Behandeln wir ein weiteres Beispiel vom Abschnitt Normalverteilung
aus dem AP Statistikbuch von ck12.org.
Ich nutze ihres, da es Open Source ist und
eigentlich ein ganz gutes Buch ist.
Die Beispiele sind, denke ich, gute Übung für uns.
Also, schauen wir, Nummer 3.
Man kann auf ihre Webseite gehen und
ich denke, auch ihr Buch runterladen.
"Angenommen der Durchschnitt acht 1 Jahre alter Mädchen in den USA
ist normalverteilt bzw. normalverteilt mit
im Schnitt 9,5 g."
Das müssen Kilogramm sein.
Ich habe einen 10 Monate alten Sohn, der
ca. 20 Pfund, also ca. 9 kg wiegt, nicht 9,5 g.
9,5 g sind nichts.
Da wären wir bei kleinen Mäusen oder so.
Das müssen kg sein.
Aber egal, es sind ca. 9,5 kg mit einer
Standardabweichung von ca. 1,1 g.
Der Durchschnitt ist also gleich 9,5 kg
und die Standardabweichung gleich 1,1 g.
Ohne Taschenrechner zu nutzen - ein interessanter Hinweis -
schätze den Prozentsatz 1 Jahr alter Mädchen in den USA,
die folgende Bedingungen erfüllen.
Wenn gesagt wird "ohne Taschenrechner",
ist das ein wichtiger Hinweis darauf, dass man
die Empirische Regel anwenden muss.
Empirische Regel wird manchmal 68-95-99.7 Regel genannt.
Wenn ihr euch erinnert, das ist der Name der Regel,
ihr habt euch einfach die Regel gemerkt.
Sie sagt uns, dass wir eine Normalverteilung haben.
Ich erkläre es zunächst ein wenig, bevor wir
uns diesem Problem widmen.
Haben wir eine Normalverteilung -
lasst mich eine Normalverteilung zeichnen.
Sie sieht etwa so aus.
Meine Normalverteilung.
Sie sieht nicht perfekt aus, aber ihr versteht, was ich meine.
Es sollte symmetrisch sein.
Das hier ist unser Durchschnitt.
Gehen wir eine Standardabweichung über und
1 unter den Durchschnitt... das ist unser Durchschnitt
plus 1 Standardabweichung.
Und das unser Durchschnitt minus 1 Standardabweichung.
Die Wahrscheinlichkeit, bei perfekter Normalverteilung
ein Ergebnis zu finden, welches zwischen 1 Standardabweichung
unter und 1 Standardabweichung über dem Durchschnitt liegt,
dieser Bereich hier, das wären,
ihr könnt schätzen, 68%.
68% Chance, dass man einen Wert innerhalb 1
Standardabweichung vom Durchschnitt erhält.
Entweder 1 Standardabweichung über oder unter
oder irgendwie dazwischen.
Sprechen wir nun über Standardabweichungen um den Durchschnitt
herum -- gehen wir eine weitere Standardabweichung runter,
und nochmal eine Standardabweichung hierhin,
und eine weitere Standardabweichung über den Durchschnitt--
und wir müssten uns fragen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist,
etwas zwischen diesen beiden, in diesem Abschnitt zu finden,
dann sind es, ihr könnt es erraten, 95%.
Und das schließt diesen mittleren Abschnitt hier ein.
DIe 68% sind eine Teilmenge dieser 95%.
Und ich denke ihr wisst, wo das hinführt.
Gehen wir 3 Standardabweichungen unter und
über den Durchschnitt, sagt uns die Empirische Regel bzw. die 68-95-99,7 Regel,
dass eine 99,7%ige Chance besteht, eine Ergebnis in
der Normalverteilung zu finden, welches innerhalb
3 Standardabweichungen vom Durchschnitt liegt.
Also 3 Standardabweichungen unter und
3 Standardabweichungen über dem Durchschnitt.
Das sagt uns die Empirische Regel.
Schauen wir nun, ob wir sie bei dieser Aufgabe anwenden können.
Sie geben uns den Durchschnitt und die Standardabweichung vor.
Ich zeichne das mal auf.
Zuerst meine Achse, so gut wie ich kann.
Dann die glockenförmige Kurve.
Das das beste, was ich freihand zeichnen kann.
Und der Durchschnitt hier ist 9, das sollte symmetrisch sein.
Diese Höhe sollte gleich dieser hier sein.
Ich denke ihr versteht das Konzept.
Ich bin kein Computer.
9,5 ist der Durchschnitt.
Ich schreibe keine Einheiten.
Es ist alles in kg.
1 Standardabweichung über dem Durchschnitt sollten wir 1,1 dazuaddieren,
da sie uns die Standardabweichung von 1,1 vorgeben.
Das ist 10,6.
Ich zeichne hier noch eine gestrichelte Linie.
Gehen wir 1 Standardabweichung unter den Durchschnitt,
subtrahieren wir 1,1 von 9,5 und erhalten 8,4.
Gehen wir 2 Standardabweichungen über den Durchschnitt,
addieren wir hier nochmal eine Standardabweichung.
Richtig?
Wir gehen 1 Standardabweichung,
2 Standardabweichungen.
Das führt uns zu 11,7.
Und gingen wir 3 Standardweichungen,
würden wir wieder 1,1 addieren.
Das brächte uns zu 12,8.
Auf der anderen Seite, 1 Standardabweichung
unter dem Durchschnitt ist 8,4.
2 Standardabweichungen unter dem Durchschnitt--
wieder 1,1 subtrahieren-- wären 7,3.
Und dann 3 Standardabweichungen unter dem Durchschnitt--
das schreiben wir hier hin-- wären 6,2 kg.
Das ist nun also der Aufbau unseres Problems.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein 1 Jahr altes
Mädchen in den USA zu finden, das weniger als 8,4 kg wiegt.
Oder ich sollte besser sagen, wessen
Masse ist weniger als 8,4 kg.
Hier: Die Wahrscheinlichkeit, ein weibliches Baby zu finden,
welches 1 Jahr alt ist und eine Masse bzw. Gewicht
von weniger als 8,4 kg, das ist diese Fläche hier.
Ich sage Masse, da kg die Einheit für Masse ist.
Die meisten nutzen es auch als Gewicht.
Das ist also diese Fläche hier.
Wie können wir nun die Fläche unter dieser
Normalverteilung mithifle der Empirischen Regel ermitteln?
Nun, wir kennen diese Fläche.
Wir wissen, was diese Fläche zwischen -1 Standardabweichung
und +1 Standardabweichung ist.
Wir wissen, dass sie 68% ist.
Sind das hier 68%, dann heißt das auch, das die
Fläche außerhalb der Mitte 32% ist.
Denn die Fläche unter der ganzen Normalverteilung
ist 100 oder 100% oder 1, abhängig davon, wie man es betrachtet.
Denn alle Möglichkeiten miteinander
kombiniert können nur 1 ergeben.
Man kann nicht mehr als 100% haben.
Addieren wir diesen und diesen Abschnitt,
ergibt das den Rest.
Also 100 minus 68, sind 32.
32%
32% erhält man bei Addieren dieses und
dieses Abschnittes hier.
Und das ist eine perfekte Normalverteilung.
Eine Normalverteilung war vorgegeben.
Damit ist es also perfekt symmetrisch.
Wenn diese beiden Abschnitte also zusammen 32 ergeben,
beide aber symmetrisch sind, also dieselbe Fläche haben,
dann ist diese Seite hier-- ich mache es in pink--
sieht mehr wie violett aus-- 16%.
Und diese Seite hier wäre 16%.
Die Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis von mehr als
1 Standardabweichung über dem Durchschnitt zu erhalten,
also diese Seite hier, wäre 16%
Oder die Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis von weniger als
1 Standardabweichung unter dem Durchschnitt zu haben, genau hier, 16%.
Sie wollen also die Wahrscheinlichkeit eines
1 Jahr alten Babys von weniger als 8,4 kg haben.
Weinger als 8,4 kg ist diese Fläche genau hier.
Und das sind 16%.
Also 16% für Teil (a).
Jetzt Teil (b): "Zwischen 7,3 und 11,7 kg."
Zwischen 7,3 - das ist genau hier.
Das sind 2 Standardabweichungen unter dem Durchschnitt- und 11,7 - 1,
2 Standardabweichungen über dem Durchschnitt.
Es wird im Prinzip nach der Wahrscheinlichkeit gefragt,
ein Ergebnis innerhalb 2 Standardabweichungen
vom Durchschnitt zu erhalten, richtig?
Das hier ist der Durchschnitt.
Das sind 2 Standardabweichungen darunter.
Das sind 2 Standardabweichungen darüber.
Nun, das ist relativ direkt.
Die Empirische Regel sagt uns, dass man zwischen 2 Standardabweichungen
eine 95%ige Chance hat, ein Ergebnis zu erhalten, welches innerhalb
2 Standardabweichungen liegt.
Die Empirische Regel gibt uns diese Antwort einfach.
Und schließlich Teil (c): Die Wahrscheinlichkeit, ein 1 Jahr
altes US weibliches Baby mit mehr als 12,8 kg zu haben.
12,8 kg ist 3 Standardabweichungen über dem Durchschnitt.
Wir wollen also die Wahrscheinlichkeit wissen, ein Ergebnis mehr
als 3 Standardabweichungen über dem Durchschnitt zu haben.
Das ist diese Fläche hier in orange gekennzeichnet.
Vielleicht sollte ich eine andere Farbe dafür nehmen,
um es hervorzuheben.
Das ist dieser lange Abfall hier, diese kleine Fläche.
Was ist also diese Wahrscheinlichkeit?
Gehen wir wieder zur Empirischen Regel zurück.
Wir kennen die Wahrscheinlichkeit-- diese Fläche.
Wir kennen die Fläche zwischen -3 und +3
Standardabweichungen.
Da das die letzte Aufgabe ist, kann ich die ganze
Fläche hier einfärben. Wir wissen, dass diese Fläche hier
zwischen -3 und +3 gleich 99,7% ist.
Der Großteil der Ergebnisse fällt hierunter.
Eigentlich fast alle.
Was bleibt also für die beiden Enden überig.
Merkt euch: Es gibt 2 Enden.
Das ist eines davon.
Dann hat man die Ergebnisse weniger als 3
Standardabweichungen unter dem Durchschnitt.
Dieses Ende genau hier.
Das sagt uns, dass dies, weniger als 3 Standardabweichungen
unter dem Durchschnitt und mehr als 3 Standardabweichungen
über dem Durchschnitt, kombiniert den Rest ergeben muss.
Der Rest, nun es bleiben nur 0,3% übrig.
Und diese beiden hier sind asymmetrisch.
Sie sind gleich.
Das hier muss die Hälfte von diesem sein oder 0,15%
und das hier ist 0,15%.
Die Wahrscheinlichkeit, ein 1 Jahr altes weibliches Baby in
den USA mit einem Gewicht von mehr als 12,8 kg zu haben, nimmt man
eine perfekte Normalverteilung als Fläche unter dieser Kurve an,
die Fläche, die mehr als 3 Standardabweichungen
über dem Durchschnitt ist.
Und das ist 0,15%
Ich hoffe, ihr fandet dies hilfreich.