-
Behandeln wir ein weiteres Beispiel vom Abschnitt Normalverteilung
-
aus dem AP Statistikbuch von ck12.org.
-
Ich nutze ihres, da es Open Source ist und
-
eigentlich ein ganz gutes Buch ist.
-
Die Beispiele sind, denke ich, gute Übung für uns.
-
Also, schauen wir, Nummer 3.
-
Man kann auf ihre Webseite gehen und
-
ich denke, auch ihr Buch runterladen.
-
"Angenommen der Durchschnitt acht 1 Jahre alter Mädchen in den USA
-
ist normalverteilt bzw. normalverteilt mit
-
im Schnitt 9,5 g."
-
Das müssen Kilogramm sein.
-
Ich habe einen 10 Monate alten Sohn, der
-
ca. 20 Pfund, also ca. 9 kg wiegt, nicht 9,5 g.
-
9,5 g sind nichts.
-
Da wären wir bei kleinen Mäusen oder so.
-
Das müssen kg sein.
-
Aber egal, es sind ca. 9,5 kg mit einer
-
Standardabweichung von ca. 1,1 g.
-
Der Durchschnitt ist also gleich 9,5 kg
-
und die Standardabweichung gleich 1,1 g.
-
Ohne Taschenrechner zu nutzen - ein interessanter Hinweis -
-
schätze den Prozentsatz 1 Jahr alter Mädchen in den USA,
-
die folgende Bedingungen erfüllen.
-
Wenn gesagt wird "ohne Taschenrechner",
-
ist das ein wichtiger Hinweis darauf, dass man
-
die Empirische Regel anwenden muss.
-
Empirische Regel wird manchmal 68-95-99.7 Regel genannt.
-
Wenn ihr euch erinnert, das ist der Name der Regel,
-
ihr habt euch einfach die Regel gemerkt.
-
Sie sagt uns, dass wir eine Normalverteilung haben.
-
Ich erkläre es zunächst ein wenig, bevor wir
-
uns diesem Problem widmen.
-
Haben wir eine Normalverteilung -
-
lasst mich eine Normalverteilung zeichnen.
-
Sie sieht etwa so aus.
-
Meine Normalverteilung.
-
Sie sieht nicht perfekt aus, aber ihr versteht, was ich meine.
-
Es sollte symmetrisch sein.
-
Das hier ist unser Durchschnitt.
-
Das hier ist unser Durchschnitt.
-
Gehen wir eine Standardabweichung über und
-
1 unter den Durchschnitt... das ist unser Durchschnitt
-
plus 1 Standardabweichung.
-
Und das unser Durchschnitt minus 1 Standardabweichung.
-
Die Wahrscheinlichkeit, bei perfekter Normalverteilung
-
ein Ergebnis zu finden, welches zwischen 1 Standardabweichung
-
unter und 1 Standardabweichung über dem Durchschnitt liegt,
-
dieser Bereich hier, das wären,
-
ihr könnt schätzen, 68%.
-
68% Chance, dass man einen Wert innerhalb 1
-
Standardabweichung vom Durchschnitt erhält.
-
Entweder 1 Standardabweichung über oder unter
-
oder irgendwie dazwischen.
-
Sprechen wir nun über Standardabweichungen um den Durchschnitt
-
herum -- gehen wir eine weitere Standardabweichung runter,
-
und nochmal eine Standardabweichung hierhin,
-
und eine weitere Standardabweichung über den Durchschnitt--
-
und wir müssten uns fragen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist,
-
etwas zwischen diesen beiden, in diesem Abschnitt zu finden,
-
dann sind es, ihr könnt es erraten, 95%.
-
Und das schließt diesen mittleren Abschnitt hier ein.
-
DIe 68% sind eine Teilmenge dieser 95%.
-
Und ich denke ihr wisst, wo das hinführt.
-
Gehen wir 3 Standardabweichungen unter und
-
über den Durchschnitt, sagt uns die Empirische Regel bzw. die 68-95-99,7 Regel,
-
dass eine 99,7%ige Chance besteht, eine Ergebnis in
-
der Normalverteilung zu finden, welches innerhalb
-
3 Standardabweichungen vom Durchschnitt liegt.
-
Also 3 Standardabweichungen unter und
-
3 Standardabweichungen über dem Durchschnitt.
-
Das sagt uns die Empirische Regel.
-
Schauen wir nun, ob wir sie bei dieser Aufgabe anwenden können.
-
Sie geben uns den Durchschnitt und die Standardabweichung vor.
-
Ich zeichne das mal auf.
-
Zuerst meine Achse, so gut wie ich kann.
-
Zuerst meine Achse, so gut wie ich kann.
-
Dann die glockenförmige Kurve.
-
Das das beste, was ich freihand zeichnen kann.
-
Das das beste, was ich freihand zeichnen kann.
-
Und der Durchschnitt hier ist 9, das sollte symmetrisch sein.
-
Diese Höhe sollte gleich dieser hier sein.
-
Ich denke ihr versteht das Konzept.
-
Ich bin kein Computer.
-
9,5 ist der Durchschnitt.
-
Ich schreibe keine Einheiten.
-
Es ist alles in kg.
-
1 Standardabweichung über dem Durchschnitt sollten wir 1,1 dazuaddieren,
-
da sie uns die Standardabweichung von 1,1 vorgeben.
-
Das ist 10,6.
-
Ich zeichne hier noch eine gestrichelte Linie.
-
Gehen wir 1 Standardabweichung unter den Durchschnitt,
-
subtrahieren wir 1,1 von 9,5 und erhalten 8,4.
-
Gehen wir 2 Standardabweichungen über den Durchschnitt,
-
addieren wir hier nochmal eine Standardabweichung.
-
Richtig?
-
Wir gehen 1 Standardabweichung,
-
2 Standardabweichungen.
-
Das führt uns zu 11,7.
-
Und gingen wir 3 Standardweichungen,
-
würden wir wieder 1,1 addieren.
-
Das brächte uns zu 12,8.
-
Auf der anderen Seite, 1 Standardabweichung
-
unter dem Durchschnitt ist 8,4.
-
2 Standardabweichungen unter dem Durchschnitt--
-
wieder 1,1 subtrahieren-- wären 7,3.
-
Und dann 3 Standardabweichungen unter dem Durchschnitt--
-
das schreiben wir hier hin-- wären 6,2 kg.
-
Das ist nun also der Aufbau unseres Problems.
-
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein 1 Jahr altes
-
Mädchen in den USA zu finden, das weniger als 8,4 kg wiegt.
-
Oder ich sollte besser sagen, wessen
-
Masse ist weniger als 8,4 kg.
-
Hier: Die Wahrscheinlichkeit, ein weibliches Baby zu finden,
-
welches 1 Jahr alt ist und eine Masse bzw. Gewicht
-
von weniger als 8,4 kg, das ist diese Fläche hier.
-
von weniger als 8,4 kg, das ist diese Fläche hier.
-
Ich sage Masse, da kg die Einheit für Masse ist.
-
Die meisten nutzen es auch als Gewicht.
-
Das ist also diese Fläche hier.
-
Wie können wir nun die Fläche unter dieser
-
Normalverteilung mithifle der Empirischen Regel ermitteln?
-
Nun, wir kennen diese Fläche.
-
Wir wissen, was diese Fläche zwischen -1 Standardabweichung
-
und +1 Standardabweichung ist.
-
Wir wissen, dass sie 68% ist.
-
Sind das hier 68%, dann heißt das auch, das die
-
Fläche außerhalb der Mitte 32% ist.
-
Denn die Fläche unter der ganzen Normalverteilung
-
ist 100 oder 100% oder 1, abhängig davon, wie man es betrachtet.
-
Denn alle Möglichkeiten miteinander
-
kombiniert können nur 1 ergeben.
-
Man kann nicht mehr als 100% haben.
-
Addieren wir diesen und diesen Abschnitt,
-
ergibt das den Rest.
-
Also 100 minus 68, sind 32.
-
32%
-
32% erhält man bei Addieren dieses und
-
dieses Abschnittes hier.
-
Und das ist eine perfekte Normalverteilung.
-
Eine Normalverteilung war vorgegeben.
-
Damit ist es also perfekt symmetrisch.
-
Wenn diese beiden Abschnitte also zusammen 32 ergeben,
-
beide aber symmetrisch sind, also dieselbe Fläche haben,
-
dann ist diese Seite hier-- ich mache es in pink--
-
sieht mehr wie violett aus-- 16%.
-
Und diese Seite hier wäre 16%.
-
Die Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis von mehr als
-
1 Standardabweichung über dem Durchschnitt zu erhalten,
-
also diese Seite hier, wäre 16%
-
Oder die Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis von weniger als
-
1 Standardabweichung unter dem Durchschnitt zu haben, genau hier, 16%.
-
Sie wollen also die Wahrscheinlichkeit eines
-
1 Jahr alten Babys von weniger als 8,4 kg haben.
-
Weinger als 8,4 kg ist diese Fläche genau hier.
-
Und das sind 16%.
-
Also 16% für Teil (a).
-
Jetzt Teil (b): "Zwischen 7,3 und 11,7 kg."
-
Zwischen 7,3 - das ist genau hier.
-
Das sind 2 Standardabweichungen unter dem Durchschnitt- und 11,7 - 1,
-
2 Standardabweichungen über dem Durchschnitt.
-
Es wird im Prinzip nach der Wahrscheinlichkeit gefragt,
-
ein Ergebnis innerhalb 2 Standardabweichungen
-
vom Durchschnitt zu erhalten, richtig?
-
Das hier ist der Durchschnitt.
-
Das sind 2 Standardabweichungen darunter.
-
Das sind 2 Standardabweichungen darüber.
-
Nun, das ist relativ direkt.
-
Die Empirische Regel sagt uns, dass man zwischen 2 Standardabweichungen
-
eine 95%ige Chance hat, ein Ergebnis zu erhalten, welches innerhalb
-
2 Standardabweichungen liegt.
-
Die Empirische Regel gibt uns diese Antwort einfach.
-
Und schließlich Teil (c): Die Wahrscheinlichkeit, ein 1 Jahr
-
altes US weibliches Baby mit mehr als 12,8 kg zu haben.
-
12,8 kg ist 3 Standardabweichungen über dem Durchschnitt.
-
12,8 kg ist 3 Standardabweichungen über dem Durchschnitt.
-
Wir wollen also die Wahrscheinlichkeit wissen, ein Ergebnis mehr
-
als 3 Standardabweichungen über dem Durchschnitt zu haben.
-
Das ist diese Fläche hier in orange gekennzeichnet.
-
Vielleicht sollte ich eine andere Farbe dafür nehmen,
-
um es hervorzuheben.
-
Das ist dieser lange Abfall hier, diese kleine Fläche.
-
Was ist also diese Wahrscheinlichkeit?
-
Gehen wir wieder zur Empirischen Regel zurück.
-
Wir kennen die Wahrscheinlichkeit-- diese Fläche.
-
Wir kennen die Fläche zwischen -3 und +3
-
Standardabweichungen.
-
Da das die letzte Aufgabe ist, kann ich die ganze
-
Fläche hier einfärben. Wir wissen, dass diese Fläche hier
-
zwischen -3 und +3 gleich 99,7% ist.
-
Der Großteil der Ergebnisse fällt hierunter.
-
Eigentlich fast alle.
-
Was bleibt also für die beiden Enden überig.
-
Merkt euch: Es gibt 2 Enden.
-
Das ist eines davon.
-
Dann hat man die Ergebnisse weniger als 3
-
Standardabweichungen unter dem Durchschnitt.
-
Dieses Ende genau hier.
-
Das sagt uns, dass dies, weniger als 3 Standardabweichungen
-
unter dem Durchschnitt und mehr als 3 Standardabweichungen
-
über dem Durchschnitt, kombiniert den Rest ergeben muss.
-
Der Rest, nun es bleiben nur 0,3% übrig.
-
Und diese beiden hier sind asymmetrisch.
-
Sie sind gleich.
-
Das hier muss die Hälfte von diesem sein oder 0,15%
-
und das hier ist 0,15%.
-
Die Wahrscheinlichkeit, ein 1 Jahr altes weibliches Baby in
-
den USA mit einem Gewicht von mehr als 12,8 kg zu haben, nimmt man
-
eine perfekte Normalverteilung als Fläche unter dieser Kurve an,
-
die Fläche, die mehr als 3 Standardabweichungen
-
über dem Durchschnitt ist.
-
Und das ist 0,15%
-
Ich hoffe, ihr fandet dies hilfreich.
