WEBVTT

00:00:00.620 --> 00:00:02.070
本题要思考

00:00:02.070 --> 00:00:04.170
如何求得这条曲线的切线斜率

00:00:04.170 --> 00:00:05.930
如何求得这条曲线的切线斜率

00:00:05.930 --> 00:00:09.230
在 x = a 点上，我画了一条红色的线

00:00:09.230 --> 00:00:11.300
我们已经通过导数的定义学过了

00:00:11.300 --> 00:00:12.252
我们已经通过导数的定义学过了

00:00:12.252 --> 00:00:14.460
我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率

00:00:14.460 --> 00:00:15.615
我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率

00:00:15.615 --> 00:00:16.770
我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率

00:00:16.770 --> 00:00:19.030
假设我们取任意一点

00:00:19.030 --> 00:00:22.960
我在这里任意定义一个点 x

00:00:22.960 --> 00:00:26.930
曲线上的点就是 ( x, f(x) )

00:00:26.930 --> 00:00:29.730
我们再取一个点 x + h

00:00:29.730 --> 00:00:33.890
图上在这里，x 加上 h

00:00:33.890 --> 00:00:35.700
图上在这里，x 加上 h

00:00:35.700 --> 00:00:42.350
曲线上的点就是 ( x+h , f(x+h) )

00:00:42.350 --> 00:00:45.610
我们可以求出这两点之间的割线的斜率

00:00:45.610 --> 00:00:47.860
我们可以求出这两点之间的割线的斜率

00:00:47.860 --> 00:00:50.350
应该是用纵轴方向的变化量

00:00:50.350 --> 00:00:56.000
也就是 f(x+h) - f(x)，再除以横轴方向的变化量

00:00:56.000 --> 00:01:02.850
也就是 f(x+h) - f(x)，再除以横轴方向的变化量

00:01:02.850 --> 00:01:04.637
就是 x+h - x

00:01:10.740 --> 00:01:12.680
x - x 就消掉了

00:01:12.680 --> 00:01:15.290
这就是割线的斜率

00:01:15.290 --> 00:01:20.350
如果我们想求得 x 点的切线斜率

00:01:20.350 --> 00:01:24.260
我们就是要 求出这个表达式在 h 趋近于 0 时的极限

00:01:24.260 --> 00:01:26.550
我们就是要 求出这个表达式在 h 趋近于 0 时的极限

00:01:26.550 --> 00:01:30.810
当 h 趋近于 0，这个点就向 x 点靠近

00:01:30.810 --> 00:01:33.500
这两点间的割线斜率就更接近 x 点的切线斜率

00:01:33.500 --> 00:01:36.680
这两点间的割线斜率就更接近 x 点的切线斜率

00:01:36.680 --> 00:01:39.560
这里的表达式求极限

00:01:39.560 --> 00:01:44.130
等于 f '(x)

00:01:44.130 --> 00:01:45.980
仍然是关于 x 的函数

00:01:45.980 --> 00:01:50.860
给出一个任意的，其导数存在的 x

00:01:50.860 --> 00:01:53.750
我要把它代入这个表达式，不管是什么式子

00:01:53.750 --> 00:01:55.870
可以是一个很简洁的代数表达式

00:01:55.870 --> 00:01:57.420
下面我给你个数字

00:01:57.420 --> 00:01:59.430
例如，如果你想求解

00:01:59.430 --> 00:02:00.920
你可以用某种方法计算

00:02:00.920 --> 00:02:02.600
或者就用这个表达

00:02:02.600 --> 00:02:07.730
想求解 f '(a)

00:02:07.730 --> 00:02:10.729
你只需要把 a 代入函数式

00:02:10.729 --> 00:02:12.270
这里就等于

00:02:12.270 --> 00:02:17.590
h —> 0 的极限值

00:02:17.590 --> 00:02:20.340
表达式中的 x 都换成 a

00:02:20.340 --> 00:02:31.980
我先把这个颜色的写完，f (空白 + h) - f (空白)

00:02:31.980 --> 00:02:36.670
整体除以 h

00:02:36.670 --> 00:02:41.040
这里我用红色的 a 填在空白处

00:02:41.040 --> 00:02:44.300
注意看，所有之前是 x 的地方，现在都是 a

00:02:44.300 --> 00:02:47.300
这就是在 a 处的导数值

00:02:47.300 --> 00:02:50.500
这是求解在 x = a 点切线斜率的一种方法

00:02:50.500 --> 00:02:51.720
这是求解在 x = a 点切线斜率的一种方法

00:02:51.720 --> 00:02:54.310
另一种方法

00:02:54.310 --> 00:02:56.130
经常被用作导数的替代形式

00:02:56.130 --> 00:02:59.140
就是直接求解

00:02:59.140 --> 00:03:01.820
这里是点 ( a, f(a) )

00:03:01.820 --> 00:03:05.990
我们取另外任意一点

00:03:05.990 --> 00:03:09.270
我们说这里是值为 x 的点

00:03:09.270 --> 00:03:12.480
那曲线上的点就是 ( x, f(x) )

00:03:12.480 --> 00:03:13.970
那曲线上的点就是 ( x, f(x) )

00:03:13.970 --> 00:03:18.370
那么这两点间的割线斜率是多少呢？

00:03:18.370 --> 00:03:19.080
那么这两点间的割线斜率是多少呢？

00:03:19.080 --> 00:03:21.260
就是垂直方向上的差

00:03:21.260 --> 00:03:29.980
即 f (x) - f (a) ，除以水平方向的差

00:03:29.980 --> 00:03:31.344
即，除以 x - a

00:03:31.344 --> 00:03:33.260
这里我换成紫色

00:03:33.260 --> 00:03:36.560
除以 x - a

00:03:36.560 --> 00:03:39.600
接下来，如何更精确地 近似于这条切线斜率呢？

00:03:39.600 --> 00:03:42.460
接下来，如何更精确地 近似于这条切线斜率呢？

00:03:42.460 --> 00:03:45.645
我们可以求 x—>a 时的极限

00:03:45.645 --> 00:03:48.540
x 不断接近 a，越来越近

00:03:48.540 --> 00:03:51.510
两点间的割线斜率就越来越近似于这条切线斜率

00:03:51.510 --> 00:03:54.320
两点间的割线斜率就越来越近似于这条切线斜率

00:03:54.320 --> 00:03:56.370
就是图上红色的这条切线

00:03:56.370 --> 00:04:04.430
所以我们这里求的是 x—>a 时的极限 lim

00:04:04.430 --> 00:04:09.370
其实两种方法最后是完全一样的

00:04:09.370 --> 00:04:12.760
我们写出了割线斜率的表达式

00:04:12.760 --> 00:04:15.790
把 x 和另一个点无限靠近

00:04:15.790 --> 00:04:19.040
把 x 和另一个点无限靠近

00:04:19.040 --> 00:04:21.700
两点间的割线斜率就无限近似于切线的斜率

00:04:21.700 --> 00:04:24.510
两点间的割线斜率就无限近似于切线的斜率

00:04:24.510 --> 00:04:27.390
在极值点，就成为了切线斜率

00:04:27.390 --> 00:04:31.550
这就是导数的定义

00:04:31.550 --> 00:04:34.382
这边的是导数更标准的定义

00:04:34.382 --> 00:04:36.590
它会给出关于 x 的函数的导数

00:04:36.590 --> 00:04:40.900
然后你可以代入特定的 x 值

00:04:40.900 --> 00:04:44.129
或者你可以用导数的另一种形式

00:04:44.129 --> 00:04:45.670
如果你知道这个的话

00:04:45.670 --> 00:04:47.530
看，我只是求出它在a点的导数

00:04:47.530 --> 00:04:49.772
我不需要通用函数 f (x)

00:04:49.772 --> 00:04:50.730
那就按这种方法做

00:04:50.730 --> 00:04:53.260
两种方法是一样的