Introductie tot Limieten (HD)

Introductie tot Limieten (HD)

In deze video wil ik je vertrouwd maken met het idee van een limiet, wat een super belangrijk idee is.

Het is het idee waar heel calculus op is gebaseerd.

Maar ondanks dat het zo super belangrijk is, is het een heel simpel idee.

Ik teken hier een functie -- nee wacht, ik omschrijf hier een functie.

Een best wel simpele functie. We omschrijven f(x): f(x) wordt (x-1)/(x-1).

Nu denk je misschien: "Hee Sal, kijk, ik heb hetzelfde in de teller en in de noemer.

Als ik iets door zichzelf deel is dat gewoon 1! Kan ik dit niet gewoon herleiden tot f(x)=1?"

En dan zou ik zeggen: "Nou, je hebt bijna gelijk. Het verschil tussen f(x)=1 en dit ding hier,

is dat dit ongedefinieerd is als x=1. Dus als je neemt -- dit schrijf ik even op -- als je hebt

f van 1, wat gebeurt er? In de teller krijg je (1-1), en dat is -- dit schrijf ik ook even op--

in de teller krijg je 0, en in de noemer krijg je (1-1), en dat is ook 0.

Alles gedeeld door 0, dus ook 0/0, is ongedefinieerd. Je kan dus gaan herleiden -- je kan zeggen

dat dit hetzelfde is als f(x)=1, maar dan moet je de voorwaarde toevoegen dat x geen 1 kan zijn.

Nu zijn deze twee gelijk.. Ze zijn allebei 1, voor alle x'en die geen 1 zijn,

maar bij x=1 wordt het ongedefinieerd. Deze is ongedefinieerd en deze is ongedefinieerd. Dus hoe kan ik deze grafiek tekenen?

Dat gaan we even doen... Dat is mijn y=f(x)-as, en dit hier is mijn x-as, en dan zeggen we,

dit is het punt x=1 en dit hier is dan x=-1, dit is y=1 en hier kan ik y=-1 zetten

maar dat is niet echt relevant aan de functie die we hier hebben, en ik ga hem eens tekenen. Het is in wezen voor

elke x behalve 1, wordt f(x) gelijk aan 1. Het gaat er dus zo uitzien... behalve bij 1. Bij 1, is f(x) niet omschreven , dus

ik laat hier een gaatje open, deze cirkel, om aan te geven dat deze functie

niet is gedefinieerd -- we weten niet waar deze functie op 1 gelijk aan is, dat hebben we nooit omschreven.

Deze functie vertelt ons niet wat we moeten doen op 1 -- het is letterlijk ongedefinieerd als x=1.

Dus dit is de functie hier, en als iemand je dus vraagt wat het is op f(1), kan je zeggen...

even kijken, dit is de omschreven functie, dan kijken we bij x=1. Ow wacht, er zit een gat in mijn functie hier,

het is niet omschreven. Dus laat me dat nog een keer opschrijven... Het is een beetje overbodig, maar ik schrijf het nog een keer op.

f(1) is niet omschreven. Ongedefinieerd. Maar wat nou als ik vraag, wat is de functie die

x=1 nadert? En dit begint te lijken op het idee van een limiet. Als x steeds dichter bij 1 komt...

waar nadert de functie aan? Waar komt het de hele tijd dichter bij?

Aan de linkerkant is, hoe dicht je ook bij 1 zit, als je maar niet op 1 zit, f(x) gelijk aan 1.

Hier aan de rechterkant is het hetzelfde verhaal. Je kan dus zeggen -- en je raakt

hier meer vertrouwd mee als we meer voorbeelden behandelen -- dat het limiet als

x (lim, kort voor limiet) - als x nadert aan 1, van f(x) is gelijk aan...

We kunnen oneindig dicht bij 1 zitten, als we maar niet op 1 komen...

Dan is onze functie gelijk aan 1. Het komt dichter en dichter bij 1,

Het is eigenlijk de hele tijd al 1. We kunnen in dit geval zeggen, het limiet, met x nadert tot 1, van f(x),

is 1. Het is dus heel fancy opgeschreven, maar wat we eigenlijk bedoelen is: "Wat nadert de functie

als x steeds dichter bij 1 komt?"

Laat me een ander voorbeeld geven waar we te maken hebben met een curve, zodat je daar een beetje een beeld bij krijgt.

Laten we zeggen dat je de functie hebt f(x) -- nee wacht, laten we hem voor de verandering eens g(x) noemen.

Zeg dat we hebben g(x) = -- dit kan ik zo opschrijven -- we zeggen g(x) is x²

als x geen 2 is, en we zeggen dat als x=2, is g(x) 1. Het is dus een wat interessante

functie die, zoals je zal zien, niet helemaal continu is. Hij heeft een onderbreking. Dat ga ik even tekenen.

Dit is mijn y=f(x)-as, dit hier is mijn x-as. Laten we zeggen dat dit is x=1, dit is x=2

dit is -1, dit is -2... Dus overal behalve x=2, is het gelijk aan x². Dit teken ik zo,

dit wordt een parabool, dat ziet er ongeveer zo uit...

Ik maak mijn parabool even iets mooier. Het ziet er ongeveer zo uit, niet echt de mooist

getekende parabool in de geschiedenis van het tekenen van parabolen, maar ik denk dat het je wel een idee geeft van hoe een parabool

eruit ziet. Het zou symmetrisch moeten zijn... Nog eens proberen, want deze is best lelijk.

Ah dat is beter, ok, dit wordt hem.

Dit is de grafiek van x², maar het is niet x² als x=2. Dus, nogmaals, als x=2,

hebben we hier een onderbreking, dus daar maak ik een gaatje,

want als x=2, is de functie gelijk aan 1.

Ik teken ze niet op dezelfde schaal... Op de grafiek van f(x)=x² zou dit 4 zijn, dit 2,

dit zou 1 zijn, dus dit 3. Dus, x=2, onze functie is gelijk aan 1.

Dit is nogal een rare functie, maar je kan een functie zo omschrijven, je kan een functie omschrijven

hoe je hem ook maar wil! Dus, merk op dat het precies de grafiek van f(x)=x² is, behalve als je bij 2 bent,

daar heeft het een gaatje, omdat je niet "f(x)=x²" gebruikt als x=2, dan gebruik je "f(x)=1".

Sorry ik zei f(x), dat moest g(x) zijn.

Je gebruikt g(x)=1, dus op precies 2 schiet hij omlaag naar 1, en dan gaat hij weer verder met x².

Mijn vraag is: nee wacht, een paar dingen eerst: Als ik de functie bekijk voor g(2),

nou, kijk naar de definitie. Oké, als x=2, dan heb ik deze situatie,

en dat zegt dat het gelijk wordt aan 1. Laat me een interessantere vraag stellen, of,

misschien een interessantere vraag. Wat is het limiet als x naar 2 loopt bij g(x)? Ja, fancy notatie, maar

het vraagt iets best simpels. Er staat: "als x steeds dichter bij 2 komt...

als je steeds dichterbij komt -- en dit is geen strikte notatie, dat komt in latere video's --

als x steeds dichter bij 2 komt, waar loopt g(x) naartoe? Dus als je op 1.9, en dan 1.999, en dan 1.999999

en dan 1.999999999, waar loopt g(x) naartoe? Of als je het vanaf de positieve kant bekijkt:

als je zegt: 2.1, wat is g(2.1)? Wat is g(2.01)? Wat is g(2.001)?

Waar loopt dat heen als we steeds dichterbij komen?

En je kan het zien door gewoon de grafiek te tekenen. Als x steeds dichter bij 2 komt...

en we volgen g over de grafiek, dan zien we dat het nadert tot 4,

ook al is dat niet waar de functie is -- de functie zakt naar 1 -- het limiet van g(x),

als x naar 2 loopt, is gelijk aan 4. Je kan dit zelfs numeriek doen met een rekenmachine.

Dat doe ik even, want ik denk dat dat er interessant uit ziet. Ik pak er even een rekenmachine bij...

Hier heb ik mijn vertrouwde TI-85 erbij... Hier is mijn rekenmachine -- Je kan numeriek zeggen,

oké, wat nadert het als je nadert tot x=2? Laten we 1,9 eens proberen. Voor x=1,9 zou je deze

bovenste regel hier gebruiken. Je hebt dus 1,9² en dan krijg je 3,61.

Nou, wat als we nog dichter bij 2 komen? Dus 1,99, dat kwadrateren we,

nu ben ik bij 3,96. Wat als ik 1,999 neem en dat kwadrateer?

Dan krijg ik 3,996. Merk op dat ik steeds dichter bij ons punt kom.

Als ik heel dichtbij kom -- 1.999999999999²? Waar kom ik? Het wordt niet echt 4,

deze rekenmachine rondt het af, omdat we een getal krijgen wat heel heel

heel dicht bij 4 ligt. We kunnen het ook van de positieve kant doen, en het zou

hetzelfde getal moeten zijn als wanneer we naderen vanaf de onderkant, als we het getal naderen

vanaf de bovenkant. Dus als we 2,1² proberen, krijgen we 4,4...

Ik sla een paar stappen over...

2,0001². We zitten nu veel dichter bij 2. We komen ook veel dichter bij 4.

Hoe dichter we bij 2 komen, hoe dichter we bij 4 lijken te kijken.

Dus nogmaals, dit is de numerieke manier van zien dat het limiet met x naderend tot 2

van g(x) -- ook al is de functie op 2 zelf gelijk aan 1, omdat het niet continu is --

het limiet als we naderen tot 2: we komen steeds dichter bij 4.