最大公約数,または最大共因数の
ビデオにようこそ.
ではまず,誰かがあなたに,
12 と 8 の最大公約数は何かと尋ねたら?
あるいは 12 と 8 の最大共因数は何かと尋ねたら?
ここにある C は common (共通) の C です.
なぜこんなふうになったんでしょうね.
実はこの2つは同じことを尋ねています.
約数というのは単になにかを割る(=約する)
ことができる数です.
そして因数は,それらをかけることである数になる数,
ということは割ることができる数ですね.
ですから約数も因数も同じようなものです.
ちょっと周り道をしましたが,問題に答えましょう.
12 と 8 の最大公約数,または
最大共因数は何ですか?
ここですることはとても素直な方法です.
まずはそれぞれの数の因数をみつけましょう.
まずは12 の全ての因数を書きましょう.
1 は因数です.2 も 12 を割り切ります.
3 も 12 を割り切ります.
4 は 12 を割り切ります.
5 は 12 を割れません.
6 は 12 を割ります,というのも 2 かける 6 だからです.
そしてもちろん 12 は 12 を割り切ります.
1 かける 12 です.
これらが 12 の因数です.
8 の因数を書きましょう.
まず,1 は 8 を割り切ります.
2 は 8 を割り切ります.
3 は 8 を割り切りません.
4 は 8 を割り切ります.
そして最後の因数は 1 とペアの 8 です.
12 と 8 の全部の因数を書きました.
12 と 8 の共通の因数をみつけましょう.
1 は両方に共通の因数ですね.
そしてこれは特別なことではありません.
全ての自然数,
または,全ての整数は 1 を共通の因数に持ちます.
両方とも 2 という共通の因数を持ちます.
4 も両方の数に共通しています.
ここでは共通の因数に興味があるのではありません.
ここでは最大の共通の因数に興味があります.
全ての共通の因数は 1, 2, 4 です.
最大のものはどれですか?
これは簡単ですね.
4 です.
12 と 8 の最大共因数は 4 です.
強調するためにそれを書いてみます.
12 と 8 の最大共因数は 4 に等しい.
もちろん,既に言いましたが,
12 と 8 の最大公約数は 4 に等しいです.
時々ちょっと変なことになりますね.
もう1つの問題を解いてみましょう.
25 と 20 の最大公約数は何でしょうか?
同じ方法でやってみましょう.
25の因数は?
まずは 1 です.
2 はこれを割り切りません.
3 はこれを割り切りません.
4 はこれを割り切りません.
5 は割り切ります.
これは実は 5 かける 5 です.
そして 25 です.
興味深いことに,これは 3 つしか因数がありません.
なぜこの数が 3 つの因数しかないのか考えてみて下さい.
他の数は普通は偶数の因数を持ちます.
では 20 の因数を考えましょう.
20 の因数は 1,2,4,5,10,20です.
これを調べてみると,
そうですね.両方に 1 があります.
しかしこれは特別なことではありません.
しかし両方の数は共通の因数として何がありますか?
もちろん -- 5 ですね.
25 と 20 の最大公約数,あるいは最大共因数は,
5 に等しいです.
もう1つ他の問題をやってみましょう.
5 と 12 の最大共因数は何ですか?
5 の因数は?
簡単ですね.
1 と 5 です.
これは素数ですから,
1 と それ自身以外の因数はありません.
12 の因数は何ですか?
12 はたくさんの因数を持ちます.
1, 2, 3, 4, 6, 12 です.
すると 1 しか共通の因数がないようですね.
その通りです.ちょっと失望しましたね.
5 と 12 の最大共因数は 1 です.
ここでちょっと用語について話をしましょう.
2 つの数の最大共因数が 1 しかない場合,
それらは互いに素と呼ばれます.
この用語はある意味が筋が通りますね.というのも素数は
1 とそれ自身しか因数を持たないものですし,
2 つの互いに素の数は,
最大共因数が 1 しかない数の組のことです.
まあ,脇道はこれくらいにしましょう.
他の問題を解いてみましょう.
6 と 12 の最大公約数を求めましょう.
いつも 12 ばかり使っていますね.
数を考える時にはもう少しクリエイティブに
考えたほうがいいですね.
では,6 と 12 の最大公約数は?
まずは 6 の因数,
それは 1, 2, 3, 6 です.
12 の因数は: 1, 2, 3, ---
もう多分覚えてしまったのではないでしょうか?
3, 4, 6, 12 です.
1 は両方の数に共通する因数です.
2 も両方の数に共通する因数です.
3 も両方の数に共通する因数です.
そして 6 も両方の数に共通する因数です.
もちろん,どれが一番大きな共因数ですかと聞けば?
6 ですね.
これは興味深い.
この場合,最大公約数は, --
毎回約数と因数を入れかえていますね,すみません.
数学の人達はどっちか1つに意見をまとめるべきですね.
(訳注:日本語では最大公約数でいいと思います.)
6 と 12 の最大公約数は 6 です.
つまり実はこの数の片方の数です.
そしてそれは筋が通りますね.
なぜなら,6 は 12 を割り切るからです.
まあ,ここまでにしましょう.
最大公約数について問題を解く準備ができたら
嬉しいです.
そのうちもう1つのモジュールを作ろうかと思います.
そこではもっと練習問題をやりましょう.