แบบฝึกหัดเอกเซล เรื่องการกระจายตัวแบบปกติ

(ยาว-26 นาที) การนำเสนอตารางคำนวณ ที่แสดงว่า การกระจายตัวแบบปกติ ประมาณการกระจายแบบทวินามที่มีการทดลองเป็นจำนวนมาก

ในวิดีโอนี้, เราจะพูดถึงสิ่งที่อาจเรียกได้ว่า

เป็นหลักการสำคัญที่สุดในวิชาสถิติทั้งหมด

ถ้าคุณดูในทุกสาขาทางวิทยาศาสตร์ คุณอาจ

บอกได้ว่า มันคือหลักการที่สำคัญที่สุด

ผมมักบอกคนอื่นว่า มันน่าเศร้าที่เขาไม่ได้พูดถึง

เรื่องนี้หลักสูตรหลัก

ทุกคนควรรู้จักมัน เพราะมันเกี่ยวข้องกับ

ทุกแง่มุมในชีวิต มันคือการกระจายตัวแบบปกติ

หรือการกระจายตัวแบบเกาส์ หรือโค้งระฆัง

และเพื่อเป็นการแนะนำให้คุณรู้จักมัน,

บทนำนี้อาจดูแปลกหน่อย แต่เมื่อเรา

ผ่านวิดีโอนี้ไป หวังว่าคุณจะได้สัญชาตญาณ

ว่ามันเกี่ยวข้องกับอะไร

การกระจายตัวแบบเกาส์ หรือการกระจายตัวแบบปกติ

สองคำนี้หมายถึงของอย่างเดียวกัน

ที่จริงแล้วเกาส์ เป็นคนที่ตั้งมันขึ้นมา

ผมว่าเขากำลังศึกษาปรากฏการณ์ทางดาราศาสตร์

ตอนที่เขาคิดขึ้น

มันก็คือฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น อย่างที่เราเรียน

การกระจายตัวแบบปัวซอง

มันเป็นแบบนั้น

ให้คุณลองดู มันจะเป็นแบบนี้

ความน่าจะเป็นที่จะได้ x, มันคือชุด

ฟังก์ชันการกระจายตัวของความน่าจะเป็น

เช่นเดียวกับการกระจายตัวแบบทวินาม กับ

การกระจายตัวแบบปัวซอง, มันขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ต่างๆ

นี่คือแบบที่คุณมักเห็นในหนังสือเรียนแบบดั้งเดิม

หลายเล่ม และถ้าเรามีเวลา, ผมอยาก

ใช้พีชคณิตจัดรูป ให้มันดูตรงกับสัญชาตญาณ

ว่ามันเป็นอย่างไรอีกที

หรือบางทีเราอาจได้แนวคิด

ว่ามันมาจากไหน

ผมจะไม่พิสูจน์มันในวิดีโอนี้, มันเกิน

ขอบเขตมากไปหน่อย

แม้ว่า, ผมอยากทำมัน และมันมีคณิตศาสตร์

เนี๊ยบมากที่อาจโผล่ขึ้นมา

ถ้าคุณชอบคณิตศาสตร์ มันมีบางอย่างที่เรียกว่า

สูตรของสเตอร์ลิง คุณอาจลองค้นหาในวิกิพีเดีย,

มันเป็นเรื่องที่น่าตื่นเต้นมาก

มันประมาณแฟคทอเรียล

ให้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

แต่ผมจะไม่พูดถึงมันตอนนี้

การกระจายตัวแบบปกติ คือ 1 ส่วน -- นี่คือวิธี

ที่เขาเขียนโดยทั่วไป -- ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน คูณ

สแควร์รูทของ 2 ไพ คูณ e กำลัง ลบ 1/2

ทีนี้, ผมชอบเขียนมันแบบนี้, มันจำง่ายกว่า,

คูณค่าอะไรก็ตามที่คุณจะหา ลบ ค่าเฉลี่ยของ

การกระจายตัว หารด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของ

การกระจายตัวกำลังสอง

แล้วถ้าคุณคิดดู, มันเป็นสิ่งที่ดี

ที่น่าลองสังเกตตรรงนี้

นี่คือระยะที่ผมห่างจากค่าเฉลี่ย และเราหารมัน

ด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของการกระจายตัว

นี่คือการดูกระจายตัวแบบปกติที่ผมได้พลอต

เส้นสีม่วงตรงนี้ คือการกระจายตัวแบบปกติ

ตอนแรก แบบฝึกหัดนี้ -- ผมรู้ว่าผมโดดไปโดดมามาก

ไปหน่อย -- ผมอยากแสดงให้คุณเห็นว่าการกระจายตัวแบบปกติ

เป็นการประมาณการกระจายตัวแบบทวินามที่ดี และในทางกลับกันด้วย

ถ้าคุณสุ่มค่าจากการกระจายตัวแบบทวินามมากพอ และ

เราจะพูดถึงเรื่องนั้นในไม่ช้า

สัญชาตญาณของเทอมนี่ตรงนี้ ผมว่า

มันน่าสนใจ เพราะเรากำลังบอกว่า ระยะที่เราห่างไป

จากค่าเฉลี่ยนั้น เราจับมันหารด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ดังนั้นเทอมนี่ตรงนี้ คือจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ที่เราห่างจากค่าเฉลี่ย

นี่เรียกว่าคะแนน z มาตรฐาน

สิ่งหนึ่งที่ผมพบในวิชาสถิติ คือมันมีนิยาม

มากมาย และมันมีชื่อสวยหรูมาก,

อย่างคะแนน z มาตรฐาน

แต่หลักการเบื้องหลังนั้นตรงไปตรงมา

สมมุติว่าผมมีการกระจายตัวความน่าจะเป็น และผมได้ค่า x

ตรงนั้น และมันห่างจากค่าเฉลี่ย 3 ครึ่งเท่าของค่าเบี่ยงบน

มาตรฐาน, แล้วคะแนน z มาตรฐาน

คือ 3 ครึ่ง

เอาล่ะ, กลับไปที่จุดประสงค์ของวิดีโอนี้ต่อ

นั่นก็คือการกระจายตัวแบบปกติ, นั่นคือ

หน้าตาของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น สำหรับ

การกระจายตัวแบบปตกิ

แล้วมันมาจากไหน?

ตอนท้ายวิดีโอนี้ อย่างน้อยคุณควรรู้สึก

เข้าใจว่า นี่คือการประมาณกระจายตัวแบบทวินามที่ดี

ถ้าคุณสุ่มตัวอย่างมามากพอ

และนั่นคือสิ่งที่น่าตื่นตาตื่นใจเกี่ยวกับการการะจายตัวแบบปกติ

คือว่า ถ้าคุณหาผลบวก -- ผมจะทำวิดีโออีกอันเกี่ยวกับ

ทฤษฏีบทแนวโน้มสู่ศูนย์กลาง -- แต่ถ้าคุณหาผลบวก

ของการสุ่มอิสระเข้าหาอนันต์, การกระจายตัว

ของผลบวก, แม้ว่ากระจายตัวของการสุ่ม

แต่ละตัวอาจไม่ใช่แบบปกติ แต่การกระจายตัว

ของผลบวกของการสุ่มเหล่านั้นทั้งหมด จะเข้าหาการกระจายตัว

แบบปกติ

ผมจะพูดถึงมันอีกทีหลัง

แต่นั่นคือสาเหตุที่มันเป็นการกระจายตัวที่ดี มันอยู่ใน

ปรากฏการณ์ต่างๆ มากมาย

ถ้าคุณสร้างแบบจำลองรูปแบบสภาพอากาศ หรือ

ปฎิกิริยาของยา และเราจะพูดถึงอีกว่าเมื่อไหร่มันถึงใช้ได้

และเมื่อไหร่มันถึงใช้ไม่ได้

อยางเช่น บางครั้งบางคนสมมุติว่ามีการกระจายตัว

แบบปกติในเรื่องการเงิน และเราเห็นแล้วว่ามีวิกฤตการเงิน

เกิดขึ้น ซึ่งทำให้หลายอย่างพังไป

เอาล่ะ, ลองทำกลับมาที่ตรงนี้

นี่คือตารางคำนวณตรงนี้

ผมทำฉากหลังเป็นสีดำ และคุณสามารถดาวน์โหลดมันได้ที่

khanacademy.org/downloads ที่จริง, ถ้าคุณเข้าไป,

คุณจะเห็นสิ่งที่ดาวน์โหลดได้ทั้งหมด

ผมยังไม่ได้ใส่มันไว้, ผมจะใส่ลงไปหลังจากที่ผม

บันทึกวิดีโอเสร็จแล้ว downloads/normal

distribution.xls

ถ้าคุณเข้าไปที่ khanacademy.org/download/

คุณจะเห็นทุกอย่างตรงนี้ แล้วคุณจะเห็น

ตารางคำนวณนี้

ผมแนะนำให้คุณลองเล่น หรือบางทีลองสร้างตารางคำนวณ

ที่คุณทดลองเล่นกับมันได้

แล้วตารางคำนวณนี้ สิ่งที่เราทำคือ เราเล่นเกม หรือ

สมมุติว่าผมนั่งอยู่บนถนน, แล้วผมโยนเหรียญ, ผมโยนเหรียญ

ที่เที่ยงตรงโดยสมบูรณ์

ถ้าผมได้หัว, นี่คือหัว, ผมเดินถอยหลัง, หรือ

สมมุติว่าผมเดินไปทางซ้าย

แล้วถ้าผมได้ก้อย, ผมก้าวไปทางขวาหนึ่งก้าว

โดยทั่วไป ผมจะมี -- นี่คือเหรียญที่เที่ยงตรง

มาก -- ผมมีโอกาส 50 เปอร์เซ็นต์ที่จะ

ไปทางซ้าย และผมมีโอกาส 50 เปอร์เซ็นต์ที่จะ

ไปทางขวา

แล้วสัญชาตญาณตรงนี้คือว่า ถ้าผมบอกคุณว่า โยนเหรียญ

ทั้งหมด 100 ครั้ง แล้วคุณ

ไปทางซ้ายทางขวา

ถ้าคุณได้หัวมากๆ, คุณอาจไป

ทางซ้ายมาก

ถ้าคุณได้ก้อยมากๆ, คุณอาจไปทางขวามากๆ

เรารู้แล้วว่า โอกาสที่จะได้ก้อยบ่อยๆ หรือ

ก้อยมากกว่าหัวมากๆ นั้นต่ำกว่า

การได้หัวก้อยเท่ากัน หรือพอๆ กัน

ตรงนี้ สิ่งที่ผมทำ -- ขอผมเลื่อนลงหน่อยนะ

ผมไม่อยากเสียทั้งหมดไป -- คือผมมี

ข้อสมมุติตรงนี้ และผมแนะนำให้คุณลองใส่

และเปลี่ยนมันอย่างที่คุณต้องการ

นี่คือจำนวนก้าวที่ผมเดิน

นี่คือค่าเฉลี่ยของก้าวทางซ้าย และที่ผมทำคือ ผม

หาความน่าจะเป็น และเราหาค่าเฉลี่ยของ

การกระจายตัวแบบทวินาม

ค่าเฉลี่ยของการกระจายตัวแบบทวินาม ก็คือ

ความน่าจะเป็นที่ก้าวทางซ้าย คูณจำนวนการทดลอง

ทั้งหมด

นั่นจึงเท่ากับ 5, นั่นคือที่มาของเลขนั้น

แล้วความแปรปรวน -- ผมไม่แน่ใจว่าผมได้พูดถึงมันหรือยัง

และผมต้องพิสูจน์ให้คุณดู ผมจะทำวิดีโออีกอัน

เรื่องความแปรปรวนของการกระจายตัวแบบทวินาม

-- แต่นี่จะเท่ากับจำนวนการทดลอง

10 คูณความน่าจะเป็นที่ไปทางซ้าย

หรือการทดลองที่สำเร็จ -- ผมกำหนดให้การไปทางซ้าย เป็น

การทดลองที่สำเร็จ, มันอาจเป็นขวาก็ได้ -- คูณความน่าจะเป็น

ของ 1 ลบการทดลองที่สำเร็จ หรือการทดลองที่ไม่สำเร็จ

ในกรณีนี้ มันมีโอกาสเท่ากัน และนั่นคือ

ที่มาของ 2..5

และทั้งหมดนั่นอยู่บนตารางคำนวณ

ถ้าคุณคลิกที่ช่อง แล้วดูสูตร

ที่ผมใช้

แม้ว่าบางครั้ง เวลาคุณเห็นในเอกเซล มัน

มันดูน่าสับสนหน่อย

และนี่ก็แค่สแควร์รูทของเลขนั้น

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก็แค่

สแควร์รูทของความแปรปรวน

นั่นก็แค่สแควร์รูทของ 2.5

แล้วถ้าคุณดูตรงนี้, มันบอกว่า, โอเค,

ความน่าจะเป็นที่ผมเดิน 0 ก้าวเป็นเท่าไหร่?

ถ้าผมเดินทั้งหมด 10 ก้าว -- เพื่อให้เข้าใจ

ตารางคำนวณนี้ -- ความน่าจะเป็นที่

ผมได้ไปทางซ้าย 0 ก้าวเป็นเท่าไหร่?

ขอผมบอกให้ชัดอีกที, ถ้าผมเดินไปทางซ้าย 0 ก้าว, นั่นหมายความว่า

ผมต้องเดินไปทางขวา 10 ก้าว

แล้วผมก็คำนวณความน่าจะเป็นนี่ -- ผมควร

ลากเส้นตรงนี้หน่อย -- ผมคำนวณนี่โดยใช้

การกระจายตัวแบบทวินาม

แล้วผมจะทำอย่างไร?

ขอผมเปลี่ยนสีหน่อยนะ เพื่อให้

มันน่าสนใจขึ้น

พวกนี้สีม่วงหรือเปล่า?

ผมจะใช้สีฟ้าแล้วกัน

สีฟ้า (blue) สำหรับทวินาม (binomial)

แล้วผมมีอะไรตรงนี้ มีทั้งหมดกี่ก้าว?

มันมีทั้งหมด 10 ก้าว

ได้ 10 แฟคทอเรียล, นั่นคือจำนวนการทดลองที่ผมทำ

ในนั้น ผมได้ 0 ให้ไปทางซ้าย

งั้น 10 แฟคทอเรียล หารด้วย 10 ลบ 0 แฟคทอเรียล

นี่คือ 10 เลือก 0

ผมเลือกไปทางซ้าย 0 ก้าว จากจำนวนก้าว 10 ก้าว

ที่ผมเดิน คูณความน่าจะเป็นของการก้าวทางซ้าย 0 ก้าว, มันคือ

ความน่าจะเป็นของการไปทางซ้าย, ผมทำ 0 ครั้ง คูณความน่าจะเป็น

ของการไปทางขวา, และผมทำอย่างนั้น 10 ครั้ง

นั่นคือที่มาของเลขนี้, .001 นี่

นั่นคือสิ่งที่การกระจายตัวแบบทวินามบอกเรา

แล้วอันนี้ก็เหมือนกัน, 10 แฟคทอเรียล ส่วน 1 แฟคทอเรียล

ส่วน 10 ลบ 1 แฟคทอเรียล

นั่นคือวิธีที่ผมได้แต่ละค่ามา

เหมือนเดิม, ถ้าคุณคลิกที่ช่อง คุณจะ

เห็นคำอธิบาย

เราทำมาหลายครั้งแล้ว

นี่ก็แค่การคำนวณทวินาม

แล้วตรงนี้, หลังจากเส้นนี่ตรงนี้, คุณ

ก็ละมันไว้ได้

ผมทำอย่างนั้น ผมจะได้ทำหลายๆ กรณี

ตัวอย่างเช่น, ถ้าผมไปที่ตารางคำนวณ, แทนที่จะ

ทำ 10 ผมอยากทำ 20 ก้้าว, ทุกอย่างก็เปลี่ยนไป

และนั่นคือสาเหตุที่ข้างล่าง หลังจากที่คุณทำถึงจุหนึ่ง

ทุกอย่างก็ซ้ำเดิม

ผมจะปล่อยให้คุณคิดว่าทำไมผมถึงว่าอย่างนั้น

บางทีผมควรทำตารางคำนวณที่สะอาดกว่านี้

แต่มันไม่มีผลกับการพลอตแบบกระจายที่ผมทำอยู่ดี

แล้วพลอตนี้สีฟ้า, คุณอาจไม่เห็นมัน เพราะสีม่วง

เกือบทับมัน

ที่จริง ขอผมทำให้มันเล็กหน่อย คุณจะได้เห็น

สมมติว่าผมเลือก 6 ก้าว

มันยังเห็นความแตกต่างระหว่างสองอันนี้ได้ยากอยู่ดี

เหมือนเดิม ประเด็นตรงนี้คือ การเห็นว่า

การกระจายตัวแบบปกติ เป็นการประมาณที่ดี

แต่มันใกล้กันมาก จนถึงไม่เห็น

ความแตกต่างตรงนี้

ถ้าคุณเลือก 4 ก้าว, โอเค, ผมว่าคุณเห็นได้แล้วตอนนี้

ขอผมเลือกหน้าจอขึ้นมา

เส้นโค้งสีฟ้าอยู่แถวนี้

นี่คือทวินาม

มันมีจุดอยู่บ้างตรงนี้, คุณมี

จุดขึ้นไปตรงนี้

นี่คือถ้าคุณไปทางซ้าย 0 ก้าว, ซ้าย 1 ก้าว, ซ้าย 2 ก้าว,

ซ้าย 3 ก้าว, ซ้าย 4 ก้าว

แล้วผมพลอตมัน แล้วผมบอกว่า ความน่าจะเป็นเมื่อใช้

การกระจายตัวแบบทวินาทเป็นเท่าไหร่?

และนี่คือตำแหน่งสุดท้ายของผม, จริงไหม?

ถ้าผมเดินไปทางซ้าย 0 ก้าว และผมเดินไปทางขวา 4 ก้าว

ตำแหน่งสุดท้ายของผมคือ 4, นั่นคือ

กรณีตรงนี้

ขอผมเปลี่ยนเป็นสีเหลืองเหมือนเดิมนะ, มันเห็นง่ายกว่า

ถ้าผมก้าวไปทางซ้าย 4 ก้าว, ผมก็เดินไปทางขวา 0 ก้าว

และตำแหน่งสุดท้ายของผม จะอยู่ที่ ลบ 4

มันจอยู่ตรงนี้

ถ้าผมเดินซ้ายขวาเท่านั้น, นั่นคือกรณีนี้,

ผมอยู่ตรงกลาง

ผมอยู่ตรงกลางตรงนี้

ผมเดิน 2 ก้าวไปทางขวา แล้วผมเดิน 2 ก้าวไปทางซ้าย

เหมือนกัน,ผมเดินไปทางซ้าย 2 ก้าว แล้วผม

เดินไปทางขวา 2 ก้าว และสุดท้ายผมอยู่ตรงนี้

หวังว่าคุณคงพอเข้าใจนะ

โทรศัพท์ผมดังล่ะ

ผมจะไม่สนใจเพราะการกระจายตัวแบบปกติ

มันสำคัญมาก

ที่จริง, ลูกชายผมอายุ 9 สัปดาห์ กำลังดูอยู่ นี่จึงเป็น

ครั้งแรกที่ผมมีผู้ชมสด

เขาอาจซึมซับการกระจายตัวแบบปกติอยู่ก็ได้

แล้วเส้นสีฟ้าตรงนี้ -- ผมจะลากมัน บางที

ใช้สีเหลือง คุณจะได้มองเห็น -- มันคือพลอตของ

กระจายตัวแบบทวินาม

ผมลากเส้นต่อกัน แต่คุณเห็นว่าการกระจายตัวแบบทวินาม

มันจะเป็นแบบนี้มากกว่า

นี่คือความน่าจะเป็นที่ได้ ลบ 4

นี่คือความน่าจะเป็นที่ได้ ลบ 2

นี่ตรงนี้ คือความน่าจะเป็น

ที่สุดท้ายอยู่กับที่

แล้วที่คือความน่าจะเป็นที่ไปทางขวา 2 และ

นี่คือความน่าจะเป็นที่ไปทางขวา 4 หน่วย

นี่คือการกระจายตัวแบบทวินาม, ผมแค่พลอต

จุดพวกนี่ตรงนี้

นี่คือ 0.375

นี่คือ 0.375

นั่นคือความสูงของอันนั้น

ทีนี้ สิ่งที่ผมอยากแสดงให้คุณดูคือว่า การกระจายตัว

แบบปกติ นั้นประมาณการกระจายตัวแบบทวินาม

แล้วนี่ตรงนี้, ผมอยากถามว่า การกระจายตัวแบบปตกิ

บอกผมได้หรือไม่ว่า ความน่าจะเป็นที่สุดท้าย

ไปทางซ้าย 0 ก้าวเป็นเท่าไหร่?

นี่เป็นเรื่องซับซ้อนหน่อย

การกระจายตัวแบบทวินาม เป็นการกระจายตัวของความน่าจะเป็น

แบบไม่ต่อเนื่อง

คุณดูที่แผนภูมิตรงนี้ หรือดูตรงนี้ แล้วบอกว่า,

ความน่าจะเป็นที่ไปทางซ้าย 1 ก้าว และขวา

3 ก้าว ซึ่งพาผมมาตรงนี้เป็นเท่าไหร่?

ทีนี้ คุณดูที่แผนภาพนี่แล้วคุณบอกว่า, โอ้,

มันพาผมมาตรงนี้

ผมก็อ่านความน่าจะเป็นนั่น, มันคือ 0.25

แล้วผมบอกว่า, ผมมีโอกาส 25 เปอร์เซ็นต์ที่

จะอยู่ทางขวา 2 ก้าว

มันมีโอกาส 25 เปอร์เซ็นต์

ฟังก์ชันการกระจายตัวปกติ เป็นการกระจายตัวของความน่าจะเป็น

แบบปกติ มันจึงเป็นเส้นโค้งต่อเนื่อง

มันเป็นแบบนั้น, มันเป็นเส้นโค้งรูประฆังที่ไป

จนถึงอนันต์และลู่เข้าหา 0 ทั้งสองข้าง

มันออกมาเป็นแบบนั้น

นี่คือการกระจายตัวของความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง

คุณไม่สามารถะอาจุดจุดหนึ่งมา แล้วบอกว่า,

ความน่าจะเป็นที่ผมได้ 2 ฟุตทางขวาเป็นเท่าไหร่?

เพราะถ้าคุณบอกว่า มันคือความน่าจะเป็น

ที่ได้ค่านั้นพอดี -- คุณควรดูวิดีโอเรื่องฟังก์ชัน

ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสักหน่อย -- แต่

ความน่าจะเป็นที่ได้ 2 ฟุตทางขวาพอดี, พอดี, ผมหมายความว่า

ผมพูดถึงในระดับอะตอม, เข้าใกล้ 0

คุณต้องระบุช่วงรอบค่านี้

สิ่งที่ผมจะสมมุติ คืออยู่ในช่วงครึ่งฟุต

ในทั้งสองด้าน

จริงไหม?

ถ้าเราใช้หน่วยเป็นฟุต

ในการหาค่าออกมา สิ่งที่ผมทำตรงนี้ คือ ผมหาค่า

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นตรงนี้

ผมจะแสดงให้คุณดูว่าผมหามันได้อย่างไร

แล้วผมคูณมันด้วย 1

นั่นให้พื้นที่ออกมา

แล้วผมใช้มันประะมาณหาพื้นที่นี้

ถ้าคุณอยากระบุให้ชัด

สิ่งที่คุณทำคือ คุณหาอินทิกรัลของเส้นโค้งนี่ระหว่าง

จุดนี้กับจุดนี้ จะเป็นการประมาณที่ดีกว่า

เราจะทำต่อไปในอนาคต

แต่ตอนนี้ ผมอยากให้คุณได้สัญชาตญาณ

ว่าการกระจายตัวแบบทวินาม จะเข้าหาการกระจายตัว

แบบปกติจริงๆ

แล้วผมจะได้เลขนี่ตรงนี้อย่างไร?

ผมก็บอกว่า, ความน่าจะเป็นที่ผมไปทางซ้าย

1 ก้าว -- ผมเรียกก้าวซ้ายว่า ผลที่สำเร็จ -- ได้ 1 คืออะไร?

และมันเท่ากับ 1 ส่วนค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เมื่อผมใช้ก้าว 4 ก้าว ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 1

ได้ 1 ส่วน 1

ที่จริงขอผมเปลี่ยนนี่หน่อย

ขอผมเปลี่ยนมันเป็นเลขที่เยอะหน่อย

เราจะกลับไปที่ตัวอย่าง ตอนผมใช้ 10

ถ้านี่อยู่ที่ 10

ขอผมกลับไปใช้เครื่องมือวาดรูปนะ

ขอผมคำนวณนี่ก่อน

ที่จริง, ขอผมทำคิดก่อนดีกว่า

ความน่าจะเป็นที่ผมไปทางซ้าย 2 ก้าวเป็นเท่าไหร่?

ถ้าผมไปทางซ้าย 2 ก้าว ผมเดินไปจากทั้งหมด 10 ก้าว ผม

ก็ต้องไปทางขวา 8 ก้าว และนั่นพาผมมาทางขวา 6 ก้าว

นั่นคือจุดนี่ตรงนี้

แล้วความน่าจะเป็นคืออะไร?

ผมจะหานี่ โดยใช้ฟังก์ชันความหนาแน่นของ

ความน่าจะเป็นได้อย่างไร?

ผมจะหาความสูงนี้ได้อย่างไร?

ทีนี้ ผมบอว่าความน่าจะเป็นในการเดินไป 2 ก้าว -- นั่นคือ

วิธีที่ผมหามัน, ถ้าคุณคลิดที่ช่องนั่น

คุณจะเห็นว่า -- มันเท่ากับ 1 ส่วนค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

1.581 -- แล้วผมก็อ้างถึงช่องนี้ --

คูณสแควร์รูทของ 2 ไพ

ผมมักนึกถึงแนวคิดเรื่อง e กำลัง i ไพ

เท่ากับลบ 1 อะไรพวกนั้น

แต่มันมีสิ่งที่น่าสนใจอีก

คือว่า ทันใดนั้น เมื่อเราทำการทดลองสุ่มหลายๆ ครั้ง

เราได้สูตรที่มี e กับ ไพ อยู่ในสแควร์รูท แต่เหมือนเดิม

เลขสองตัวนี้ปรากฏขึ้นอีกแล้ว

มันบอกถึงอะไรบางอย่างเกี่ยวกับระเบียบ (order) ของจักรวาล

ใช้ตัว o ใหญ่ด้วย

ลองดูกันต่อ, คูณ e กำลังลบ 1/2 คูณ x

ที่นี้ x คือสิ่งที่เรากำลังจะหา, สำเร็จ 2 ครั้ง

คือไปทางซ้าย 2 ก้าว, ได้เป็น 2 ลบค่าเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยเป็น 5, 2 ลบ 5 หารด้วยค่าเบี่ยงเบน

มาตรฐาน, หารด้วย 1.581, ทั้งหมดนั่นกำลังสอง

นั่นคือที่มาของการคำนวณ

ผมบอกคุณไปในอันสุดท้ายนี่ตรงนี้ ว่าบอก

ค่านี่ตรงนี้

ถ้าผมอยากรู้ความน่าจะเป็นเป๊ะๆ

มันคือพื้นที่ของอันนี้

แลถ้าคุณคิดเป็นเส้น มันจะเป็น 0

จำไว้, ในกรณีนี้ คุณใช้ได้ 2 ฟุต เพราะเรา

กำลังพูดถึงจำนวนก้าวพอดี

แต่การกระจายตัวแบบต่อเนื่อง มันคือ

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง แล้วมันบอกเราได้หรือไม่ว่า

ความน่าจะเป็นที่ห่างออกไป 2.183 ฟุตพอดีเป็นเท่าไหร่?

แน่นอนมันเกิดขึ้นได้ ถ้าเรา

ก้าวไปทีละเศษเสี้ยวทุกครั้ง

แต่นั่นคือวิธีที่เราใช้

มันเกิดขึ้นเมื่อคุณเริ่มก้าวเป็น

จำนวนอนันต์

มันสามารถประมาณการกระจายตัวแบบไม่ต่อเนื่องได้

และวิธีที่ผมใช้ประมาณคือ, ผมบอกว่า, โอ้, ความน่าจะเป็น

ที่จะอยู่ในช่วงหนึ่งฟุตของค่านั้นเป็นเท่าไหร่

ผมก็คูณความสูงนี่, ซึ่ง

คือสิ่งที่ผมคำนวณไว้, คูณ 1

งั้นสมมุติว่านี่มีฐานเป็น 1, ในการคำนวณพื้นที่

ที่ผมใช้ประมาณ

คุณก็คูณมันด้วย 1, และนั่นคือสิ่งที่คุณได้ตรงนี้

และผมอยากแสดงให้คุณเห็น

แค่การสุ่ม 10 ครั้ง, เส้นโค้ง, การกระจายตัวแบบปกตินี่

ตรงนี้ คือสีม่วง และการกระจายตัวแบบทวินาม

เป็นสีฟ้า

พวกมันเกือบซ้อนกัน

เมื่อคุณใช้จำนวกน้าวมากขึ้น พวกมันก็เกือบทับกัน

พอดี และผมแนะนำให้คุณลองเล่น

โดยใช้ตารางคำนวณดู

ที่จริง, ขอผมแสดงให้คุณดูดีกว่ามันเข้าหากันจริงๆ

มันมีแผ่นงานเรื่อง การลู่เข้าในตารางคำนวณนี้เช่นกัน ถ้า

คุณคิดแท็บข้างล่างเรื่อง การลู่เข้า

นี่มันเหมือนกัน แต่ผมอยากแสดงให้คุณเห็นว่า

เกิดอะไรขึ้นตรงจุดที่กำหนด

ขอผมอธิบายตารางคำนวณนี่ให้คุณฟังนะ

นี่คือความน่าจะเป็นที่จะไป

ทางซ้าย, จริงไหม?

นี่ก็แค่บอกว่า, ผมตรีงจุดจุดหนึ่งที่

บอกความน่าจะเป็น -- และคุณเปลี่ยนนี่ได้ -- ตำแหน่ง

สุดท้ายเป็น 10

นี่ก็บอกคุณว่าถ้าผมเดิน 10 ก้าว,

ตำแหน่งสุดท้ายเป็น 10 ทางขวา, ผมต้องเดินไปทางขวา 10 ก้าว

และทางซ้าย 0 ก้าว

มันมีที่ผิดตรงนี้, มันตรวจเป็น moves ไม่ใช่ movest

ถ้าผมเดิน 20 ก้าว แล้วสุดท้ายอยู่ที่ 10 ก้าวไปทางขวา ผมต้องเดิน

ไปทางขวา 15 ก้าวและไปทางซ้าย 5 ก้าว

เช่นเดียวกัน, ถ้าผมเดินทั้งหมด 80 ก้าว, ถ้าผมคิดว่าโยนเหรียญ

80 ครั้งแล้วเดินไปซ้ายหรือเข้า, ในการให้ได้ 10 ก้าวทางขวา

ผมต้องเดิน 45 ก้าวไปทางขวา และ 35 ก้าวไปทางซ้าย

ไม่ว่าจะใช้ลำดับอย่างไร มันก็จะได้ 10 ก้าวไปทางขวา

แล้วสิ่งที่ผมอยากหาคือว่า, เมื่อผมเริ่มคิดจำนวน

ก้าวรวม -- ตรงนี้ ผมให้มันมากที่สุดที่ 170 -- ถ้าผมเริ่ม

โยนเหรียญเป็นอนันต์ครั้ง, ผม

อยากหาความน่าจะเป็นที่ผมได้ตำแหน่งสุดท้าย

เป็น 10 ทางขวา

และผมอยากแสดงให้คุณเห็นว่า เมื่อคุณใช้ก้าวมากขึ้น มากขึ้น

การกระจายตัวแบบทวินาม ก็ยิ่งประมาณค่า

การกระจายตัวแบบทวินามได้ดีขึ้น ดีขึ้น

แล้วตรงนี้, มันคำนวณความน่าจะเป็นแบบทวินาม,

ตามที่วิธีที่เราทำมาก่อน และคุณดูที่ช่องนี้

เพื่อหาค่าได้

ผมใช้การเดินไปทางซ้ายคือ ครั้งที่สำเร็จ

นี่ก็คือ 10 เลือก 0 และเรารู้ว่ามันคืออะไร

มันคือ 10 แฟคทอเรียล ส่วน 0 แฟคทอเรียล ส่วน 10 ลบ 0

แฟคทอเรียล คูณ 0.5 กำลัง 0 คูณ 0.5 กำลัง 10

นั่นคือที่มาของเลขนี้

ถ้าผมไปที่ตรงนี้ อันนี้คำนวณไว้แล้ว

ที่จริงขอผมเขียนมันออกมาดีกว่า เพราะผมว่า

มันน่าสนใจ

ผมมีการเดินทั้งหมด 60 ก้าว, มันจึงได้ 60 แฟคทอเรียล

ส่วน, ผมต้องไปทางซ้าย 25 ก้าว, ได้ 25 แฟคทอเรียล

แล้วผมก็ได้ 60 ลบ 25 แฟคทอเรียล คูณความน่าจะเป็น

ที่จะไปทางซ้าย ผมมี 25 ตัว, คูณความน่าจะเป็น

ที่ไปทางขวา และผมมี 35 อัน

นั่นก็คือสิ่งที่การกระจายตัวของความน่าจะเป็นแบบทวินาม

บอกเรา

แล้วมันก็หา ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของ

แต่ละกรณี แล้วคุณก็ดูที่สูตรได้

แต่ค่าเฉลี่ย ก็แค่ความน่าจะเป็นที่ก้าวไปทางซ้าย

คูณจำนวนครั้งที่ก้าวทั้งหมด

ความแปรปรวนคือความน่าจะเป็นที่จะไปทางซ้าย คูณความน่าจะเป็น

ที่จะไปทางขวา คูณจำนวนก้าวทั้งหมด

แล้วความน่าจะเป็นแบบปกติ, เหมือนเดิม, ผม

แค่ใช้การกระจายตัวแบบปกติ

ผมประมาณมันเหมือนเดิม

และเอกเซลมีฟังก์ชันการกระจายแบบปกติ แต่ผม

อยากพิมพ์สูตรลงไป เพราะผมอยากให้คุณเห็นว่า

มันมีอะไรอยู่ในฟังก์ชัน

ที่เอกเซลใช้

แล้วผมก็อบกว่า ความน่าจะเป็นที่ผมไปทางซ้าย 25 ก้าวเป็นเท่าไหร่?

ไม่ใช่สิ, 45 ก้าวทางซ้าย

ผมก็บอกว่าความน่าจะเป็นที่ไปทางซ้าย 45 ก้าว เท่ากับ 1

ส่วนค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

นั่นคือกรณีที่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ

สแควร์รูทของ 25

มันก็คือ 5 คูณ 2 ไพ คูณ e กำลังลบ 1/2 คูณ 45 ลบ

ค่าเฉลี่ย, ลบ 50 ส่วน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน, ซึ่งเรา

หาได้แล้วว่าคือ 5, กำลังสอง

นั่นจึงบอกเราถึงค่าที่การกระจายแบบปกติบอกเรา

ในกรณีนี้ ที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

กับค่าเฉลี่ยเป็นแบบนี้ แล้วผมคูณมันด้วย 1 -- คุณไม่เห็น

มันในสูตร, ผมไม่ต้องเขียนคูณ 1 ก็ได้ --

เพื่อหาพื้นที่ใต้เส้นโค้ง

เพราะจำไว้ มันคือฟังก์ชันการกระจายตัว

แบบต่อเนื่อง

เจ้านี่ตรงนี้ให้ค่าเรา แต่เวลาหาความน่าจะเป็น

ที่อยู่ภายในหนึ่งฟุต ผม

ต้องคูณมันด้วย 1

ผมแค่ประมาณเฉยๆ

ผมควรหาอินทิกรัลจากตรงนี้ ถึงตรงนี้

แต่สี่เหลี่ยมเล็กๆ นี่คือว่าประมาณได้ดีทีเดียว

ในแผนภูมินี้ ผมแสดงให้คุณเห็นว่า เมื่อจำนวนก้าวทั้งหมด

มากขึ้น มากขึ้น ความแตกต่างระหว่างสิ่ง

ที่การกระจายความน่าจะเป็นแบบปกติบอกเรา กับ

การกระจายความน่าจะเป็นแบบทวินามบอกเรา นั้นน้อยลง

น้อยลง ในแง่ของความน่าจะเป็นที่คุณ

อยู่ทางขวา 10 ก้าวในที่สุด

และคุณสามารถเปลี่ยนตัวเลขนี้ได้

ขอผมเปลี่ยนมันให้คุณดูนะ

คุณก็บอกว่า ความน่าจะเป็นที่อยู่

ทางขวา 15 ก้าวเป็นเท่าไหร่?

ผมว่ามีอะไรสักอย่างเกิดขึ้นกับค่า

คลาดเคลื่อนแบบ floating point เพราะเวลาคุณใช้แฟคทอเรียลที่มีค่ามาก

ผมว่ามีอะไรแปลก ๆ เกิดขึ้น

คุณอาจต้องไปให้ไกลกว่านี้

สำหรับ 10 คุณเห็นได้ชัดเจนว่ามันลู่เข้า และผมพยายาม

หาว่าทำไมผมถึงได้รูปแบบฟันเลื่อยแปลกๆ นี่

บางทีตอนผมถ่ายรูป อาจจมีอะไรแปลก ๆ เกิดขึ้น

ประเด็นของอันนี้ คือแสดงให้คุณเห็นว่า ถ้าคุณ

อยากหาความน่าจะเป็นที่ได้อยู่ทางขวา 10 ก้าว,

เมื่อคุณโยนเหรียญมากขึ้น มากขึ้น

การกระจายตัวแบบปกติ ก็ยิ่งประมาณการกระจาย

แบบทวินามได้ดียิ่งขึ้นเรื่อยๆ

เมื่อคุณเข้าหาอนันต์, พวกมันก็จะเข้าหา

กันพอดี

เอาล่ะ, แค่นี้แหละสำหรับวิดีโอนี้

ผมจะทำวิดีโออื่นๆ เกี่ยวกับการกระจายตัว

แบบปกติอีก เพราะมันเป็นหลักการที่สำคัญมาก

แล้วพบกันครับ