ck12.org โจทย์การกระจายตัวแบบปกติ: กฎเชิงประจักษ์

กฏเชิงประจักษ์ (หรือกฏ 68-95-99.7) ในการประมาณค่าความน่าจะเป็นของการกระจายตัวแบบปกติ

ลองทำโจทย์อีกข้อจากเรื่องการกระจายตัว

แบบปกติในหนังสือสถิติ AP ของ ck12.org

และผมใช้อันนี้เพราะมันฟรี และ

เป็นหนังสือที่ดีทีเดียว

ปัญหาคือว่า, ผมว่า, เป็นแบบฝึกหัดที่ดีสำหรับเรา

ลองดูกัน, ข้อ 3

คุณสามารถไปที่เว็บไซต์ และผมว่า

คุณสามารถดาวน์โหลดหนังสือได้

สมมุติว่าค่าเฉลี่ยน้ำหนักของเด็กหญิงอายุ 1 ขวบ ในอเมริกา

กระจายตัวแบบปกติ -- หรือกระจายตัว

แบบปกติด้วยค่าเฉลี่ยประมาณ 9.5 กรัม

มันน่าจะเป็นกิโลกรัมนะ

ผมมีลูกชายอายุ 10 เดือน และเขาหนัก 20 ปอนด์

ซึ่งประมาณ 9 กิโลกรัม ไม่ใช่ 9.5 กรัม

9.5 กรัมนี่ไม่ใช่แล้ว

นี่น่าจะเป็นน้ำหนักหนูหรืออะไรสักอย่าง

นี่ต้องเป็นกิโลกรัม

แต่ช่างเถอะ, มันคือประมาณ 9.5 กิโลกรัม

โดยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่าประมาณ 1.1 กรัม

แล้วค่าเฉลี่ยเท่ากับ 9.5 กิโลกรัม ผมว่านะ และ

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1.1 กรัม

ถ้าไม่ใช่เครื่องคิดเลข -- นี่เป็นคำใบ้ที่น่าสนใจ --

จงประมาณจำนวนของเด็กหญิงอายุ 1 ขวบในอเมริกาเป็นเปอร์เซ็นต์

ที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้

เวลาเขาบอกว่า ให้กะค่าโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข นั่นเป็น

คำใบ้ หรือวิธีการที่บอกเราให้ใช้

กฏเชิงประจักษ์ (empirical rule)

กฎเชิงประจักษ์บางครั้งเรียกว่ากฎ 68-95-99.7

และถ้าคุณจำนี่เป็นชื่อกฎ

คุณก็ต้องจำกฎได้

สิ่งที่มันบอกเราว่าคือว่า ถ้าเรามีการกระจายตัวแบบปกติ --

ผมจะทบทวนตรงนี้ก่อนที่เราจะไป

ยังปัญหานี้

ถ้าเรามีการกระจายตัวแบบปกติ -- ขอผมเขียน

การกระจายตัวแบบปกตินะ

มันจะเป็นแบบนั้น

นั่นคือการกระจายตัวแบบปกติ

ผมไม่ได้วาดแบบโดยสมบูรณ์แบบ แต่คุณคงเข้าใจ

มันควรสมมาตร

นี่คือค่าเฉลี่ยของเราตรงนี้

นั่นคือค่าเฉลี่ยของเรา

ถ้าเราอยู่เหนือค่าเฉลี่่ย 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และ

ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย 1 หน่วยส่วนเบี่ยงบนมาตรฐาน, นี่ก็คือ ค่าเฉลี่ย บวก 1

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

นี่คือค่าเฉลี่ยนเรา ลบ 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ความน่าจะเป็นที่จะได้ผล ถ้าเรายุ่งกับการกระจายตัว

แบบปกติโดยสมบูรณ์, ค่านั้นอยู่ระหว่าง ค่าเฉลี่ยลบ

1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และค่าเฉลี่ยบวก 1 ส่วนเบี่ยงเบน

มาตรฐาน -- นั่นก็คือพื้นที่นี้ -- มันจะเป็น,

คุณคงเดาได้, คือ 68%

มีโอกาส 68% ที่คุณจะได้ค่าอยู่ภายใน 1 ส่วนเบี่ยงเบน

มาตรฐานวัดจากค่าเฉลี่ย

ไม่ว่าจะอยู่เหนือหรือใต้หรือระหว่าง

หนึ่งช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ทีนี้, ถ้าเราพูดถึง 2 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐานรอบ

ค่าเฉลี่ย -- ถ้าเราลองไปอีก 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน, เราลงไป

ยังอีก 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ในทิศนั้นและ

เหนือค่าเฉลี่ยไปอีก 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน -- และเราถาม

ตัวเองว่าความน่าจะเป็นในการพบ

ค่าอยู่ระหว่างสองช่วงนั้น, มัน

ก็คือ, คุณคงเดาได้ว่า, คือ 95%

แลนั่นรวมพื้นที่ตรงกลางนี้ด้วย

68% นี้คือส่วนหนึ่งของ 95% นี้

ผมว่าคุณคงรู้ว่าจะเป็นอย่างไรต่อ

ถ้าคุณไปที่ 3 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐานใต้ค่าเฉลี่ย และ

เหนือค่าเฉลี่ย, นั่นคือกฎเชิงประจักษ์หรือกฎ 68-95-99.7

มันบอกเราว่ามีโอกาส 99.7% ที่ได้จะผลจาก

กระจายตัวแบบปกติที่อยู่ในช่วง 3 เท่าของค่าเบี่ยงเบน

มาตรฐานวัดจากค่าเฉลี่ย

คือมากกว่า ค่าเฉลี่ยลบ 3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

และน้อยกว่า ค่าเฉลี่ยบวก 3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

นั่นคือสิ่งที่กฎเชิงประจักษ์บอกเรา

ทีนี้ลองดูว่าเราจะใช้กับปัญหานี้ได้หรือไม่

เขาบอกค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมาให้เรา

ขอผมวาดมันนะ

ขอผมวาดแกนก่อนให้ดีที่สุด

นั่นคือแกนของผม

ขอผมวาดเส้นโค้งระฆัง

นั่นคือเส้นโค้งระฆังที่ดีที่สุด ที่คุณคาดว่า

จะได้จากคนวาดมือเปล่าแล้ว

ค่าเฉลี่ยตรงนี้คือ 9 -- และนี่ควรสมมาตร

ความสูงนี่ควรเท่ากับความสูงตรงนี้

ผมว่าคุณคงเข้าใจ

ผมไม่ใช่คอมพิวเตอร์

9.5 คือค่าเฉลี่ย

ผมจะไม่เขียนหน่วยนะ

มันเป็นกิโลกรัมหมด

1 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเหนือค่าเฉลี่ย เราก็บวก 1.1 เข้าไป

เพราะเขาบอกเราว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 1.1

มันจะเป็น 10.6

ถ้าเราไป -- ขอผมวาดเส้นประเล็กๆ ตรงนี้นะ -- 1

ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐานใต้ค่าเฉลี่ย เราก็ลบ 1.1

จาก 9.5 แล้วมันจะเป็น 8.4

ถ้าเราไปยัง 2 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐานเหนือค่าเฉลี่ย

เราก็บวกค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานไปอีกทีตรงนี้

จริงไหม?

เราไปอีก 1 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน, 2

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

นั่นพาเรามาที่ 11.7

และถ้าเราไปที่ 3 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เราก็บวก 1.1 อีกที

นั่นพาเรามาที่ 12.8

ทำแบบเดียวกันอีกด้านหนึ่ง, 1 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ใต้ค่าเฉลี่ยคือ 8.4

2 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐานใต้ค่าเฉลี่ย -- ลบ 1.1

อีกที -- กลายเป็น 7.3

แล้ว 3 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐานใต้ค่าเฉลี่ย --

เราก็เขียนไว้ตรงนี้ -- มันคือ 6.2 กิโลกรัม

นั่นก็คือการตั้งโจทย์ตรงนี้

แล้วความน่าจะเป็นที่เราพบเด็กหญิงอายุ 1 ขวบ

ในอเมริกา ที่หนักน้อยกว่า 8.4 กิโลกรัม

หรือบางทีผมควรใช้คำว่ามวลน้อยกว่า

8.4 กิโลกรัม

ถ้าเราดูตรงนี้, ความน่าจะเป็นที่จะพบเด็ก

หรือเด็กผู้หญิงอายุ 1 ขวบ ที่มีมวลหรือน้ำหนัก

น้อยกว่า 8.4 นั่นคือพื้นที่

ตรงนี้

ผมบอกว่า มวล เพราะกิโลกรัมคือหน่วยของมวล

หลายคนใช้มันกับน้ำหนักเช่นกัน

นั่นก็คือพื้นที่นั่นตรงนั้น

แล้วเราจะหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งนี้

โดยใช้กฎเชิงประจักษ์ได้อย่างไร?

ทีนี้, เรารู้ว่าพื้นที่นี้คืออะไร

เรารู้ว่าพื้นที่ระหว่างลบ 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

กับบวก 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นเท่าไหร่

เรารู้ว่ามันคือ 68%

และถ้ามันคือ 68% นั่นหมายความว่า

ส่วนที่ไม่ได้อยู่ตรงกลางคือ 32%

เพราะพื้นทีใต้การกระจายตัวแบบปกติทั้งหมด

คือ 100 หรือ 100% หรือ 1, ขึ้นอยู่กับวิธีที่คุณคิด

เพราะคุณไม่มีทาง -- ความเป็นไปได้ทั้งหมด

รวมกันได้แค่ 1 เท่านั้น

คุณไม่มีทางได้มากกว่า 100% ตรงนี้

ดังนั้นถ้าคุณรวมขานี้กับขานี้ -- แล้วนี่บวกค่านั้น

จะเท่ากับส่วนที่เลหือ

งั้น 100 ลบ 68 นั่นคือ 32

32%

32% คือถ้าคุณบวกขาซ้ายนี่กับ

ขาขวานี่ตรงนี้

และนี่คือการกระจายตัวแบบปกติโดยสมบูรณ์

เขาบอกเราว่ามันกระจายตัวแบบปกติ

มันจะสมมาตรพอดี

แล้วถ้าด้านนี่ กับด้านนั้นรวมกันได้ 32 แต่ทั้งคู่

สมมาตร, หมายความว่าพวกมันมีพื้นที่เท่ากันเป๊ะ, แล้ว

ด้านนี่ตรงนี้ -- ผมจะใช้สีชมพูนะ -- ด้านนี่ตรงนี้ --

มันออกมาเป็นสีม่วงมากกว่า -- จะเป็น 16%

แล้วด้านนี่ตรงนี้จะเป็น 16%

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ได้ผลมากกว่า 1 ส่วนเบี่ยงเบน

มาตรฐานเหนือค่เาฉลี่ย -- นั่นคือด้านขวามือนี่

, จะเป็น 16%

หรือความน่าจะเป็นที่ได้ผลน้อยกว่า 1 ส่วนเบี่ยงเบน

มาตรฐานใต้ค่าเฉลี่ย, นั่นคือตรงนี้, 16%

แล้วเขาอยากรู้ความน่าจะเป็นที่ได้

เด็กอายุ 1 ปีหนักน้อยว่า 8.4 กิโลกรัม

น้อยกว่า 8.4 กิโลกรัม คือพื้นที่นี่ตรงนี้

และนั่นคือ 16%

มันก็คือ 16% จากข้อ a

ลองดูข้อ b กัน: ระหว่าง 7.9 กับ 11.7 จุด 7 กิโลกรัม

ระหว่าง 7.3 -- นั่นคือตรงนั้น

มันคือ 2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานใต้ค่าเฉลี่ย -- และ 11.7, หนึ่ง,

สองส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเหนือค่าเฉลี่ย

มันก็เหมือนถามเราว่า ความน่าจะเป็นที่ได้ผล

อยู่ระหว่าง 2 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐานวัดจาก

ค่เาฉลี่ยเป็นเท่าไหร่, จริงไหม?

นี่คือค่าเฉลี่ยตรงนี้

นี่คืออยู่ใต้ 2 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐาน

นี่คืออยู่เหนือ 2 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ทีนี้ มันก็ตรงไปตรงมา

กฎเชิงประจักษ์บอกเราว่า ระหว่าง 2 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐาน

คุณมีโอกาส 95% ที่จะได้ผลอยู่ภายใน

2 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐาน

กฎเชิงประจักษ์ให้คำตอบเราได้เลย

แล้วสุดท้าย, ข้อ c: ความน่าจะเป็นที่ได้

เด็กผู้หญิงอเมริกัน 1 ขวบ หนักกว่า 12.8 กิลโลกรัม

12.8 กิโลกรัม คือมากกว่าค่าเฉลี่ยอยู่

3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เราอยากรู้ว่าความน่าจะเป็นที่จะได้ผล

เหนือค่าเฉลี่ยอยู่ 3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

นั่นก็คือพื้นที่นี่ตรงนี้ ที่ผมวาดด้วยสีส้ม

บางทีผมควรใช้สีอื่น เพื่อให้มัน

ต่างกันหน่อย

มันเป็นหางยาวมากตรงนี้, เป็นพื้นที่เล็กๆ นี่

แล้วความน่าจะเป็นนั้นเป็นเท่าไหร่?

ลองกลับมาดูที่กฎเชิงประจักษ์ของเรา

เรารู้ว่า ความน่าจะเป็น -- เรารู้พื้นที่นี้

เรารู้พื้นที่ระวห่าง ลบ 3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน กับ

บวก 3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เรารู้ค่านี้ - เนื่องจากนี่คือส่วนสุดท้าย ข้อสุดท้าย

ผมสามารถระบายสีทั้งหมดนี่ได้ -- เรารู้ว่าพื้นที่นี่ตรงนี้

ระหว่างลบ 3 กับ บวก 3, นี่คือ 99.7%

ผลส่วนใหญ่อยู่ตรงนี้

ผมหมายความว่า, เกือบทั้งหมดเลย

แล้วเราเหลืออะไรไว้ให้หางสองอันบ้าง?

จำไว้, มันมีหาง 2 อัน

นี่คืออันหนึ่ง

แล้วคุณได้ผลที่น้อยกว่า ค่าเฉลี่ยลบ 3

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

หางนี่ตรงนี้

นั่นบอกเราว่านี่, น้อยกว่าค่าเฉลี่ยลบ 3

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และมากกว่า ค่าเฉลี่ยบวก

3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน รวมกันต้องเท่ากับที่เหลือ

ทีนี้ที่เหลือ, มันเหลืออยู่แค่ 0.3%

แล้วสองอันนี้ต้องสมมาตร

พวกมันจะต้องเท่ากัน

ดังนั้นเจ้านี่ตรงนี้ ต้องเป็นครึ่งหนึ่งของอันนี้ หรือ 0.15% และ

เจ้านี่ตรงนี้ต้องเป็น 0.15%

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ได้เด็กหญิงอายุ 1 ขวบในอเมริกา

ที่หนักกว่า 12.8 เปอร์เซ็นต์ ถ้าคุณสมมุติว่า

การกระจายตัวแบบปกติโดยสมบูรณ์คือพื้นที่ใต้โค้งนี้

พื้นที่ใต้โค้งที่มากกว่าค่าเฉลี่ยบวก 3 ส่วน

เบี่ยงเบนมาตรฐาน

มันคือ 0.15%

เอาล่ะ, หวังว่าคุณคงได้ประโยชน์ไปนะ