最大公約数

2つの数の最大公約数を求める4つの例題．
ここでは2つの数の約数をまず並べて最大のものをみつけます．

最大公約数，または最大共因数の

ビデオにようこそ．

ではまず，誰かがあなたに，

12 と 8 の最大公約数は何かと尋ねたら?

あるいは 12 と 8 の最大共因数は何かと尋ねたら?

ここにある C は common (共通) の C です．

なぜこんなふうになったんでしょうね．

実はこの2つは同じことを尋ねています．

約数というのは単になにかを割る(=約する)
ことができる数です．

そして因数は，それらをかけることである数になる数，
ということは割ることができる数ですね．

ですから約数も因数も同じようなものです．

ちょっと周り道をしましたが，問題に答えましょう．

12 と 8 の最大公約数，または

最大共因数は何ですか?

ここですることはとても素直な方法です．

まずはそれぞれの数の因数をみつけましょう．

まずは12 の全ての因数を書きましょう．

1 は因数です．2 も 12 を割り切ります．

3 も 12 を割り切ります．

4 は 12 を割り切ります．

5 は 12 を割れません．

6 は 12 を割ります，というのも 2 かける 6 だからです．

そしてもちろん 12 は 12 を割り切ります．

1 かける 12 です．

これらが 12 の因数です．

8 の因数を書きましょう．

まず，1 は 8 を割り切ります．

2 は 8 を割り切ります．

3 は 8 を割り切りません．

4 は 8 を割り切ります．

そして最後の因数は 1 とペアの 8 です．

12 と 8 の全部の因数を書きました．

12 と 8 の共通の因数をみつけましょう．

1 は両方に共通の因数ですね．

そしてこれは特別なことではありません．

全ての自然数，

または，全ての整数は 1 を共通の因数に持ちます．

両方とも 2 という共通の因数を持ちます．

4 も両方の数に共通しています．

ここでは共通の因数に興味があるのではありません．

ここでは最大の共通の因数に興味があります．

全ての共通の因数は 1, 2, 4 です．

最大のものはどれですか?

これは簡単ですね．

4 です．

12 と 8 の最大共因数は 4 です．

強調するためにそれを書いてみます．

12 と 8 の最大共因数は 4 に等しい．

もちろん，既に言いましたが，

12 と 8 の最大公約数は 4 に等しいです．

時々ちょっと変なことになりますね．

もう1つの問題を解いてみましょう．

25 と 20 の最大公約数は何でしょうか?

同じ方法でやってみましょう．

25の因数は?

まずは 1 です．

2 はこれを割り切りません．

3 はこれを割り切りません．

4 はこれを割り切りません．

5 は割り切ります．

これは実は 5 かける 5 です．

そして 25 です．

興味深いことに，これは 3 つしか因数がありません．

なぜこの数が 3 つの因数しかないのか考えてみて下さい．

他の数は普通は偶数の因数を持ちます．

では 20 の因数を考えましょう．

20 の因数は 1,2,4,5,10,20です．

これを調べてみると，

そうですね．両方に 1 があります．
しかしこれは特別なことではありません．

しかし両方の数は共通の因数として何がありますか?

もちろん -- 5 ですね．

25 と 20 の最大公約数，あるいは最大共因数は，

5 に等しいです．

もう1つ他の問題をやってみましょう．

5 と 12 の最大共因数は何ですか?

5 の因数は?

簡単ですね．

1 と 5 です．

これは素数ですから，

1 と それ自身以外の因数はありません．

12 の因数は何ですか?

12 はたくさんの因数を持ちます．

1， 2， 3， 4， 6， 12 です．

すると 1 しか共通の因数がないようですね．

その通りです．ちょっと失望しましたね．

5 と 12 の最大共因数は 1 です．

ここでちょっと用語について話をしましょう．

2 つの数の最大共因数が 1 しかない場合，

それらは互いに素と呼ばれます．

この用語はある意味が筋が通りますね．というのも素数は

1 とそれ自身しか因数を持たないものですし，

2 つの互いに素の数は，

最大共因数が 1 しかない数の組のことです．

まあ，脇道はこれくらいにしましょう．

他の問題を解いてみましょう．

6 と 12 の最大公約数を求めましょう．

いつも 12 ばかり使っていますね．

数を考える時にはもう少しクリエイティブに
考えたほうがいいですね．

では，6 と 12 の最大公約数は?

まずは 6 の因数，

それは 1， 2， 3， 6 です．

12 の因数は: 1， 2， 3， ---

もう多分覚えてしまったのではないでしょうか?

3, 4， 6， 12 です．

1 は両方の数に共通する因数です．

2 も両方の数に共通する因数です．

3 も両方の数に共通する因数です．

そして 6 も両方の数に共通する因数です．

もちろん，どれが一番大きな共因数ですかと聞けば?

6 ですね．

これは興味深い．

この場合，最大公約数は， --

毎回約数と因数を入れかえていますね，すみません．

数学の人達はどっちか1つに意見をまとめるべきですね．
(訳注:日本語では最大公約数でいいと思います．)

6 と 12 の最大公約数は 6 です．

つまり実はこの数の片方の数です．

そしてそれは筋が通りますね．

なぜなら，6 は 12 を割り切るからです．

まあ，ここまでにしましょう．

最大公約数について問題を解く準備ができたら

嬉しいです．

そのうちもう1つのモジュールを作ろうかと思います．

そこではもっと練習問題をやりましょう．