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Alternate form of the derivative

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    本题要思考
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    如何求得这条曲线的切线斜率
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    如何求得这条曲线的切线斜率
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    在 x = a 点上，我画了一条红色的线
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    我们已经通过导数的定义学过了
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    我们已经通过导数的定义学过了
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    我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率
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    我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率
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    我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率
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    假设我们取任意一点
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    我在这里任意定义一个点 x
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    曲线上的点就是 ( x, f(x) )
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    我们再取一个点 x + h
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    图上在这里，x 加上 h
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    图上在这里，x 加上 h
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    曲线上的点就是 ( x+h , f(x+h) )
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    我们可以求出这两点之间的割线的斜率
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    我们可以求出这两点之间的割线的斜率
  • 0:48 - 0:50
    应该是用纵轴方向的变化量
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    也就是 f(x+h) - f(x)，再除以横轴方向的变化量
  • 0:56 - 1:03
    也就是 f(x+h) - f(x)，再除以横轴方向的变化量
  • 1:03 - 1:05
    就是 x+h - x
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    x - x 就消掉了
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    这就是割线的斜率
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    如果我们想求得 x 点的切线斜率
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    我们就是要 求出这个表达式在 h 趋近于 0 时的极限
  • 1:24 - 1:27
    我们就是要 求出这个表达式在 h 趋近于 0 时的极限
  • 1:27 - 1:31
    当 h 趋近于 0，这个点就向 x 点靠近
  • 1:31 - 1:34
    这两点间的割线斜率就更接近 x 点的切线斜率
  • 1:34 - 1:37
    这两点间的割线斜率就更接近 x 点的切线斜率
  • 1:37 - 1:40
    这里的表达式求极限
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    等于 f '(x)
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    仍然是关于 x 的函数
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    给出一个任意的，其导数存在的 x
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    我要把它代入这个表达式，不管是什么式子
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    可以是一个很简洁的代数表达式
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    下面我给你个数字
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    例如，如果你想求解
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    你可以用某种方法计算
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    或者就用这个表达
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    想求解 f '(a)
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    你只需要把 a 代入函数式
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    这里就等于
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    h —> 0 的极限值
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    表达式中的 x 都换成 a
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    我先把这个颜色的写完，f (空白 + h) - f (空白)
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    整体除以 h
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    这里我用红色的 a 填在空白处
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    注意看，所有之前是 x 的地方，现在都是 a
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    这就是在 a 处的导数值
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    这是求解在 x = a 点切线斜率的一种方法
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    这是求解在 x = a 点切线斜率的一种方法
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    另一种方法
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    经常被用作导数的替代形式
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    就是直接求解
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    这里是点 ( a, f(a) )
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    我们取另外任意一点
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    我们说这里是值为 x 的点
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    那曲线上的点就是 ( x, f(x) )
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    那曲线上的点就是 ( x, f(x) )
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    那么这两点间的割线斜率是多少呢？
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    那么这两点间的割线斜率是多少呢？
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    就是垂直方向上的差
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    即 f (x) - f (a) ，除以水平方向的差
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    即，除以 x - a
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    这里我换成紫色
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    除以 x - a
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    接下来，如何更精确地 近似于这条切线斜率呢？
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    接下来，如何更精确地 近似于这条切线斜率呢？
  • 3:42 - 3:46
    我们可以求 x—>a 时的极限
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    x 不断接近 a，越来越近
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    两点间的割线斜率就越来越近似于这条切线斜率
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    两点间的割线斜率就越来越近似于这条切线斜率
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    就是图上红色的这条切线
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    所以我们这里求的是 x—>a 时的极限 lim
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    其实两种方法最后是完全一样的
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    我们写出了割线斜率的表达式
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    把 x 和另一个点无限靠近
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    把 x 和另一个点无限靠近
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    两点间的割线斜率就无限近似于切线的斜率
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    两点间的割线斜率就无限近似于切线的斜率
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    在极值点，就成为了切线斜率
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    这就是导数的定义
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    这边的是导数更标准的定义
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    它会给出关于 x 的函数的导数
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    然后你可以代入特定的 x 值
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    或者你可以用导数的另一种形式
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    如果你知道这个的话
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    看，我只是求出它在a点的导数
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    我不需要通用函数 f (x)
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    那就按这种方法做
  • 4:51 - 4:53
    两种方法是一样的
Title:
Alternate form of the derivative
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
04:53

Chinese, Simplified subtitles

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