Infinite solutions to systems

Arbegla er nu sur og irriteret, fordi vi sammen med fuglen gjorde ham til grin foran kongen.

Han stormer derfor ud af rummet, og få sekunder efter kommer han tilbage.

Han siger: Min fejl, undskyld! Jeg har nu opdaget, hvad fejlen var.

Der var en lille tastefejl. I den første uge, hvor de købte 2 pund æbler og 1 pund bananer, kostede det samlet ikke 3 kroner, men 5 kroner.

Den samlede pris var 5 kroner.

Arbegla fortsætter: Nu kan I og den kloge fugl vel helt sikkert finde ud af, hvad frugterne koster per pund.

Lad os tænke lidt over det.

Vil der nu være en løsning til den her gåde?

Lad os prøve at gå gennem det her og bruge de samme variable som før.

Vi siger, at a er prisen på æbler per pund, og b er prisen på bananer per pund.

Lad os først se på den her første information. Vi kan skrive prisen på 2 pund æbler som 2a. Æbler koster nemlig a kroner per pund.

1 pund bananer vil koste b kroner.

Vi har nemlig 1 pund gange b kroner. Det giver b.

Det vil tilsammen være lig med 5.

Det er det her tal, der er blevet rettet.

Den her information herovre har ikke ændret sig.

6 pund æbler koster 6a. 6 gange a kroner per pund.

3 pund bananer vil koste 3b. 3 pund gange b kroner per pund.

Det er tilsammen lig med 15.

Igen fortæller vi kongen, at vi vil prøve løse det her. Vi kan bruge eliminering.

Igen kan vi prøve at få a'erne til at gå ud.

Vi har 2a her og 6a her.

Hvis vi ganger de 2a her med minus 3, vil vi få minus 6a, og så kan vi få dem til at gå ud.

Lad os gøre det. Vi ganger hele den her ligning med minus 3.

Man skal altid gange hele ligningen.

Det bliver til 2a gange minus 3. Det er minus 6. b gange minus 3 er minus 3b. 5 gange minus 3 er minus 15.

Nu ser det ud som om, der er ved at ske noget mærkeligt.

Når vi lægger den venstre side af den blå ligning til den grønne ligning, får vi 0. Alle de her led går ud med hinanden.

På højre side har vi 15 minus 15. Det er også lig med 0.

Vi har altså, at 0 er lig med 0.

Det ser lidt bedre ud end sidst. Sidst fik vi, at 0 er lig med 6.

0 er lig med 0, fortæller os dog ikke noget om x'erne og y'erne.

Det er helt sikkert sandt, at 0 er lig med 0.

Det fortæller os dog ingenting om x og y.

Igen hvisker fuglen i kongens øre. Kongen siger derefter, at vi skal prøve at afbilde ligninger for at finde ud af, hvad der foregår.

Vi har nu fundet ud af, at det er en god idé at lytte til fuglen, så det gør vi.

Lad os gøre lige som sidst. Vi skal have en b-akse her, og vi skal en a-akse.

1, 2, 3, 4, 5.

1, 2, 3, 4, 5.

Lad os starte med den første ligning. Vi skriver den om til hældnings-skæringspunktform.

Vi trækker 2a fra på begge sider, og vi får, at b er lig med minus 2a plus 5.

Vi har trukket 2a fra på begge sider.

Vi kan afbilde det. Vores b-skæringspunkt er 5 her.

Det er her.

Vores hældning er minus 2. Hver gang a forøges 1, vil b blive mindsket med 2.

Det er sådan her.

Det her er vores linje.

Det er alle de priser for bananer og æbler, der opfylder den første ligning.

Lad os nu se på den anden ligning.

Lad os trække 6a fra på begge sider. Vi får, at 3b er lig med minus 6a plus 15.

Nu skal vi dividere med 3 på begge sider.

Vi får, at b er lig med minus 2a plus 5.

Det er interessant! De her 2 ligninger er ens nu!

Vores b-skæringspunkt er 5, og vores hældning er minus 2.

Det er altså i virkeligheden samme linje! De her 2 ligninger kan udtrykkes med den samme linje.

Vi bliver nu lidt forvirrede, og vi siger: Vi fik 0 er lig med 0, og det er fordi, der er uendeligt mange løsninger her.

Vi kan vælge hvilket som helst x, og det y, der hører sammen med det, opfylder begge de her ligninger.

Der er altså uendeligt mange løsninger.

Vi begynder at spørge os selv om, hvorfor det her sker!

Fuglen hvisker igen til kongen.

Kongen siger: Fuglen siger, at det er, fordi forholdet mellem æbler og bananer var ens på begge dage.

Der blev købt 3 gange så mange æbler anden gange som første gang, og der blev købt 3 gange så mange bananer anden gang som første gang.

Prisen var også 3 gange så høj.

Når vi køber præcis 3 gange så mange bananer, og 3 gange så manger æbler, og prisen er 3 gange så høj, kan prisen for æbler og bananer være hvad som helst.

Det her ligningssystem er altså konsistent. Arbegla lyver ikke nødvendigvis for os. Vi får dog ikke nok information.

Det er altså et konsistent system. Vi får konsistent information.

0 er lig med 0. Det er sandt.

Vi får dog ikke nok information. Det her ligningssystem er afhængigt.

Det er afhængigt.

Vi har uendeligt mange løsninger. Der er uendeligt mange løsninger til det.

Alle punkter på den her linjer kan være en løsning.

Vi fortæller Arbegla, at hvis vi virkelig skal løse det her, skal vi bruge mere information!

Næste gang skal han helst købe æbler og bananer, så forholdet imellem de 2 ikke er det samme igen.