[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.06,0:00:07.13,Default,,0000,0000,0000,,In deze video wil ik je vertrouwd maken met het idee van een limiet, wat een super belangrijk idee is.
Dialogue: 0,0:00:07.13,0:00:10.81,Default,,0000,0000,0000,,Het is het idee waar heel calculus op is gebaseerd.
Dialogue: 0,0:00:10.83,0:00:17.04,Default,,0000,0000,0000,,Maar ondanks dat het zo super belangrijk is, is het een heel simpel idee.
Dialogue: 0,0:00:17.04,0:00:21.08,Default,,0000,0000,0000,,Ik teken hier een functie -- nee wacht, ik omschrijf hier een functie.
Dialogue: 0,0:00:21.08,0:00:32.80,Default,,0000,0000,0000,,Een best wel simpele functie. We omschrijven f(x): f(x) wordt (x-1)/(x-1).
Dialogue: 0,0:00:32.80,0:00:36.08,Default,,0000,0000,0000,,Nu denk je misschien: "Hee Sal, kijk, ik heb hetzelfde in de teller en in de noemer.
Dialogue: 0,0:00:36.08,0:00:42.42,Default,,0000,0000,0000,,Als ik iets door zichzelf deel is dat gewoon 1! Kan ik dit niet gewoon herleiden tot f(x)=1?"
Dialogue: 0,0:00:42.42,0:00:47.94,Default,,0000,0000,0000,,En dan zou ik zeggen: "Nou, je hebt bijna gelijk. Het verschil tussen f(x)=1 en dit ding hier,
Dialogue: 0,0:00:47.94,0:00:57.64,Default,,0000,0000,0000,,is dat dit ongedefinieerd is als x=1. Dus als je neemt -- dit schrijf ik even op -- als je hebt
Dialogue: 0,0:00:57.65,0:01:07.27,Default,,0000,0000,0000,,f van 1, wat gebeurt er? In de teller krijg je (1-1), en dat is -- dit schrijf ik ook even op--
Dialogue: 0,0:01:07.27,0:01:14.60,Default,,0000,0000,0000,,in de teller krijg je 0, en in de noemer krijg je (1-1), en dat is ook 0.
Dialogue: 0,0:01:14.60,0:01:26.76,Default,,0000,0000,0000,,Alles gedeeld door 0, dus ook 0/0, is ongedefinieerd. Je kan dus gaan herleiden -- je kan zeggen
Dialogue: 0,0:01:26.76,0:01:36.87,Default,,0000,0000,0000,,dat dit hetzelfde is als f(x)=1, maar dan moet je de voorwaarde toevoegen dat x geen 1 kan zijn.
Dialogue: 0,0:01:36.87,0:01:43.13,Default,,0000,0000,0000,,Nu zijn deze twee gelijk.. Ze zijn allebei 1, voor alle x'en die geen 1 zijn,
Dialogue: 0,0:01:43.13,0:01:51.34,Default,,0000,0000,0000,,maar bij x=1 wordt het ongedefinieerd. Deze is ongedefinieerd en deze is ongedefinieerd. Dus hoe kan ik deze grafiek tekenen?
Dialogue: 0,0:01:51.34,0:02:10.50,Default,,0000,0000,0000,,Dat gaan we even doen... Dat is mijn y=f(x)-as, en dit hier is mijn x-as, en dan zeggen we,
Dialogue: 0,0:02:10.50,0:02:22.80,Default,,0000,0000,0000,,dit is het punt x=1 en dit hier is dan x=-1, dit is y=1 en hier kan ik y=-1 zetten
Dialogue: 0,0:02:22.80,0:02:28.27,Default,,0000,0000,0000,,maar dat is niet echt relevant aan de functie die we hier hebben, en ik ga hem eens tekenen. Het is in wezen voor
Dialogue: 0,0:02:28.27,0:02:42.60,Default,,0000,0000,0000,,elke x behalve 1, wordt f(x) gelijk aan 1. Het gaat er dus zo uitzien... behalve bij 1. Bij 1, is f(x) niet omschreven , dus
Dialogue: 0,0:02:42.60,0:02:47.80,Default,,0000,0000,0000,,ik laat hier een gaatje open, deze cirkel, om aan te geven dat deze functie
Dialogue: 0,0:02:47.80,0:02:52.40,Default,,0000,0000,0000,,niet is gedefinieerd -- we weten niet waar deze functie op 1 gelijk aan is, dat hebben we nooit omschreven.
Dialogue: 0,0:02:52.40,0:03:00.33,Default,,0000,0000,0000,,Deze functie vertelt ons niet wat we moeten doen op 1 -- het is letterlijk ongedefinieerd als x=1.
Dialogue: 0,0:03:00.33,0:03:09.11,Default,,0000,0000,0000,,Dus dit is de functie hier, en als iemand je dus vraagt wat het is op f(1), kan je zeggen...
Dialogue: 0,0:03:09.11,0:03:14.47,Default,,0000,0000,0000,,even kijken, dit is de omschreven functie, dan kijken we bij x=1. Ow wacht, er zit een gat in mijn functie hier,
Dialogue: 0,0:03:14.47,0:03:21.15,Default,,0000,0000,0000,,het is niet omschreven. Dus laat me dat nog een keer opschrijven... Het is een beetje overbodig, maar ik schrijf het nog een keer op.
Dialogue: 0,0:03:21.15,0:03:30.31,Default,,0000,0000,0000,,f(1) is niet omschreven. Ongedefinieerd. Maar wat nou als ik vraag, wat is de functie die
Dialogue: 0,0:03:30.31,0:03:44.71,Default,,0000,0000,0000,,x=1 nadert? En dit begint te lijken op het idee van een limiet. Als x steeds dichter bij 1 komt...
Dialogue: 0,0:03:44.71,0:03:51.84,Default,,0000,0000,0000,,waar nadert de functie aan? Waar komt het de hele tijd dichter bij?
Dialogue: 0,0:03:51.84,0:03:58.91,Default,,0000,0000,0000,,Aan de linkerkant is, hoe dicht je ook bij 1 zit, als je maar niet op 1 zit, f(x) gelijk aan 1.
Dialogue: 0,0:03:58.91,0:04:04.79,Default,,0000,0000,0000,,Hier aan de rechterkant is het hetzelfde verhaal. Je kan dus zeggen -- en je raakt
Dialogue: 0,0:04:04.79,0:04:10.63,Default,,0000,0000,0000,,hier meer vertrouwd mee als we meer voorbeelden behandelen -- dat het limiet als
Dialogue: 0,0:04:10.63,0:04:24.93,Default,,0000,0000,0000,,x (lim, kort voor limiet) - als x nadert aan 1, van f(x) is gelijk aan...
Dialogue: 0,0:04:24.93,0:04:29.31,Default,,0000,0000,0000,,We kunnen oneindig dicht bij 1 zitten, als we maar niet op 1 komen...
Dialogue: 0,0:04:29.31,0:04:33.19,Default,,0000,0000,0000,,Dan is onze functie gelijk aan 1. Het komt dichter en dichter bij 1,
Dialogue: 0,0:04:33.19,0:04:39.68,Default,,0000,0000,0000,,Het is eigenlijk de hele tijd al 1. We kunnen in dit geval zeggen, het limiet, met x nadert tot 1, van f(x),
Dialogue: 0,0:04:39.68,0:04:45.40,Default,,0000,0000,0000,,is 1. Het is dus heel fancy opgeschreven, maar wat we eigenlijk bedoelen is: "Wat nadert de functie
Dialogue: 0,0:04:45.40,0:04:48.13,Default,,0000,0000,0000,,als x steeds dichter bij 1 komt?"
Dialogue: 0,0:04:48.13,0:04:54.02,Default,,0000,0000,0000,,Laat me een ander voorbeeld geven waar we te maken hebben met een curve, zodat je daar een beetje een beeld bij krijgt.
Dialogue: 0,0:04:54.02,0:05:02.53,Default,,0000,0000,0000,,Laten we zeggen dat je de functie hebt f(x) -- nee wacht, laten we hem voor de verandering eens g(x) noemen.
Dialogue: 0,0:05:02.53,0:05:09.85,Default,,0000,0000,0000,,Zeg dat we hebben g(x) = -- dit kan ik zo opschrijven -- we zeggen g(x) is x²
Dialogue: 0,0:05:09.85,0:05:26.08,Default,,0000,0000,0000,,als x geen 2 is, en we zeggen dat als x=2, is g(x) 1. Het is dus een wat interessante
Dialogue: 0,0:05:26.08,0:05:34.13,Default,,0000,0000,0000,,functie die, zoals je zal zien, niet helemaal continu is. Hij heeft een onderbreking. Dat ga ik even tekenen.
Dialogue: 0,0:05:34.13,0:05:48.22,Default,,0000,0000,0000,,Dit is mijn y=f(x)-as, dit hier is mijn x-as. Laten we zeggen dat dit is x=1, dit is x=2
Dialogue: 0,0:05:48.22,0:06:01.82,Default,,0000,0000,0000,,dit is -1, dit is -2... Dus overal behalve x=2, is het gelijk aan x². Dit teken ik zo,
Dialogue: 0,0:06:01.82,0:06:08.64,Default,,0000,0000,0000,,dit wordt een parabool, dat ziet er ongeveer zo uit...
Dialogue: 0,0:06:08.64,0:06:18.31,Default,,0000,0000,0000,,Ik maak mijn parabool even iets mooier. Het ziet er ongeveer zo uit, niet echt de mooist
Dialogue: 0,0:06:18.31,0:06:24.34,Default,,0000,0000,0000,,getekende parabool in de geschiedenis van het tekenen van parabolen, maar ik denk dat het je wel een idee geeft van hoe een parabool
Dialogue: 0,0:06:24.34,0:06:32.99,Default,,0000,0000,0000,,eruit ziet. Het zou symmetrisch moeten zijn... Nog eens proberen, want deze is best lelijk.
Dialogue: 0,0:06:32.99,0:06:38.47,Default,,0000,0000,0000,,Ah dat is beter, ok, dit wordt hem.
Dialogue: 0,0:06:38.47,0:06:48.87,Default,,0000,0000,0000,,Dit is de grafiek van x², maar het is niet x² als x=2. Dus, nogmaals, als x=2,
Dialogue: 0,0:06:48.87,0:06:55.43,Default,,0000,0000,0000,,hebben we hier een onderbreking, dus daar maak ik een gaatje,
Dialogue: 0,0:06:55.43,0:07:00.48,Default,,0000,0000,0000,,want als x=2, is de functie gelijk aan 1.
Dialogue: 0,0:07:00.48,0:07:09.57,Default,,0000,0000,0000,,Ik teken ze niet op dezelfde schaal... Op de grafiek van f(x)=x² zou dit 4 zijn, dit 2,
Dialogue: 0,0:07:09.62,0:07:23.55,Default,,0000,0000,0000,,dit zou 1 zijn, dus dit 3. Dus, x=2, onze functie is gelijk aan 1.
Dialogue: 0,0:07:23.55,0:07:27.86,Default,,0000,0000,0000,,Dit is nogal een rare functie, maar je kan een functie zo omschrijven, je kan een functie omschrijven
Dialogue: 0,0:07:27.86,0:07:36.67,Default,,0000,0000,0000,,hoe je hem ook maar wil! Dus, merk op dat het precies de grafiek van f(x)=x² is, behalve als je bij 2 bent,
Dialogue: 0,0:07:36.67,0:07:48.25,Default,,0000,0000,0000,,daar heeft het een gaatje, omdat je niet "f(x)=x²" gebruikt als x=2, dan gebruik je "f(x)=1".
Dialogue: 0,0:07:48.25,0:07:50.85,Default,,0000,0000,0000,,Sorry ik zei f(x), dat moest g(x) zijn.
Dialogue: 0,0:07:50.85,0:08:04.91,Default,,0000,0000,0000,,Je gebruikt g(x)=1, dus op precies 2 schiet hij omlaag naar 1, en dan gaat hij weer verder met x².
Dialogue: 0,0:08:04.91,0:08:11.24,Default,,0000,0000,0000,,Mijn vraag is: nee wacht, een paar dingen eerst: Als ik de functie bekijk voor g(2),
Dialogue: 0,0:08:11.24,0:08:15.93,Default,,0000,0000,0000,,nou, kijk naar de definitie. Oké, als x=2, dan heb ik deze situatie,
Dialogue: 0,0:08:15.93,0:08:21.54,Default,,0000,0000,0000,,en dat zegt dat het gelijk wordt aan 1. Laat me een interessantere vraag stellen, of,
Dialogue: 0,0:08:21.54,0:08:32.15,Default,,0000,0000,0000,,misschien een interessantere vraag. Wat is het limiet als x naar 2 loopt bij g(x)? Ja, fancy notatie, maar
Dialogue: 0,0:08:32.15,0:08:38.50,Default,,0000,0000,0000,,het vraagt iets best simpels. Er staat: "als x steeds dichter bij 2 komt...
Dialogue: 0,0:08:38.50,0:08:42.24,Default,,0000,0000,0000,,als je steeds dichterbij komt -- en dit is geen strikte notatie, dat komt in latere video's --
Dialogue: 0,0:08:42.24,0:08:52.98,Default,,0000,0000,0000,,als x steeds dichter bij 2 komt, waar loopt g(x) naartoe? Dus als je op 1.9, en dan 1.999, en dan 1.999999
Dialogue: 0,0:08:52.98,0:09:00.52,Default,,0000,0000,0000,,en dan 1.999999999, waar loopt g(x) naartoe? Of als je het vanaf de positieve kant bekijkt:
Dialogue: 0,0:09:00.52,0:09:06.66,Default,,0000,0000,0000,,als je zegt: 2.1, wat is g(2.1)? Wat is g(2.01)? Wat is g(2.001)?
Dialogue: 0,0:09:06.66,0:09:09.100,Default,,0000,0000,0000,,Waar loopt dat heen als we steeds dichterbij komen?
Dialogue: 0,0:09:09.100,0:09:15.73,Default,,0000,0000,0000,,En je kan het zien door gewoon de grafiek te tekenen. Als x steeds dichter bij 2 komt...
Dialogue: 0,0:09:15.73,0:09:20.52,Default,,0000,0000,0000,,en we volgen g over de grafiek, dan zien we dat het nadert tot 4,
Dialogue: 0,0:09:20.52,0:09:26.54,Default,,0000,0000,0000,,ook al is dat niet waar de functie is -- de functie zakt naar 1 -- het limiet van g(x),
Dialogue: 0,0:09:26.54,0:09:33.40,Default,,0000,0000,0000,,als x naar 2 loopt, is gelijk aan 4. Je kan dit zelfs numeriek doen met een rekenmachine.
Dialogue: 0,0:09:33.40,0:09:39.91,Default,,0000,0000,0000,,Dat doe ik even, want ik denk dat dat er interessant uit ziet. Ik pak er even een rekenmachine bij...
Dialogue: 0,0:09:39.91,0:09:49.04,Default,,0000,0000,0000,,Hier heb ik mijn vertrouwde TI-85 erbij... Hier is mijn rekenmachine -- Je kan numeriek zeggen,
Dialogue: 0,0:09:49.04,0:09:57.100,Default,,0000,0000,0000,,oké, wat nadert het als je nadert tot x=2? Laten we 1,9 eens proberen. Voor x=1,9 zou je deze
Dialogue: 0,0:09:57.100,0:10:05.55,Default,,0000,0000,0000,,bovenste regel hier gebruiken. Je hebt dus 1,9² en dan krijg je 3,61.
Dialogue: 0,0:10:05.55,0:10:11.68,Default,,0000,0000,0000,,Nou, wat als we nog dichter bij 2 komen? Dus 1,99, dat kwadrateren we,
Dialogue: 0,0:10:11.68,0:10:21.68,Default,,0000,0000,0000,,nu ben ik bij 3,96. Wat als ik 1,999 neem en dat kwadrateer?
Dialogue: 0,0:10:21.68,0:10:27.99,Default,,0000,0000,0000,,Dan krijg ik 3,996. Merk op dat ik steeds dichter bij ons punt kom.
Dialogue: 0,0:10:27.99,0:10:37.55,Default,,0000,0000,0000,,Als ik heel dichtbij kom -- 1.999999999999²? Waar kom ik? Het wordt niet echt 4,
Dialogue: 0,0:10:37.55,0:10:41.51,Default,,0000,0000,0000,,deze rekenmachine rondt het af, omdat we een getal krijgen wat heel heel
Dialogue: 0,0:10:41.51,0:10:47.46,Default,,0000,0000,0000,,heel dicht bij 4 ligt. We kunnen het ook van de positieve kant doen, en het zou
Dialogue: 0,0:10:47.46,0:10:52.08,Default,,0000,0000,0000,,hetzelfde getal moeten zijn als wanneer we naderen vanaf de onderkant, als we het getal naderen
Dialogue: 0,0:10:52.08,0:11:00.70,Default,,0000,0000,0000,,vanaf de bovenkant. Dus als we 2,1² proberen, krijgen we 4,4...
Dialogue: 0,0:11:00.70,0:11:02.90,Default,,0000,0000,0000,,Ik sla een paar stappen over...
Dialogue: 0,0:11:02.90,0:11:09.26,Default,,0000,0000,0000,,2,0001². We zitten nu veel dichter bij 2. We komen ook veel dichter bij 4.
Dialogue: 0,0:11:09.26,0:11:12.93,Default,,0000,0000,0000,,Hoe dichter we bij 2 komen, hoe dichter we bij 4 lijken te kijken.
Dialogue: 0,0:11:12.93,0:11:20.33,Default,,0000,0000,0000,,Dus nogmaals, dit is de numerieke manier van zien dat het limiet met x naderend tot 2
Dialogue: 0,0:11:20.33,0:11:25.00,Default,,0000,0000,0000,,van g(x) -- ook al is de functie op 2 zelf gelijk aan 1, omdat het niet continu is --
Dialogue: 0,0:11:25.00,0:11:31.07,Default,,0000,0000,0000,,het limiet als we naderen tot 2: we komen steeds dichter bij 4.