1
00:00:00,620 --> 00:00:02,070
本题要思考

2
00:00:02,070 --> 00:00:04,170
如何求得这条曲线的切线斜率

3
00:00:04,170 --> 00:00:05,930
如何求得这条曲线的切线斜率

4
00:00:05,930 --> 00:00:09,230
在 x = a 点上，我画了一条红色的线

5
00:00:09,230 --> 00:00:11,300
我们已经通过导数的定义学过了

6
00:00:11,300 --> 00:00:12,252
我们已经通过导数的定义学过了

7
00:00:12,252 --> 00:00:14,460
我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率

8
00:00:14,460 --> 00:00:15,615
我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率

9
00:00:15,615 --> 00:00:16,770
我们可以试着找到一个通用函数来求任意点的切线斜率

10
00:00:16,770 --> 00:00:19,030
假设我们取任意一点

11
00:00:19,030 --> 00:00:22,960
我在这里任意定义一个点 x

12
00:00:22,960 --> 00:00:26,930
曲线上的点就是 ( x, f(x) )

13
00:00:26,930 --> 00:00:29,730
我们再取一个点 x + h

14
00:00:29,730 --> 00:00:33,890
图上在这里，x 加上 h

15
00:00:33,890 --> 00:00:35,700
图上在这里，x 加上 h

16
00:00:35,700 --> 00:00:42,350
曲线上的点就是 ( x+h , f(x+h) )

17
00:00:42,350 --> 00:00:45,610
我们可以求出这两点之间的割线的斜率

18
00:00:45,610 --> 00:00:47,860
我们可以求出这两点之间的割线的斜率

19
00:00:47,860 --> 00:00:50,350
应该是用纵轴方向的变化量

20
00:00:50,350 --> 00:00:56,000
也就是 f(x+h) - f(x)，再除以横轴方向的变化量

21
00:00:56,000 --> 00:01:02,850
也就是 f(x+h) - f(x)，再除以横轴方向的变化量

22
00:01:02,850 --> 00:01:04,637
就是 x+h - x

23
00:01:10,740 --> 00:01:12,680
x - x 就消掉了

24
00:01:12,680 --> 00:01:15,290
这就是割线的斜率

25
00:01:15,290 --> 00:01:20,350
如果我们想求得 x 点的切线斜率

26
00:01:20,350 --> 00:01:24,260
我们就是要 求出这个表达式在 h 趋近于 0 时的极限

27
00:01:24,260 --> 00:01:26,550
我们就是要 求出这个表达式在 h 趋近于 0 时的极限

28
00:01:26,550 --> 00:01:30,810
当 h 趋近于 0，这个点就向 x 点靠近

29
00:01:30,810 --> 00:01:33,500
这两点间的割线斜率就更接近 x 点的切线斜率

30
00:01:33,500 --> 00:01:36,680
这两点间的割线斜率就更接近 x 点的切线斜率

31
00:01:36,680 --> 00:01:39,560
这里的表达式求极限

32
00:01:39,560 --> 00:01:44,130
等于 f '(x)

33
00:01:44,130 --> 00:01:45,980
仍然是关于 x 的函数

34
00:01:45,980 --> 00:01:50,860
给出一个任意的，其导数存在的 x

35
00:01:50,860 --> 00:01:53,750
我要把它代入这个表达式，不管是什么式子

36
00:01:53,750 --> 00:01:55,870
可以是一个很简洁的代数表达式

37
00:01:55,870 --> 00:01:57,420
下面我给你个数字

38
00:01:57,420 --> 00:01:59,430
例如，如果你想求解

39
00:01:59,430 --> 00:02:00,920
你可以用某种方法计算

40
00:02:00,920 --> 00:02:02,600
或者就用这个表达

41
00:02:02,600 --> 00:02:07,730
想求解 f '(a)

42
00:02:07,730 --> 00:02:10,729
你只需要把 a 代入函数式

43
00:02:10,729 --> 00:02:12,270
这里就等于

44
00:02:12,270 --> 00:02:17,590
h —> 0 的极限值

45
00:02:17,590 --> 00:02:20,340
表达式中的 x 都换成 a

46
00:02:20,340 --> 00:02:31,980
我先把这个颜色的写完，f (空白 + h) - f (空白)

47
00:02:31,980 --> 00:02:36,670
整体除以 h

48
00:02:36,670 --> 00:02:41,040
这里我用红色的 a 填在空白处

49
00:02:41,040 --> 00:02:44,300
注意看，所有之前是 x 的地方，现在都是 a

50
00:02:44,300 --> 00:02:47,300
这就是在 a 处的导数值

51
00:02:47,300 --> 00:02:50,500
这是求解在 x = a 点切线斜率的一种方法

52
00:02:50,500 --> 00:02:51,720
这是求解在 x = a 点切线斜率的一种方法

53
00:02:51,720 --> 00:02:54,310
另一种方法

54
00:02:54,310 --> 00:02:56,130
经常被用作导数的替代形式

55
00:02:56,130 --> 00:02:59,140
就是直接求解

56
00:02:59,140 --> 00:03:01,820
这里是点 ( a, f(a) )

57
00:03:01,820 --> 00:03:05,990
我们取另外任意一点

58
00:03:05,990 --> 00:03:09,270
我们说这里是值为 x 的点

59
00:03:09,270 --> 00:03:12,480
那曲线上的点就是 ( x, f(x) )

60
00:03:12,480 --> 00:03:13,970
那曲线上的点就是 ( x, f(x) )

61
00:03:13,970 --> 00:03:18,370
那么这两点间的割线斜率是多少呢？

62
00:03:18,370 --> 00:03:19,080
那么这两点间的割线斜率是多少呢？

63
00:03:19,080 --> 00:03:21,260
就是垂直方向上的差

64
00:03:21,260 --> 00:03:29,980
即 f (x) - f (a) ，除以水平方向的差

65
00:03:29,980 --> 00:03:31,344
即，除以 x - a

66
00:03:31,344 --> 00:03:33,260
这里我换成紫色

67
00:03:33,260 --> 00:03:36,560
除以 x - a

68
00:03:36,560 --> 00:03:39,600
接下来，如何更精确地 近似于这条切线斜率呢？

69
00:03:39,600 --> 00:03:42,460
接下来，如何更精确地 近似于这条切线斜率呢？

70
00:03:42,460 --> 00:03:45,645
我们可以求 x—>a 时的极限

71
00:03:45,645 --> 00:03:48,540
x 不断接近 a，越来越近

72
00:03:48,540 --> 00:03:51,510
两点间的割线斜率就越来越近似于这条切线斜率

73
00:03:51,510 --> 00:03:54,320
两点间的割线斜率就越来越近似于这条切线斜率

74
00:03:54,320 --> 00:03:56,370
就是图上红色的这条切线

75
00:03:56,370 --> 00:04:04,430
所以我们这里求的是 x—>a 时的极限 lim

76
00:04:04,430 --> 00:04:09,370
其实两种方法最后是完全一样的

77
00:04:09,370 --> 00:04:12,760
我们写出了割线斜率的表达式

78
00:04:12,760 --> 00:04:15,790
把 x 和另一个点无限靠近

79
00:04:15,790 --> 00:04:19,040
把 x 和另一个点无限靠近

80
00:04:19,040 --> 00:04:21,700
两点间的割线斜率就无限近似于切线的斜率

81
00:04:21,700 --> 00:04:24,510
两点间的割线斜率就无限近似于切线的斜率

82
00:04:24,510 --> 00:04:27,390
在极值点，就成为了切线斜率

83
00:04:27,390 --> 00:04:31,550
这就是导数的定义

84
00:04:31,550 --> 00:04:34,382
这边的是导数更标准的定义

85
00:04:34,382 --> 00:04:36,590
它会给出关于 x 的函数的导数

86
00:04:36,590 --> 00:04:40,900
然后你可以代入特定的 x 值

87
00:04:40,900 --> 00:04:44,129
或者你可以用导数的另一种形式

88
00:04:44,129 --> 00:04:45,670
如果你知道这个的话

89
00:04:45,670 --> 00:04:47,530
看，我只是求出它在a点的导数

90
00:04:47,530 --> 00:04:49,772
我不需要通用函数 f (x)

91
00:04:49,772 --> 00:04:50,730
那就按这种方法做

92
00:04:50,730 --> 00:04:53,260
两种方法是一样的