1
00:00:00,610 --> 00:00:04,100
Behandeln wir ein weiteres Beispiel vom Abschnitt Normalverteilung

2
00:00:04,100 --> 00:00:10,120
aus dem AP Statistikbuch von ck12.org.

3
00:00:10,120 --> 00:00:11,770
Ich nutze ihres, da es Open Source ist und

4
00:00:11,770 --> 00:00:13,990
eigentlich ein ganz gutes Buch ist.

5
00:00:13,990 --> 00:00:16,475
Die Beispiele sind, denke ich, gute Übung für uns.

6
00:00:16,475 --> 00:00:19,070
Also, schauen wir, Nummer 3.

7
00:00:19,070 --> 00:00:20,390
Man kann auf ihre Webseite gehen und

8
00:00:20,390 --> 00:00:21,690
ich denke, auch ihr Buch runterladen.

9
00:00:21,690 --> 00:00:26,180
"Angenommen der Durchschnitt acht 1 Jahre alter Mädchen in den USA

10
00:00:26,180 --> 00:00:28,920
ist normalverteilt bzw. normalverteilt mit

11
00:00:28,920 --> 00:00:32,330
im Schnitt 9,5 g."

12
00:00:32,330 --> 00:00:33,820
Das müssen Kilogramm sein.

13
00:00:33,820 --> 00:00:35,930
Ich habe einen 10 Monate alten Sohn, der

14
00:00:35,930 --> 00:00:39,570
ca. 20 Pfund, also ca. 9 kg wiegt, nicht 9,5 g.

15
00:00:39,570 --> 00:00:41,040
9,5 g sind nichts.

16
00:00:41,040 --> 00:00:43,900
Da wären wir bei kleinen Mäusen oder so.

17
00:00:43,900 --> 00:00:44,940
Das müssen kg sein.

18
00:00:44,940 --> 00:00:47,350
Aber egal, es sind ca. 9,5 kg mit einer

19
00:00:47,350 --> 00:00:51,050
Standardabweichung von ca. 1,1 g.

20
00:00:51,050 --> 00:00:56,400
Der Durchschnitt ist also gleich 9,5 kg

21
00:00:56,400 --> 00:01:01,130
und die Standardabweichung gleich 1,1 g.

22
00:01:01,130 --> 00:01:04,840
Ohne Taschenrechner zu nutzen - ein interessanter Hinweis -

23
00:01:04,840 --> 00:01:08,950
schätze den Prozentsatz 1 Jahr alter Mädchen in den USA,

24
00:01:08,950 --> 00:01:09,995
die folgende Bedingungen erfüllen.

25
00:01:09,995 --> 00:01:12,910
Wenn gesagt wird "ohne Taschenrechner",

26
00:01:12,910 --> 00:01:15,250
ist das ein wichtiger Hinweis darauf, dass man

27
00:01:15,250 --> 00:01:16,350
die Empirische Regel anwenden muss.

28
00:01:20,040 --> 00:01:27,480
Empirische Regel wird manchmal 68-95-99.7 Regel genannt.

29
00:01:27,480 --> 00:01:29,960
Wenn ihr euch erinnert, das ist der Name der Regel,

30
00:01:29,960 --> 00:01:31,500
ihr habt euch einfach die Regel gemerkt.

31
00:01:31,500 --> 00:01:33,520
Sie sagt uns, dass wir eine Normalverteilung haben.

32
00:01:33,520 --> 00:01:35,800
Ich erkläre es zunächst ein wenig, bevor wir

33
00:01:35,800 --> 00:01:36,750
uns diesem Problem widmen.

34
00:01:36,750 --> 00:01:38,750
Haben wir eine Normalverteilung -

35
00:01:38,750 --> 00:01:40,480
lasst mich eine Normalverteilung zeichnen.

36
00:01:40,480 --> 00:01:42,900
Sie sieht etwa so aus.

37
00:01:42,900 --> 00:01:44,240
Meine Normalverteilung.

38
00:01:44,240 --> 00:01:45,940
Sie sieht nicht perfekt aus, aber ihr versteht, was ich meine.

39
00:01:45,940 --> 00:01:47,560
Es sollte symmetrisch sein.

40
00:01:47,560 --> 00:01:49,980
Das hier ist unser Durchschnitt.

41
00:01:49,980 --> 00:01:50,840
Das hier ist unser Durchschnitt.

42
00:01:50,840 --> 00:01:54,810
Gehen wir eine Standardabweichung über und

43
00:01:54,810 --> 00:02:00,350
1 unter den Durchschnitt... das ist unser Durchschnitt

44
00:02:00,350 --> 00:02:01,780
plus 1 Standardabweichung.

45
00:02:01,780 --> 00:02:05,730
Und das unser Durchschnitt minus 1 Standardabweichung.

46
00:02:05,730 --> 00:02:08,710
Die Wahrscheinlichkeit, bei perfekter Normalverteilung

47
00:02:08,710 --> 00:02:12,080
ein Ergebnis zu finden, welches zwischen 1 Standardabweichung

48
00:02:12,080 --> 00:02:14,640
unter und 1 Standardabweichung über dem Durchschnitt liegt,

49
00:02:14,640 --> 00:02:19,320
dieser Bereich hier, das wären,

50
00:02:19,320 --> 00:02:23,040
ihr könnt schätzen, 68%.

51
00:02:23,040 --> 00:02:26,430
68% Chance, dass man einen Wert innerhalb 1

52
00:02:26,430 --> 00:02:27,750
Standardabweichung vom Durchschnitt erhält.

53
00:02:27,750 --> 00:02:30,140
Entweder 1 Standardabweichung über oder unter

54
00:02:30,140 --> 00:02:31,450
oder irgendwie dazwischen.

55
00:02:31,450 --> 00:02:34,500
Sprechen wir nun über Standardabweichungen um den Durchschnitt

56
00:02:34,500 --> 00:02:37,170
herum -- gehen wir eine weitere Standardabweichung runter,

57
00:02:37,170 --> 00:02:39,570
und nochmal eine Standardabweichung hierhin,

58
00:02:39,570 --> 00:02:41,780
und eine weitere Standardabweichung über den Durchschnitt--

59
00:02:41,780 --> 00:02:43,190
und wir müssten uns fragen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist,

60
00:02:43,190 --> 00:02:47,360
etwas zwischen diesen beiden, in diesem Abschnitt zu finden,

61
00:02:47,360 --> 00:02:50,740
dann sind es, ihr könnt es erraten, 95%.

62
00:02:50,740 --> 00:02:53,060
Und das schließt diesen mittleren Abschnitt hier ein.

63
00:02:53,060 --> 00:02:56,510
DIe 68% sind eine Teilmenge dieser 95%.

64
00:02:56,510 --> 00:02:58,140
Und ich denke ihr wisst, wo das hinführt.

65
00:02:58,140 --> 00:03:01,360
Gehen wir 3 Standardabweichungen unter und

66
00:03:01,360 --> 00:03:06,820
über den Durchschnitt, sagt uns die Empirische Regel bzw. die 68-95-99,7 Regel,

67
00:03:06,820 --> 00:03:15,740
dass eine 99,7%ige Chance besteht, eine Ergebnis in

68
00:03:15,740 --> 00:03:19,120
der Normalverteilung zu finden, welches innerhalb

69
00:03:19,120 --> 00:03:20,110
3 Standardabweichungen vom Durchschnitt liegt.

70
00:03:20,110 --> 00:03:23,230
Also 3 Standardabweichungen unter und

71
00:03:23,230 --> 00:03:26,030
3 Standardabweichungen über dem Durchschnitt.

72
00:03:26,030 --> 00:03:27,870
Das sagt uns die Empirische Regel.

73
00:03:27,870 --> 00:03:30,960
Schauen wir nun, ob wir sie bei dieser Aufgabe anwenden können.

74
00:03:30,960 --> 00:03:33,140
Sie geben uns den Durchschnitt und die Standardabweichung vor.

75
00:03:33,140 --> 00:03:34,550
Ich zeichne das mal auf.

76
00:03:34,550 --> 00:03:38,550
Zuerst meine Achse, so gut wie ich kann.

77
00:03:38,550 --> 00:03:39,600
Zuerst meine Achse, so gut wie ich kann.

78
00:03:39,600 --> 00:03:41,410
Dann die glockenförmige Kurve.

79
00:03:45,920 --> 00:03:49,090
Das das beste, was ich freihand zeichnen kann.

80
00:03:49,090 --> 00:03:50,920
Das das beste, was ich freihand zeichnen kann.

81
00:03:50,920 --> 00:03:54,140
Und der Durchschnitt hier ist 9, das sollte symmetrisch sein.

82
00:03:54,140 --> 00:03:55,710
Diese Höhe sollte gleich dieser hier sein.

83
00:03:55,710 --> 00:03:57,600
Ich denke ihr versteht das Konzept.

84
00:03:57,600 --> 00:03:59,260
Ich bin kein Computer.

85
00:03:59,260 --> 00:04:02,390
9,5 ist der Durchschnitt.

86
00:04:02,390 --> 00:04:03,370
Ich schreibe keine Einheiten.

87
00:04:03,370 --> 00:04:04,580
Es ist alles in kg.

88
00:04:04,580 --> 00:04:11,330
1 Standardabweichung über dem Durchschnitt sollten wir 1,1 dazuaddieren,

89
00:04:11,330 --> 00:04:14,220
da sie uns die Standardabweichung von 1,1 vorgeben.

90
00:04:14,220 --> 00:04:16,820
Das ist 10,6.

91
00:04:16,820 --> 00:04:19,620
Ich zeichne hier noch eine gestrichelte Linie.

92
00:04:19,620 --> 00:04:25,990
Gehen wir 1 Standardabweichung unter den Durchschnitt,

93
00:04:25,990 --> 00:04:34,110
subtrahieren wir 1,1 von 9,5 und erhalten 8,4.

94
00:04:34,110 --> 00:04:37,620
Gehen wir 2 Standardabweichungen über den Durchschnitt,

95
00:04:37,620 --> 00:04:40,400
addieren wir hier nochmal eine Standardabweichung.

96
00:04:40,400 --> 00:04:40,610
Richtig?

97
00:04:40,610 --> 00:04:41,890
Wir gehen 1 Standardabweichung,

98
00:04:41,890 --> 00:04:42,700
2 Standardabweichungen.

99
00:04:42,700 --> 00:04:44,435
Das führt uns zu 11,7.

100
00:04:44,435 --> 00:04:47,040
Und gingen wir 3 Standardweichungen,

101
00:04:47,040 --> 00:04:48,910
würden wir wieder 1,1 addieren.

102
00:04:48,910 --> 00:04:50,720
Das brächte uns zu 12,8.

103
00:04:50,720 --> 00:04:53,820
Auf der anderen Seite, 1 Standardabweichung

104
00:04:53,820 --> 00:04:55,380
unter dem Durchschnitt ist 8,4.

105
00:04:55,380 --> 00:04:58,480
2 Standardabweichungen unter dem Durchschnitt--

106
00:04:58,480 --> 00:05:00,910
wieder 1,1 subtrahieren-- wären 7,3.

107
00:05:00,910 --> 00:05:03,380
Und dann 3 Standardabweichungen unter dem Durchschnitt--

108
00:05:03,380 --> 00:05:07,280
das schreiben wir hier hin-- wären 6,2 kg.

109
00:05:07,280 --> 00:05:08,860
Das ist nun also der Aufbau unseres Problems.

110
00:05:08,860 --> 00:05:12,070
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein 1 Jahr altes

111
00:05:12,070 --> 00:05:17,730
Mädchen in den USA zu finden, das weniger als 8,4 kg wiegt.

112
00:05:17,730 --> 00:05:19,330
Oder ich sollte besser sagen, wessen

113
00:05:19,330 --> 00:05:21,640
Masse ist weniger als 8,4 kg.

114
00:05:21,640 --> 00:05:25,150
Hier: Die Wahrscheinlichkeit, ein weibliches Baby zu finden,

115
00:05:25,150 --> 00:05:28,070
welches 1 Jahr alt ist und eine Masse bzw. Gewicht

116
00:05:28,070 --> 00:05:30,920
von weniger als 8,4 kg, das ist diese Fläche hier.

117
00:05:30,920 --> 00:05:31,610
von weniger als 8,4 kg, das ist diese Fläche hier.

118
00:05:31,610 --> 00:05:35,070
Ich sage Masse, da kg die Einheit für Masse ist.

119
00:05:35,070 --> 00:05:36,940
Die meisten nutzen es auch als Gewicht.

120
00:05:36,940 --> 00:05:38,470
Das ist also diese Fläche hier.

121
00:05:38,470 --> 00:05:40,950
Wie können wir nun die Fläche unter dieser

122
00:05:40,950 --> 00:05:43,900
Normalverteilung mithifle der Empirischen Regel ermitteln?

123
00:05:43,900 --> 00:05:47,280
Nun, wir kennen diese Fläche.

124
00:05:47,280 --> 00:05:52,370
Wir wissen, was diese Fläche zwischen -1 Standardabweichung

125
00:05:52,370 --> 00:05:54,500
und +1 Standardabweichung ist.

126
00:05:54,500 --> 00:05:55,920
Wir wissen, dass sie 68% ist.

127
00:05:58,430 --> 00:06:01,720
Sind das hier 68%, dann heißt das auch, das die

128
00:06:01,720 --> 00:06:04,360
Fläche außerhalb der Mitte 32% ist.

129
00:06:04,360 --> 00:06:07,200
Denn die Fläche unter der ganzen Normalverteilung

130
00:06:07,200 --> 00:06:11,380
ist 100 oder 100% oder 1, abhängig davon, wie man es betrachtet.

131
00:06:11,380 --> 00:06:14,490
Denn alle Möglichkeiten miteinander

132
00:06:14,490 --> 00:06:17,880
kombiniert können nur 1 ergeben.

133
00:06:17,880 --> 00:06:21,480
Man kann nicht mehr als 100% haben.

134
00:06:21,480 --> 00:06:27,270
Addieren wir diesen und diesen Abschnitt,

135
00:06:27,270 --> 00:06:29,490
ergibt das den Rest.

136
00:06:29,490 --> 00:06:32,590
Also 100 minus 68, sind 32.

137
00:06:32,590 --> 00:06:33,920
32%

138
00:06:33,920 --> 00:06:37,820
32% erhält man bei Addieren dieses und

139
00:06:37,820 --> 00:06:39,240
dieses Abschnittes hier.

140
00:06:39,240 --> 00:06:41,120
Und das ist eine perfekte Normalverteilung.

141
00:06:41,120 --> 00:06:42,535
Eine Normalverteilung war vorgegeben.

142
00:06:42,535 --> 00:06:44,780
Damit ist es also perfekt symmetrisch.

143
00:06:44,780 --> 00:06:48,730
Wenn diese beiden Abschnitte also zusammen 32 ergeben,

144
00:06:48,730 --> 00:06:51,820
beide aber symmetrisch sind, also dieselbe Fläche haben,

145
00:06:51,820 --> 00:06:56,490
dann ist diese Seite hier-- ich mache es in pink--

146
00:06:56,490 --> 00:07:00,020
sieht mehr wie violett aus-- 16%.

147
00:07:00,020 --> 00:07:02,700
Und diese Seite hier wäre 16%.

148
00:07:02,700 --> 00:07:05,900
Die Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis von mehr als

149
00:07:05,900 --> 00:07:08,280
1 Standardabweichung über dem Durchschnitt zu erhalten,

150
00:07:08,280 --> 00:07:09,760
also diese Seite hier, wäre 16%

151
00:07:09,760 --> 00:07:13,040
Oder die Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis von weniger als

152
00:07:13,040 --> 00:07:17,050
1 Standardabweichung unter dem Durchschnitt zu haben, genau hier, 16%.

153
00:07:17,050 --> 00:07:19,060
Sie wollen also die Wahrscheinlichkeit eines

154
00:07:19,060 --> 00:07:23,140
1 Jahr alten Babys von weniger als 8,4 kg haben.

155
00:07:23,140 --> 00:07:27,970
Weinger als 8,4 kg ist diese Fläche genau hier.

156
00:07:27,970 --> 00:07:29,500
Und das sind 16%.

157
00:07:29,500 --> 00:07:33,270
Also 16% für Teil (a).

158
00:07:33,270 --> 00:07:38,280
Jetzt Teil (b): "Zwischen 7,3 und 11,7 kg."

159
00:07:38,280 --> 00:07:41,130
Zwischen 7,3 - das ist genau hier.

160
00:07:41,130 --> 00:07:47,120
Das sind 2 Standardabweichungen unter dem Durchschnitt- und 11,7 - 1,

161
00:07:47,120 --> 00:07:49,100
2 Standardabweichungen über dem Durchschnitt.

162
00:07:49,100 --> 00:07:51,260
Es wird im Prinzip nach der Wahrscheinlichkeit gefragt,

163
00:07:51,260 --> 00:07:54,340
ein Ergebnis innerhalb 2 Standardabweichungen

164
00:07:54,340 --> 00:07:55,230
vom Durchschnitt zu erhalten, richtig?

165
00:07:55,230 --> 00:07:57,040
Das hier ist der Durchschnitt.

166
00:07:57,040 --> 00:08:00,250
Das sind 2 Standardabweichungen darunter.

167
00:08:00,250 --> 00:08:02,630
Das sind 2 Standardabweichungen darüber.

168
00:08:02,630 --> 00:08:04,130
Nun, das ist relativ direkt.

169
00:08:04,130 --> 00:08:07,490
Die Empirische Regel sagt uns, dass man zwischen 2 Standardabweichungen

170
00:08:07,490 --> 00:08:13,950
eine 95%ige Chance hat, ein Ergebnis zu erhalten, welches innerhalb

171
00:08:13,950 --> 00:08:15,140
2 Standardabweichungen liegt.

172
00:08:15,140 --> 00:08:17,740
Die Empirische Regel gibt uns diese Antwort einfach.

173
00:08:17,740 --> 00:08:21,440
Und schließlich Teil (c): Die Wahrscheinlichkeit, ein 1 Jahr

174
00:08:21,440 --> 00:08:25,510
altes US weibliches Baby mit mehr als 12,8 kg zu haben.

175
00:08:25,510 --> 00:08:28,310
12,8 kg ist 3 Standardabweichungen über dem Durchschnitt.

176
00:08:28,310 --> 00:08:29,770
12,8 kg ist 3 Standardabweichungen über dem Durchschnitt.

177
00:08:29,770 --> 00:08:34,100
Wir wollen also die Wahrscheinlichkeit wissen, ein Ergebnis mehr

178
00:08:34,100 --> 00:08:36,250
als 3 Standardabweichungen über dem Durchschnitt zu haben.

179
00:08:36,250 --> 00:08:42,170
Das ist diese Fläche hier in orange gekennzeichnet.

180
00:08:42,170 --> 00:08:44,310
Vielleicht sollte ich eine andere Farbe dafür nehmen,

181
00:08:44,310 --> 00:08:45,280
um es hervorzuheben.

182
00:08:45,280 --> 00:08:48,575
Das ist dieser lange Abfall hier, diese kleine Fläche.

183
00:08:48,575 --> 00:08:51,020
Was ist also diese Wahrscheinlichkeit?

184
00:08:51,020 --> 00:08:53,420
Gehen wir wieder zur Empirischen Regel zurück.

185
00:08:53,420 --> 00:08:56,230
Wir kennen die Wahrscheinlichkeit-- diese Fläche.

186
00:08:56,230 --> 00:08:59,740
Wir kennen die Fläche zwischen -3 und +3

187
00:08:59,740 --> 00:09:01,960
Standardabweichungen.

188
00:09:01,960 --> 00:09:04,090
Da das die letzte Aufgabe ist, kann ich die ganze

189
00:09:04,090 --> 00:09:08,200
Fläche hier einfärben. Wir wissen, dass diese Fläche hier

190
00:09:08,200 --> 00:09:14,300
zwischen -3 und +3 gleich 99,7% ist.

191
00:09:14,300 --> 00:09:16,830
Der Großteil der Ergebnisse fällt hierunter.

192
00:09:16,830 --> 00:09:17,940
Eigentlich fast alle.

193
00:09:17,940 --> 00:09:20,320
Was bleibt also für die beiden Enden überig.

194
00:09:20,320 --> 00:09:21,220
Merkt euch: Es gibt 2 Enden.

195
00:09:21,220 --> 00:09:22,330
Das ist eines davon.

196
00:09:22,330 --> 00:09:24,630
Dann hat man die Ergebnisse weniger als 3

197
00:09:24,630 --> 00:09:25,730
Standardabweichungen unter dem Durchschnitt.

198
00:09:25,730 --> 00:09:27,480
Dieses Ende genau hier.

199
00:09:27,480 --> 00:09:32,160
Das sagt uns, dass dies, weniger als 3 Standardabweichungen

200
00:09:32,160 --> 00:09:35,280
unter dem Durchschnitt und mehr als 3 Standardabweichungen

201
00:09:35,280 --> 00:09:39,150
über dem Durchschnitt, kombiniert den Rest ergeben muss.

202
00:09:39,150 --> 00:09:46,530
Der Rest, nun es bleiben nur 0,3% übrig.

203
00:09:46,530 --> 00:09:48,250
Und diese beiden hier sind asymmetrisch.

204
00:09:48,250 --> 00:09:49,620
Sie sind gleich.

205
00:09:49,620 --> 00:09:54,880
Das hier muss die Hälfte von diesem sein oder 0,15%

206
00:09:54,880 --> 00:09:59,160
und das hier ist 0,15%.

207
00:09:59,160 --> 00:10:03,650
Die Wahrscheinlichkeit, ein 1 Jahr altes weibliches Baby in

208
00:10:03,650 --> 00:10:07,250
den USA mit einem Gewicht von mehr als 12,8 kg zu haben, nimmt man

209
00:10:07,250 --> 00:10:10,490
eine perfekte Normalverteilung als Fläche unter dieser Kurve an,

210
00:10:10,490 --> 00:10:13,040
die Fläche, die mehr als 3 Standardabweichungen

211
00:10:13,040 --> 00:10:14,250
über dem Durchschnitt ist.

212
00:10:14,250 --> 00:10:21,760
Und das ist 0,15%

213
00:10:21,760 --> 00:10:24,410
Ich hoffe, ihr fandet dies hilfreich.