Alternate form of the derivative
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0:01 - 0:02本题要思考
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0:02 - 0:04如何求得这条曲线的切线斜率
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0:04 - 0:06如何求得这条曲线的切线斜率
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0:06 - 0:09在 x = a 点上,我画了一条红色的线
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0:09 - 0:11我们已经通过导数的定义学过了
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0:11 - 0:12我们已经通过导数的定义学过了
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0:12 - 0:14我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率
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0:14 - 0:16我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率
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0:16 - 0:17我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率
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0:17 - 0:19假设我们取任意一点
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0:19 - 0:23我在这里任意定义一个点 x
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0:23 - 0:27曲线上的点就是 ( x, f(x) )
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0:27 - 0:30我们再取一个点 x + h
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0:30 - 0:34图上在这里,x 加上 h
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0:34 - 0:36图上在这里,x 加上 h
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0:36 - 0:42曲线上的点就是 ( x+h , f(x+h) )
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0:42 - 0:46我们可以求出这两点之间的割线的斜率
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0:46 - 0:48我们可以求出这两点之间的割线的斜率
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0:48 - 0:50应该是用纵轴方向的变化量
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0:50 - 0:56也就是 f(x+h) - f(x),再除以横轴方向的变化量
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0:56 - 1:03也就是 f(x+h) - f(x),再除以横轴方向的变化量
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1:03 - 1:05就是 x+h - x
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1:11 - 1:13x - x 就消掉了
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1:13 - 1:15这就是割线的斜率
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1:15 - 1:20如果我们想求得 x 点的切线斜率
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1:20 - 1:24我们就是要 求出这个表达式在 h 趋近于 0 时的极限
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1:24 - 1:27我们就是要 求出这个表达式在 h 趋近于 0 时的极限
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1:27 - 1:31当 h 趋近于 0,这个点就向 x 点靠近
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1:31 - 1:34这两点间的割线斜率就更接近 x 点的切线斜率
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1:34 - 1:37这两点间的割线斜率就更接近 x 点的切线斜率
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1:37 - 1:40这里的表达式求极限
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1:40 - 1:44等于 f '(x)
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1:44 - 1:46仍然是关于 x 的函数
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1:46 - 1:51给出一个任意的,其导数存在的 x
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1:51 - 1:54我要把它代入这个表达式,不管是什么式子
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1:54 - 1:56可以是一个很简洁的代数表达式
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1:56 - 1:57下面我给你个数字
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1:57 - 1:59例如,如果你想求解
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1:59 - 2:01你可以用某种方法计算
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2:01 - 2:03或者就用这个表达
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2:03 - 2:08想求解 f '(a)
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2:08 - 2:11你只需要把 a 代入函数式
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2:11 - 2:12这里就等于
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2:12 - 2:18h —> 0 的极限值
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2:18 - 2:20表达式中的 x 都换成 a
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2:20 - 2:32我先把这个颜色的写完,f (空白 + h) - f (空白)
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2:32 - 2:37整体除以 h
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2:37 - 2:41这里我用红色的 a 填在空白处
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2:41 - 2:44注意看,所有之前是 x 的地方,现在都是 a
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2:44 - 2:47这就是在 a 处的导数值
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2:47 - 2:50这是求解在 x = a 点切线斜率的一种方法
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2:50 - 2:52这是求解在 x = a 点切线斜率的一种方法
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2:52 - 2:54另一种方法
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2:54 - 2:56经常被用作导数的替代形式
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2:56 - 2:59就是直接求解
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2:59 - 3:02这里是点 ( a, f(a) )
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3:02 - 3:06我们取另外任意一点
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3:06 - 3:09我们说这里是值为 x 的点
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3:09 - 3:12那曲线上的点就是 ( x, f(x) )
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3:12 - 3:14那曲线上的点就是 ( x, f(x) )
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3:14 - 3:18那么这两点间的割线斜率是多少呢?
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3:18 - 3:19那么这两点间的割线斜率是多少呢?
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3:19 - 3:21就是垂直方向上的差
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3:21 - 3:30即 f (x) - f (a) ,除以水平方向的差
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3:30 - 3:31即,除以 x - a
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3:31 - 3:33这里我换成紫色
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3:33 - 3:37除以 x - a
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3:37 - 3:40接下来,如何更精确地 近似于这条切线斜率呢?
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3:40 - 3:42接下来,如何更精确地 近似于这条切线斜率呢?
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3:42 - 3:46我们可以求 x—>a 时的极限
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3:46 - 3:49x 不断接近 a,越来越近
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3:49 - 3:52两点间的割线斜率就越来越近似于这条切线斜率
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3:52 - 3:54两点间的割线斜率就越来越近似于这条切线斜率
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3:54 - 3:56就是图上红色的这条切线
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3:56 - 4:04所以我们这里求的是 x—>a 时的极限 lim
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4:04 - 4:09其实两种方法最后是完全一样的
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4:09 - 4:13我们写出了割线斜率的表达式
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4:13 - 4:16把 x 和另一个点无限靠近
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4:16 - 4:19把 x 和另一个点无限靠近
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4:19 - 4:22两点间的割线斜率就无限近似于切线的斜率
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4:22 - 4:25两点间的割线斜率就无限近似于切线的斜率
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4:25 - 4:27在极值点,就成为了切线斜率
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4:27 - 4:32这就是导数的定义
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4:32 - 4:34这边的是导数更标准的定义
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4:34 - 4:37它会给出关于 x 的函数的导数
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4:37 - 4:41然后你可以代入特定的 x 值
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4:41 - 4:44或者你可以用导数的另一种形式
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4:44 - 4:46如果你知道这个的话
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4:46 - 4:48看,我只是求出它在a点的导数
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4:48 - 4:50我不需要通用函数 f (x)
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4:50 - 4:51那就按这种方法做
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4:51 - 4:53两种方法是一样的
- Title:
- Alternate form of the derivative
- Description:
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- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 04:53
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