der linken Seite x, 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 und auf der rechten Seite erhaelst du drei mal ein fuenftel, also 3 mal 1/5, das entspricht drei fuenftel, also 3/5. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Also, nochmal - was haben wir hier gerade gemacht? 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Diese Aufgabe hier hat sich doch ganz schnell in eine 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Level 2 Aufgabe, oder eigentlich eine Level 1 Aufgabe 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 umgewandelt, oder? 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Das Einzige, was wir hier gemacht haben, war doch einfach nur beide Seiten 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 der Gleichung mit x multiplizieren, oder? 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Und schon hatten wir das x aus dem Nenner draussen. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Ok, probieren wir das einfach nochmal an einer anderen Aufgabenstellung aus. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Ok, hier haben wir -- sagen wir mal, x plus zwei geteilt durch x plus 1 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 ist gleich, sagen wir mal, sieben. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 In diesem Fall, anstatt x alleine im Nenner, 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 haben wir hier also x plus eins im Nenner. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Aber wir gehen hier nach dem gleichen Loesungsprinzip vor. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Um in diesem Fall x plus eins aus dem Nenner zu bekommen, 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 multiplizieren wir einfach beide Seiten der Gleichung mit x plus 1. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Also, weil wir das nun auf der linken Seite enstprechend durchgefuehrt haben, 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 machen wir das nun auch auf der rechten Seite, also sieben durch eins, also sieben Eintel 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 mal x plus eins durch eins. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Nun, zurueck zur linken Seite und wir sehen, dass sich das x wiederum schoen kuerzen laesst , 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 und was nun uebrig bleibt ist x plus zwei. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Eigentlich ist das x plus zwei durch eins, aber wir koennen die eins im Nenner hier ignorieren. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Und das ist somit gleich sieben mal x plus 1. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Und das ist wiederum das gleiche wie x plus 2 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Und, nicht vergessen, die sieben hier vor der Klammer bedeutet sieben mal den ganzen Inhalt der Klammer, also 7mal x plus 1. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Also muessen hier die Klammer enstprechend ausmultiplizieren 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Und das wird dann zu sieben x plus 7, also 7x + 7. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Hier haben wir nun eine, ich glaube, 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Level 3 lineare Gleichung. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Und das einzige was wir jetzt noch machen muessen, 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 ist alle x auf die eine Seite der Gleichung zu bekommen 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 und alle andere Zahlen auf die andere Seite 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 der Gleichung. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Also, ich bring jetzt zuerst einmal die x auf die linke Seite. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Also, hier dann am besten sieben x, also 7x, auf die linke Seite. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Un das machen wir am besten, indem wir sieben x, also 7x von beiden Seiten abziehen. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Minus 7x plus -- und hier minus 7x. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Auf der rechten Seite, kuerzen wir wieder die beiden 7x , 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 und auf der linken Seite haben wir minus 7x plus x... 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 also, eigentlich ist das ja dann minus 6x plus 2 ist gleich 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 und hier rechts haben wir sieben uebrig. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Jetzt muessen wir uns nur noch um die zwei kuemmern. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Und die bekommen wir am besten aufgeloest, indem wir auf beiden Seiten 2 subtrahieren. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Und uns bleibt dann nur noch minus sechs x ist gleich fuenf, also -6x = 5. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Jetzt ist das ganze nur noch ein Level 1 Problem. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Wir muessen jetzt nur noch beide Seiten mit dem 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 umgekehrten Koeffizienten der linken Seite multiplizieren, 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 und der Koeffizient hier ist minus 6, also -6. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Also, wenn wir dann beide Seiten der Gleichung mit 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 minus ein sechstel malnehmen, also 1/6 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 dann haben wir auf der linken Seite minus ein sechstel multipliziert mit minus 6 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 ergibt eins 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Also bekommen wir hier x ist gleich fuenf mal minus ein sechstel 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 also fuenf sechstel, 5/6 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 und das war's. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Und falls du das ueberpruefen moechtest, dann nimmst du einfach den Wert des x hier, also 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 x gleich minus fuenf sechstel, also x= -5/6, du nimmst also minus fuenf sechstel und setzt das anstelle des x in die original Gleichung 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 um auszuprobieren, ob du das ganze richtig gerechnet hast. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Ok, rechnen wir doch einfach noch eine weitere Aufgabe gemeinsam durch. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 und uebrigens ich denke mir das hier gerade aus waehrend ich gleichzeitig das Video aufzeiche, 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 lass mich ueberlegen, 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 drei geteilt durch x plus fuenf ist gleich acht geteilt durch x plus 2 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Ok, hier gehen wir wieder nach dem gleichen Prinzip vor. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Obwohl, hier diesem Fall haben wir zwei verschiedene Ausdruecke, 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 die wir beide aus dem Nenner rausbringen wollen. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Wir wollen x plus 5, also x+5 und wir wollen 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 dieses x plus 2, also x+2 aus dem Nenner rausbringen. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Ok, dann kuemmern wir uns doch zuerst um das x plus fuenf. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Also, genau so, wie schon in der vorherigen Uebung, 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 multiplizieren wir diese Gleichung mit x plus fuenf, also x+5. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Also, eigentlich x plus 5 durch eins. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 und hier dann mal x plus 5 durch eins. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Zurueck auf der linken Seite sehen wir, dass sich die beiden x+5 gegenseitig aufheben, weil hier hier wieder kuerzen 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 und uns bleibt dann drei ist gleich, also 3 = 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 und hier jetzt das Ergebnis der Multiplikation, also acht mal x plus 5 durch x plus 2. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 So, wenn wir jetzt dann den Zaehler ausmultiplizieren 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 also acht mal den ganzen Ausdruck x+5 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 also, ausmultipliziert ergibt das dann acht x plus vierzig, also 8x+40, geteilt durch x plus zwei, also x+2. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Und jetzt kuemmern wir uns um das zweite Problem, das x plus 2, also x+2, aus dem Nenner zu bringen. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Und das machen wir einfach auf die gleiche Art und Weise. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Wir multiplizieren wieder beide Seiten der Gleichung hier 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 mit x plus 2 durch eins. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Hier x plus zwei, also x+2 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 wir koennten hier einfach sagen, dass wir beide 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Seiten mit x plus zwei, also x+2 malnehmen. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Das eine hier ist eigentlich unnoetig. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Und auf der linken Seite bekommen wir drei x plus sechs, also 3x+6. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Nicht vergessen, wir muessen hier immer den ganzen Term 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 also den Ausdruck in der Klammer, ausmultiplizieren, also hier mit drei malnehmen. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 x plus zwei. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Und auf der rechten Seite haben wir, 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 hier haben wir dann x plus 2, also x+2 einmal im Zaehler und einmal im Nenner, die wir wieder schoen kuerzen koennen. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Und wir haben dann acht x plus vierzig, also 8x+40 uebrig. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Und das ist nun dann wieder ein Level 3 Problem. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Also, wenn wir dann auf beiden Seiten acht x subtrahieren, also hier minus acht x, also 8x 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 jetzt hab ich hier keinen Platz mehr zum Weiterrechnen 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 minus acht x, also 8x 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 dann heben sich die plus acht x und die minus acht x auf der rechten Seite auf 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 und auf der linken Seite haben wir dann minus fuenf x plus sechs, also -5x+6 ist gleich 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 vierzig, also 40, auf der rechten Seite. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Jetzt subtrahieren wir einfach sechs, also 6, auf beiden Seiten 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 lass mich das hier kurz aufschreiben 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 minus sechs plus, also -6 + 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 und, ich hoffe, dass das jetzt nicht zu verwirrend fuer Euch da draussen ist, 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 ich schreib' jetzt mal hier oben weiter 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 also, wenn ich jetzt hier minus sechs, also -6 auf beiden Seiten abziehe, dann habe ich 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 auf der linken Seite fuenf x, also 5x uebrig und 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 auf der rechten Seite haben wir vierunddreissig, also 34. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 und wir haben somit ein Level 1 Problem. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Multiplizieren wir jetzt beide Seiten mit minus ein fuenftel, also -1/5 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 minus ein fuenftel, also -1/5 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 dann haben wir auf der linken Seite x 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 und auf der rechten Seite haben wir minus vierunddreissig fuenftel, also 34/5 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Und, es sei denn ich hab mich hier verrechnet, das ist, glaube ich, das ist das richtige Ergebnis. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Und ich glaube, wenn du verstanden hast, was wir hier in den letzten Minuten gemeinsam gerechnet haben und wie wir zu den jeweiligen Ergebnissen gekommen sind, 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 dann hast du genug Wissen aufgebaut, um selbst mit Level 4 linearen Gleichungen anzufangen. 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 Viel Spass dabei.