< Return to Video

Alternate form of the derivative

  • 0:01 - 0:02
    本题要思考
  • 0:02 - 0:04
    如何求得这条曲线的切线斜率
  • 0:04 - 0:06
    如何求得这条曲线的切线斜率
  • 0:06 - 0:09
    在 x = a 点上,我画了一条红色的线
  • 0:09 - 0:11
    我们已经通过导数的定义学过了
  • 0:11 - 0:12
    我们已经通过导数的定义学过了
  • 0:12 - 0:14
    我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率
  • 0:14 - 0:16
    我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率
  • 0:16 - 0:17
    我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率
  • 0:17 - 0:19
    假设我们取任意一点
  • 0:19 - 0:23
    我在这里任意定义一个点 x
  • 0:23 - 0:27
    曲线上的点就是 ( x, f(x) )
  • 0:27 - 0:30
    我们再取一个点 x + h
  • 0:30 - 0:34
    图上在这里,x 加上 h
  • 0:34 - 0:36
    图上在这里,x 加上 h
  • 0:36 - 0:42
    曲线上的点就是 ( x+h , f(x+h) )
  • 0:42 - 0:46
    我们可以求出这两点之间的割线的斜率
  • 0:46 - 0:48
    我们可以求出这两点之间的割线的斜率
  • 0:48 - 0:50
    应该是用纵轴方向的变化量
  • 0:50 - 0:56
    也就是 f(x+h) - f(x),再除以横轴方向的变化量
  • 0:56 - 1:03
    也就是 f(x+h) - f(x),再除以横轴方向的变化量
  • 1:03 - 1:05
    就是 x+h - x
  • 1:11 - 1:13
    x - x 就消掉了
  • 1:13 - 1:15
    这就是割线的斜率
  • 1:15 - 1:20
    如果我们想求得 x 点的切线斜率
  • 1:20 - 1:24
    我们就是要 求出这个表达式在 h 趋近于 0 时的极限
  • 1:24 - 1:27
    我们就是要 求出这个表达式在 h 趋近于 0 时的极限
  • 1:27 - 1:31
    当 h 趋近于 0,这个点就向 x 点靠近
  • 1:31 - 1:34
    这两点间的割线斜率就更接近 x 点的切线斜率
  • 1:34 - 1:37
    这两点间的割线斜率就更接近 x 点的切线斜率
  • 1:37 - 1:40
    这里的表达式求极限
  • 1:40 - 1:44
    等于 f '(x)
  • 1:44 - 1:46
    仍然是关于 x 的函数
  • 1:46 - 1:51
    给出一个任意的,其导数存在的 x
  • 1:51 - 1:54
    我要把它代入这个表达式,不管是什么式子
  • 1:54 - 1:56
    可以是一个很简洁的代数表达式
  • 1:56 - 1:57
    下面我给你个数字
  • 1:57 - 1:59
    例如,如果你想求解
  • 1:59 - 2:01
    你可以用某种方法计算
  • 2:01 - 2:03
    或者就用这个表达
  • 2:03 - 2:08
    想求解 f '(a)
  • 2:08 - 2:11
    你只需要把 a 代入函数式
  • 2:11 - 2:12
    这里就等于
  • 2:12 - 2:18
    h —> 0 的极限值
  • 2:18 - 2:20
    表达式中的 x 都换成 a
  • 2:20 - 2:32
    我先把这个颜色的写完,f (空白 + h) - f (空白)
  • 2:32 - 2:37
    整体除以 h
  • 2:37 - 2:41
    这里我用红色的 a 填在空白处
  • 2:41 - 2:44
    注意看,所有之前是 x 的地方,现在都是 a
  • 2:44 - 2:47
    这就是在 a 处的导数值
  • 2:47 - 2:50
    这是求解在 x = a 点切线斜率的一种方法
  • 2:50 - 2:52
    这是求解在 x = a 点切线斜率的一种方法
  • 2:52 - 2:54
    另一种方法
  • 2:54 - 2:56
    经常被用作导数的替代形式
  • 2:56 - 2:59
    就是直接求解
  • 2:59 - 3:02
    这里是点 ( a, f(a) )
  • 3:02 - 3:06
    我们取另外任意一点
  • 3:06 - 3:09
    我们说这里是值为 x 的点
  • 3:09 - 3:12
    那曲线上的点就是 ( x, f(x) )
  • 3:12 - 3:14
    那曲线上的点就是 ( x, f(x) )
  • 3:14 - 3:18
    那么这两点间的割线斜率是多少呢?
  • 3:18 - 3:19
    那么这两点间的割线斜率是多少呢?
  • 3:19 - 3:21
    就是垂直方向上的差
  • 3:21 - 3:30
    即 f (x) - f (a) ,除以水平方向的差
  • 3:30 - 3:31
    即,除以 x - a
  • 3:31 - 3:33
    这里我换成紫色
  • 3:33 - 3:37
    除以 x - a
  • 3:37 - 3:40
    接下来,如何更精确地 近似于这条切线斜率呢?
  • 3:40 - 3:42
    接下来,如何更精确地 近似于这条切线斜率呢?
  • 3:42 - 3:46
    我们可以求 x—>a 时的极限
  • 3:46 - 3:49
    x 不断接近 a,越来越近
  • 3:49 - 3:52
    两点间的割线斜率就越来越近似于这条切线斜率
  • 3:52 - 3:54
    两点间的割线斜率就越来越近似于这条切线斜率
  • 3:54 - 3:56
    就是图上红色的这条切线
  • 3:56 - 4:04
    所以我们这里求的是 x—>a 时的极限 lim
  • 4:04 - 4:09
    其实两种方法最后是完全一样的
  • 4:09 - 4:13
    我们写出了割线斜率的表达式
  • 4:13 - 4:16
    把 x 和另一个点无限靠近
  • 4:16 - 4:19
    把 x 和另一个点无限靠近
  • 4:19 - 4:22
    两点间的割线斜率就无限近似于切线的斜率
  • 4:22 - 4:25
    两点间的割线斜率就无限近似于切线的斜率
  • 4:25 - 4:27
    在极值点,就成为了切线斜率
  • 4:27 - 4:32
    这就是导数的定义
  • 4:32 - 4:34
    这边的是导数更标准的定义
  • 4:34 - 4:37
    它会给出关于 x 的函数的导数
  • 4:37 - 4:41
    然后你可以代入特定的 x 值
  • 4:41 - 4:44
    或者你可以用导数的另一种形式
  • 4:44 - 4:46
    如果你知道这个的话
  • 4:46 - 4:48
    看,我只是求出它在a点的导数
  • 4:48 - 4:50
    我不需要通用函数 f (x)
  • 4:50 - 4:51
    那就按这种方法做
  • 4:51 - 4:53
    两种方法是一样的
Title:
Alternate form of the derivative
Description:

more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
04:53

Chinese, Simplified subtitles

Revisions Compare revisions