ลองทำโจทย์อีกข้อจากเรื่องการกระจายตัว แบบปกติในหนังสือสถิติ AP ของ ck12.org และผมใช้อันนี้เพราะมันฟรี และ เป็นหนังสือที่ดีทีเดียว ปัญหาคือว่า, ผมว่า, เป็นแบบฝึกหัดที่ดีสำหรับเรา ลองดูกัน, ข้อ 3 คุณสามารถไปที่เว็บไซต์ และผมว่า คุณสามารถดาวน์โหลดหนังสือได้ สมมุติว่าค่าเฉลี่ยน้ำหนักของเด็กหญิงอายุ 1 ขวบ ในอเมริกา กระจายตัวแบบปกติ -- หรือกระจายตัว แบบปกติด้วยค่าเฉลี่ยประมาณ 9.5 กรัม มันน่าจะเป็นกิโลกรัมนะ ผมมีลูกชายอายุ 10 เดือน และเขาหนัก 20 ปอนด์ ซึ่งประมาณ 9 กิโลกรัม ไม่ใช่ 9.5 กรัม 9.5 กรัมนี่ไม่ใช่แล้ว นี่น่าจะเป็นน้ำหนักหนูหรืออะไรสักอย่าง นี่ต้องเป็นกิโลกรัม แต่ช่างเถอะ, มันคือประมาณ 9.5 กิโลกรัม โดยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่าประมาณ 1.1 กรัม แล้วค่าเฉลี่ยเท่ากับ 9.5 กิโลกรัม ผมว่านะ และ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1.1 กรัม ถ้าไม่ใช่เครื่องคิดเลข -- นี่เป็นคำใบ้ที่น่าสนใจ -- จงประมาณจำนวนของเด็กหญิงอายุ 1 ขวบในอเมริกาเป็นเปอร์เซ็นต์ ที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้ เวลาเขาบอกว่า ให้กะค่าโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข นั่นเป็น คำใบ้ หรือวิธีการที่บอกเราให้ใช้ กฏเชิงประจักษ์ (empirical rule) กฎเชิงประจักษ์บางครั้งเรียกว่ากฎ 68-95-99.7 และถ้าคุณจำนี่เป็นชื่อกฎ คุณก็ต้องจำกฎได้ สิ่งที่มันบอกเราว่าคือว่า ถ้าเรามีการกระจายตัวแบบปกติ -- ผมจะทบทวนตรงนี้ก่อนที่เราจะไป ยังปัญหานี้ ถ้าเรามีการกระจายตัวแบบปกติ -- ขอผมเขียน การกระจายตัวแบบปกตินะ มันจะเป็นแบบนั้น นั่นคือการกระจายตัวแบบปกติ ผมไม่ได้วาดแบบโดยสมบูรณ์แบบ แต่คุณคงเข้าใจ มันควรสมมาตร นี่คือค่าเฉลี่ยของเราตรงนี้ นั่นคือค่าเฉลี่ยของเรา ถ้าเราอยู่เหนือค่าเฉลี่่ย 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และ ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย 1 หน่วยส่วนเบี่ยงบนมาตรฐาน, นี่ก็คือ ค่าเฉลี่ย บวก 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน นี่คือค่าเฉลี่ยนเรา ลบ 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความน่าจะเป็นที่จะได้ผล ถ้าเรายุ่งกับการกระจายตัว แบบปกติโดยสมบูรณ์, ค่านั้นอยู่ระหว่าง ค่าเฉลี่ยลบ 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และค่าเฉลี่ยบวก 1 ส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐาน -- นั่นก็คือพื้นที่นี้ -- มันจะเป็น, คุณคงเดาได้, คือ 68% มีโอกาส 68% ที่คุณจะได้ค่าอยู่ภายใน 1 ส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานวัดจากค่าเฉลี่ย ไม่ว่าจะอยู่เหนือหรือใต้หรือระหว่าง หนึ่งช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐาน ทีนี้, ถ้าเราพูดถึง 2 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐานรอบ ค่าเฉลี่ย -- ถ้าเราลองไปอีก 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน, เราลงไป ยังอีก 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ในทิศนั้นและ เหนือค่าเฉลี่ยไปอีก 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน -- และเราถาม ตัวเองว่าความน่าจะเป็นในการพบ ค่าอยู่ระหว่างสองช่วงนั้น, มัน ก็คือ, คุณคงเดาได้ว่า, คือ 95% แลนั่นรวมพื้นที่ตรงกลางนี้ด้วย 68% นี้คือส่วนหนึ่งของ 95% นี้ ผมว่าคุณคงรู้ว่าจะเป็นอย่างไรต่อ ถ้าคุณไปที่ 3 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐานใต้ค่าเฉลี่ย และ เหนือค่าเฉลี่ย, นั่นคือกฎเชิงประจักษ์หรือกฎ 68-95-99.7 มันบอกเราว่ามีโอกาส 99.7% ที่ได้จะผลจาก กระจายตัวแบบปกติที่อยู่ในช่วง 3 เท่าของค่าเบี่ยงเบน มาตรฐานวัดจากค่าเฉลี่ย คือมากกว่า ค่าเฉลี่ยลบ 3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และน้อยกว่า ค่าเฉลี่ยบวก 3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน นั่นคือสิ่งที่กฎเชิงประจักษ์บอกเรา ทีนี้ลองดูว่าเราจะใช้กับปัญหานี้ได้หรือไม่ เขาบอกค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมาให้เรา ขอผมวาดมันนะ ขอผมวาดแกนก่อนให้ดีที่สุด นั่นคือแกนของผม ขอผมวาดเส้นโค้งระฆัง นั่นคือเส้นโค้งระฆังที่ดีที่สุด ที่คุณคาดว่า จะได้จากคนวาดมือเปล่าแล้ว ค่าเฉลี่ยตรงนี้คือ 9 -- และนี่ควรสมมาตร ความสูงนี่ควรเท่ากับความสูงตรงนี้ ผมว่าคุณคงเข้าใจ ผมไม่ใช่คอมพิวเตอร์ 9.5 คือค่าเฉลี่ย ผมจะไม่เขียนหน่วยนะ มันเป็นกิโลกรัมหมด 1 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเหนือค่าเฉลี่ย เราก็บวก 1.1 เข้าไป เพราะเขาบอกเราว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 1.1 มันจะเป็น 10.6 ถ้าเราไป -- ขอผมวาดเส้นประเล็กๆ ตรงนี้นะ -- 1 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐานใต้ค่าเฉลี่ย เราก็ลบ 1.1 จาก 9.5 แล้วมันจะเป็น 8.4 ถ้าเราไปยัง 2 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐานเหนือค่าเฉลี่ย เราก็บวกค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานไปอีกทีตรงนี้ จริงไหม? เราไปอีก 1 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน, 2 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน นั่นพาเรามาที่ 11.7 และถ้าเราไปที่ 3 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐาน เราก็บวก 1.1 อีกที นั่นพาเรามาที่ 12.8 ทำแบบเดียวกันอีกด้านหนึ่ง, 1 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐาน ใต้ค่าเฉลี่ยคือ 8.4 2 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐานใต้ค่าเฉลี่ย -- ลบ 1.1 อีกที -- กลายเป็น 7.3 แล้ว 3 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐานใต้ค่าเฉลี่ย -- เราก็เขียนไว้ตรงนี้ -- มันคือ 6.2 กิโลกรัม นั่นก็คือการตั้งโจทย์ตรงนี้ แล้วความน่าจะเป็นที่เราพบเด็กหญิงอายุ 1 ขวบ ในอเมริกา ที่หนักน้อยกว่า 8.4 กิโลกรัม หรือบางทีผมควรใช้คำว่ามวลน้อยกว่า 8.4 กิโลกรัม ถ้าเราดูตรงนี้, ความน่าจะเป็นที่จะพบเด็ก หรือเด็กผู้หญิงอายุ 1 ขวบ ที่มีมวลหรือน้ำหนัก น้อยกว่า 8.4 นั่นคือพื้นที่ ตรงนี้ ผมบอกว่า มวล เพราะกิโลกรัมคือหน่วยของมวล หลายคนใช้มันกับน้ำหนักเช่นกัน นั่นก็คือพื้นที่นั่นตรงนั้น แล้วเราจะหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งนี้ โดยใช้กฎเชิงประจักษ์ได้อย่างไร? ทีนี้, เรารู้ว่าพื้นที่นี้คืออะไร เรารู้ว่าพื้นที่ระหว่างลบ 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน กับบวก 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นเท่าไหร่ เรารู้ว่ามันคือ 68% และถ้ามันคือ 68% นั่นหมายความว่า ส่วนที่ไม่ได้อยู่ตรงกลางคือ 32% เพราะพื้นทีใต้การกระจายตัวแบบปกติทั้งหมด คือ 100 หรือ 100% หรือ 1, ขึ้นอยู่กับวิธีที่คุณคิด เพราะคุณไม่มีทาง -- ความเป็นไปได้ทั้งหมด รวมกันได้แค่ 1 เท่านั้น คุณไม่มีทางได้มากกว่า 100% ตรงนี้ ดังนั้นถ้าคุณรวมขานี้กับขานี้ -- แล้วนี่บวกค่านั้น จะเท่ากับส่วนที่เลหือ งั้น 100 ลบ 68 นั่นคือ 32 32% 32% คือถ้าคุณบวกขาซ้ายนี่กับ ขาขวานี่ตรงนี้ และนี่คือการกระจายตัวแบบปกติโดยสมบูรณ์ เขาบอกเราว่ามันกระจายตัวแบบปกติ มันจะสมมาตรพอดี แล้วถ้าด้านนี่ กับด้านนั้นรวมกันได้ 32 แต่ทั้งคู่ สมมาตร, หมายความว่าพวกมันมีพื้นที่เท่ากันเป๊ะ, แล้ว ด้านนี่ตรงนี้ -- ผมจะใช้สีชมพูนะ -- ด้านนี่ตรงนี้ -- มันออกมาเป็นสีม่วงมากกว่า -- จะเป็น 16% แล้วด้านนี่ตรงนี้จะเป็น 16% ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ได้ผลมากกว่า 1 ส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานเหนือค่เาฉลี่ย -- นั่นคือด้านขวามือนี่ , จะเป็น 16% หรือความน่าจะเป็นที่ได้ผลน้อยกว่า 1 ส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานใต้ค่าเฉลี่ย, นั่นคือตรงนี้, 16% แล้วเขาอยากรู้ความน่าจะเป็นที่ได้ เด็กอายุ 1 ปีหนักน้อยว่า 8.4 กิโลกรัม น้อยกว่า 8.4 กิโลกรัม คือพื้นที่นี่ตรงนี้ และนั่นคือ 16% มันก็คือ 16% จากข้อ a ลองดูข้อ b กัน: ระหว่าง 7.9 กับ 11.7 จุด 7 กิโลกรัม ระหว่าง 7.3 -- นั่นคือตรงนั้น มันคือ 2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานใต้ค่าเฉลี่ย -- และ 11.7, หนึ่ง, สองส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเหนือค่าเฉลี่ย มันก็เหมือนถามเราว่า ความน่าจะเป็นที่ได้ผล อยู่ระหว่าง 2 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐานวัดจาก ค่เาฉลี่ยเป็นเท่าไหร่, จริงไหม? นี่คือค่าเฉลี่ยตรงนี้ นี่คืออยู่ใต้ 2 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐาน นี่คืออยู่เหนือ 2 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐาน ทีนี้ มันก็ตรงไปตรงมา กฎเชิงประจักษ์บอกเราว่า ระหว่าง 2 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐาน คุณมีโอกาส 95% ที่จะได้ผลอยู่ภายใน 2 ช่วงเบี่ยงเบนมาตรฐาน กฎเชิงประจักษ์ให้คำตอบเราได้เลย แล้วสุดท้าย, ข้อ c: ความน่าจะเป็นที่ได้ เด็กผู้หญิงอเมริกัน 1 ขวบ หนักกว่า 12.8 กิลโลกรัม 12.8 กิโลกรัม คือมากกว่าค่าเฉลี่ยอยู่ 3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เราอยากรู้ว่าความน่าจะเป็นที่จะได้ผล เหนือค่าเฉลี่ยอยู่ 3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน นั่นก็คือพื้นที่นี่ตรงนี้ ที่ผมวาดด้วยสีส้ม บางทีผมควรใช้สีอื่น เพื่อให้มัน ต่างกันหน่อย มันเป็นหางยาวมากตรงนี้, เป็นพื้นที่เล็กๆ นี่ แล้วความน่าจะเป็นนั้นเป็นเท่าไหร่? ลองกลับมาดูที่กฎเชิงประจักษ์ของเรา เรารู้ว่า ความน่าจะเป็น -- เรารู้พื้นที่นี้ เรารู้พื้นที่ระวห่าง ลบ 3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน กับ บวก 3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เรารู้ค่านี้ - เนื่องจากนี่คือส่วนสุดท้าย ข้อสุดท้าย ผมสามารถระบายสีทั้งหมดนี่ได้ -- เรารู้ว่าพื้นที่นี่ตรงนี้ ระหว่างลบ 3 กับ บวก 3, นี่คือ 99.7% ผลส่วนใหญ่อยู่ตรงนี้ ผมหมายความว่า, เกือบทั้งหมดเลย แล้วเราเหลืออะไรไว้ให้หางสองอันบ้าง? จำไว้, มันมีหาง 2 อัน นี่คืออันหนึ่ง แล้วคุณได้ผลที่น้อยกว่า ค่าเฉลี่ยลบ 3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน หางนี่ตรงนี้ นั่นบอกเราว่านี่, น้อยกว่าค่าเฉลี่ยลบ 3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และมากกว่า ค่าเฉลี่ยบวก 3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน รวมกันต้องเท่ากับที่เหลือ ทีนี้ที่เหลือ, มันเหลืออยู่แค่ 0.3% แล้วสองอันนี้ต้องสมมาตร พวกมันจะต้องเท่ากัน ดังนั้นเจ้านี่ตรงนี้ ต้องเป็นครึ่งหนึ่งของอันนี้ หรือ 0.15% และ เจ้านี่ตรงนี้ต้องเป็น 0.15% ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ได้เด็กหญิงอายุ 1 ขวบในอเมริกา ที่หนักกว่า 12.8 เปอร์เซ็นต์ ถ้าคุณสมมุติว่า การกระจายตัวแบบปกติโดยสมบูรณ์คือพื้นที่ใต้โค้งนี้ พื้นที่ใต้โค้งที่มากกว่าค่าเฉลี่ยบวก 3 ส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐาน มันคือ 0.15% เอาล่ะ, หวังว่าคุณคงได้ประโยชน์ไปนะ