WEBVTT 00:00:00.063 --> 00:00:07.132 In deze video wil ik je vertrouwd maken met het idee van een limiet, wat een super belangrijk idee is. 00:00:07.132 --> 00:00:10.813 Het is het idee waar heel calculus op is gebaseerd. 00:00:10.828 --> 00:00:17.036 Maar ondanks dat het zo super belangrijk is, is het een heel simpel idee. 00:00:17.036 --> 00:00:21.075 Ik teken hier een functie -- nee wacht, ik omschrijf hier een functie. 00:00:21.075 --> 00:00:32.800 Een best wel simpele functie. We omschrijven f(x): f(x) wordt (x-1)/(x-1). 00:00:32.800 --> 00:00:36.084 Nu denk je misschien: "Hee Sal, kijk, ik heb hetzelfde in de teller en in de noemer. 00:00:36.084 --> 00:00:42.421 Als ik iets door zichzelf deel is dat gewoon 1! Kan ik dit niet gewoon herleiden tot f(x)=1?" 00:00:42.421 --> 00:00:47.944 En dan zou ik zeggen: "Nou, je hebt bijna gelijk. Het verschil tussen f(x)=1 en dit ding hier, 00:00:47.944 --> 00:00:57.638 is dat dit ongedefinieerd is als x=1. Dus als je neemt -- dit schrijf ik even op -- als je hebt 00:00:57.653 --> 00:01:07.267 f van 1, wat gebeurt er? In de teller krijg je (1-1), en dat is -- dit schrijf ik ook even op-- 00:01:07.267 --> 00:01:14.605 in de teller krijg je 0, en in de noemer krijg je (1-1), en dat is ook 0. 00:01:14.605 --> 00:01:26.764 Alles gedeeld door 0, dus ook 0/0, is ongedefinieerd. Je kan dus gaan herleiden -- je kan zeggen 00:01:26.764 --> 00:01:36.867 dat dit hetzelfde is als f(x)=1, maar dan moet je de voorwaarde toevoegen dat x geen 1 kan zijn. 00:01:36.867 --> 00:01:43.133 Nu zijn deze twee gelijk.. Ze zijn allebei 1, voor alle x'en die geen 1 zijn, 00:01:43.133 --> 00:01:51.340 maar bij x=1 wordt het ongedefinieerd. Deze is ongedefinieerd en deze is ongedefinieerd. Dus hoe kan ik deze grafiek tekenen? 00:01:51.340 --> 00:02:10.496 Dat gaan we even doen... Dat is mijn y=f(x)-as, en dit hier is mijn x-as, en dan zeggen we, 00:02:10.496 --> 00:02:22.799 dit is het punt x=1 en dit hier is dan x=-1, dit is y=1 en hier kan ik y=-1 zetten 00:02:22.799 --> 00:02:28.267 maar dat is niet echt relevant aan de functie die we hier hebben, en ik ga hem eens tekenen. Het is in wezen voor 00:02:28.267 --> 00:02:42.600 elke x behalve 1, wordt f(x) gelijk aan 1. Het gaat er dus zo uitzien... behalve bij 1. Bij 1, is f(x) niet omschreven , dus 00:02:42.600 --> 00:02:47.800 ik laat hier een gaatje open, deze cirkel, om aan te geven dat deze functie 00:02:47.800 --> 00:02:52.400 niet is gedefinieerd -- we weten niet waar deze functie op 1 gelijk aan is, dat hebben we nooit omschreven. 00:02:52.400 --> 00:03:00.333 Deze functie vertelt ons niet wat we moeten doen op 1 -- het is letterlijk ongedefinieerd als x=1. 00:03:00.333 --> 00:03:09.113 Dus dit is de functie hier, en als iemand je dus vraagt wat het is op f(1), kan je zeggen... 00:03:09.113 --> 00:03:14.467 even kijken, dit is de omschreven functie, dan kijken we bij x=1. Ow wacht, er zit een gat in mijn functie hier, 00:03:14.467 --> 00:03:21.148 het is niet omschreven. Dus laat me dat nog een keer opschrijven... Het is een beetje overbodig, maar ik schrijf het nog een keer op. 00:03:21.148 --> 00:03:30.313 f(1) is niet omschreven. Ongedefinieerd. Maar wat nou als ik vraag, wat is de functie die 00:03:30.313 --> 00:03:44.708 x=1 nadert? En dit begint te lijken op het idee van een limiet. Als x steeds dichter bij 1 komt... 00:03:44.708 --> 00:03:51.837 waar nadert de functie aan? Waar komt het de hele tijd dichter bij? 00:03:51.837 --> 00:03:58.909 Aan de linkerkant is, hoe dicht je ook bij 1 zit, als je maar niet op 1 zit, f(x) gelijk aan 1. 00:03:58.909 --> 00:04:04.790 Hier aan de rechterkant is het hetzelfde verhaal. Je kan dus zeggen -- en je raakt 00:04:04.790 --> 00:04:10.631 hier meer vertrouwd mee als we meer voorbeelden behandelen -- dat het limiet als 00:04:10.631 --> 00:04:24.933 x (lim, kort voor limiet) - als x nadert aan 1, van f(x) is gelijk aan... 00:04:24.933 --> 00:04:29.311 We kunnen oneindig dicht bij 1 zitten, als we maar niet op 1 komen... 00:04:29.311 --> 00:04:33.190 Dan is onze functie gelijk aan 1. Het komt dichter en dichter bij 1, 00:04:33.190 --> 00:04:39.684 Het is eigenlijk de hele tijd al 1. We kunnen in dit geval zeggen, het limiet, met x nadert tot 1, van f(x), 00:04:39.684 --> 00:04:45.395 is 1. Het is dus heel fancy opgeschreven, maar wat we eigenlijk bedoelen is: "Wat nadert de functie 00:04:45.395 --> 00:04:48.133 als x steeds dichter bij 1 komt?" 00:04:48.133 --> 00:04:54.021 Laat me een ander voorbeeld geven waar we te maken hebben met een curve, zodat je daar een beetje een beeld bij krijgt. 00:04:54.021 --> 00:05:02.533 Laten we zeggen dat je de functie hebt f(x) -- nee wacht, laten we hem voor de verandering eens g(x) noemen. 00:05:02.533 --> 00:05:09.852 Zeg dat we hebben g(x) = -- dit kan ik zo opschrijven -- we zeggen g(x) is x² 00:05:09.852 --> 00:05:26.082 als x geen 2 is, en we zeggen dat als x=2, is g(x) 1. Het is dus een wat interessante 00:05:26.082 --> 00:05:34.133 functie die, zoals je zal zien, niet helemaal continu is. Hij heeft een onderbreking. Dat ga ik even tekenen. 00:05:34.133 --> 00:05:48.225 Dit is mijn y=f(x)-as, dit hier is mijn x-as. Laten we zeggen dat dit is x=1, dit is x=2 00:05:48.225 --> 00:06:01.825 dit is -1, dit is -2... Dus overal behalve x=2, is het gelijk aan x². Dit teken ik zo, 00:06:01.825 --> 00:06:08.636 dit wordt een parabool, dat ziet er ongeveer zo uit... 00:06:08.636 --> 00:06:18.308 Ik maak mijn parabool even iets mooier. Het ziet er ongeveer zo uit, niet echt de mooist 00:06:18.308 --> 00:06:24.341 getekende parabool in de geschiedenis van het tekenen van parabolen, maar ik denk dat het je wel een idee geeft van hoe een parabool 00:06:24.341 --> 00:06:32.991 eruit ziet. Het zou symmetrisch moeten zijn... Nog eens proberen, want deze is best lelijk. 00:06:32.991 --> 00:06:38.467 Ah dat is beter, ok, dit wordt hem. 00:06:38.467 --> 00:06:48.867 Dit is de grafiek van x², maar het is niet x² als x=2. Dus, nogmaals, als x=2, 00:06:48.867 --> 00:06:55.428 hebben we hier een onderbreking, dus daar maak ik een gaatje, 00:06:55.428 --> 00:07:00.478 want als x=2, is de functie gelijk aan 1. 00:07:00.478 --> 00:07:09.566 Ik teken ze niet op dezelfde schaal... Op de grafiek van f(x)=x² zou dit 4 zijn, dit 2, 00:07:09.616 --> 00:07:23.547 dit zou 1 zijn, dus dit 3. Dus, x=2, onze functie is gelijk aan 1. 00:07:23.547 --> 00:07:27.856 Dit is nogal een rare functie, maar je kan een functie zo omschrijven, je kan een functie omschrijven 00:07:27.856 --> 00:07:36.667 hoe je hem ook maar wil! Dus, merk op dat het precies de grafiek van f(x)=x² is, behalve als je bij 2 bent, 00:07:36.667 --> 00:07:48.252 daar heeft het een gaatje, omdat je niet "f(x)=x²" gebruikt als x=2, dan gebruik je "f(x)=1". 00:07:48.252 --> 00:07:50.848 Sorry ik zei f(x), dat moest g(x) zijn. 00:07:50.848 --> 00:08:04.914 Je gebruikt g(x)=1, dus op precies 2 schiet hij omlaag naar 1, en dan gaat hij weer verder met x². 00:08:04.914 --> 00:08:11.241 Mijn vraag is: nee wacht, een paar dingen eerst: Als ik de functie bekijk voor g(2), 00:08:11.241 --> 00:08:15.933 nou, kijk naar de definitie. Oké, als x=2, dan heb ik deze situatie, 00:08:15.933 --> 00:08:21.538 en dat zegt dat het gelijk wordt aan 1. Laat me een interessantere vraag stellen, of, 00:08:21.538 --> 00:08:32.149 misschien een interessantere vraag. Wat is het limiet als x naar 2 loopt bij g(x)? Ja, fancy notatie, maar 00:08:32.149 --> 00:08:38.502 het vraagt iets best simpels. Er staat: "als x steeds dichter bij 2 komt... 00:08:38.502 --> 00:08:42.240 als je steeds dichterbij komt -- en dit is geen strikte notatie, dat komt in latere video's -- 00:08:42.240 --> 00:08:52.979 als x steeds dichter bij 2 komt, waar loopt g(x) naartoe? Dus als je op 1.9, en dan 1.999, en dan 1.999999 00:08:52.979 --> 00:09:00.518 en dan 1.999999999, waar loopt g(x) naartoe? Of als je het vanaf de positieve kant bekijkt: 00:09:00.518 --> 00:09:06.656 als je zegt: 2.1, wat is g(2.1)? Wat is g(2.01)? Wat is g(2.001)? 00:09:06.656 --> 00:09:09.995 Waar loopt dat heen als we steeds dichterbij komen? 00:09:09.995 --> 00:09:15.733 En je kan het zien door gewoon de grafiek te tekenen. Als x steeds dichter bij 2 komt... 00:09:15.733 --> 00:09:20.518 en we volgen g over de grafiek, dan zien we dat het nadert tot 4, 00:09:20.518 --> 00:09:26.545 ook al is dat niet waar de functie is -- de functie zakt naar 1 -- het limiet van g(x), 00:09:26.545 --> 00:09:33.405 als x naar 2 loopt, is gelijk aan 4. Je kan dit zelfs numeriek doen met een rekenmachine. 00:09:33.405 --> 00:09:39.907 Dat doe ik even, want ik denk dat dat er interessant uit ziet. Ik pak er even een rekenmachine bij... 00:09:39.907 --> 00:09:49.041 Hier heb ik mijn vertrouwde TI-85 erbij... Hier is mijn rekenmachine -- Je kan numeriek zeggen, 00:09:49.041 --> 00:09:57.995 oké, wat nadert het als je nadert tot x=2? Laten we 1,9 eens proberen. Voor x=1,9 zou je deze 00:09:57.995 --> 00:10:05.549 bovenste regel hier gebruiken. Je hebt dus 1,9² en dan krijg je 3,61. 00:10:05.549 --> 00:10:11.683 Nou, wat als we nog dichter bij 2 komen? Dus 1,99, dat kwadrateren we, 00:10:11.683 --> 00:10:21.683 nu ben ik bij 3,96. Wat als ik 1,999 neem en dat kwadrateer? 00:10:21.683 --> 00:10:27.991 Dan krijg ik 3,996. Merk op dat ik steeds dichter bij ons punt kom. 00:10:27.991 --> 00:10:37.546 Als ik heel dichtbij kom -- 1.999999999999²? Waar kom ik? Het wordt niet echt 4, 00:10:37.546 --> 00:10:41.508 deze rekenmachine rondt het af, omdat we een getal krijgen wat heel heel 00:10:41.508 --> 00:10:47.456 heel dicht bij 4 ligt. We kunnen het ook van de positieve kant doen, en het zou 00:10:47.456 --> 00:10:52.083 hetzelfde getal moeten zijn als wanneer we naderen vanaf de onderkant, als we het getal naderen 00:10:52.083 --> 00:11:00.702 vanaf de bovenkant. Dus als we 2,1² proberen, krijgen we 4,4... 00:11:00.702 --> 00:11:02.902 Ik sla een paar stappen over... 00:11:02.902 --> 00:11:09.256 2,0001². We zitten nu veel dichter bij 2. We komen ook veel dichter bij 4. 00:11:09.256 --> 00:11:12.929 Hoe dichter we bij 2 komen, hoe dichter we bij 4 lijken te kijken. 00:11:12.929 --> 00:11:20.333 Dus nogmaals, dit is de numerieke manier van zien dat het limiet met x naderend tot 2 00:11:20.333 --> 00:11:25.000 van g(x) -- ook al is de functie op 2 zelf gelijk aan 1, omdat het niet continu is -- 00:11:25.000 --> 00:11:31.070 het limiet als we naderen tot 2: we komen steeds dichter bij 4.