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Pythagorean Theorem Proof Using Similarity

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    這是一個直角三角形
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    它是直角三角形是因爲它有一個角是90度
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    或者說它有一個直角
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    現在我們來看這條最長的邊
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    你可以把它看作是
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    直角三角形最長的邊
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    也可以看作是直角的對邊
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    總之這條邊我們叫它斜邊
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    這個名字對於它簡單的概念來說略顯華麗
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    只不過就是直角三角形的最長邊
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    或者說是直角的對邊而已
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    但是這還是有用的 因爲用一個單詞比較簡單
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    我們不必說"他們說的是這條邊
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    這條最長的直角的對邊"直接說斜邊就可以了
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    現在我要做的是證明一個關係
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    一個非常著名的關係
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    一個關於直角三角形各邊長度之間的
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    著名的關係
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    我們假設邊AC的長度 注意是大寫的A和C
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    我們假設長度是小寫的a
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    同時把邊BC的長度稱爲b
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    我用大寫字母表示點而小寫字母表示長度
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    最後我們把斜邊的長度
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    即AB的長度 叫做c
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    現在我們來看看我們是否能得出a b c之間的關係
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    在這之前我需要作一條輔助線
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    或者說輔助線段 在點C和斜邊之間的一條輔助線段
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    這條輔助線將和斜邊成直角
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    這並不難 我們準備叫這個點D
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    D就是輔助線和斜邊的交點
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    如果這時候你擔心 怎麽作出這條輔助線
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    你可以想象一下把整個三角形這麽旋轉一下
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    這對後面的證明沒有作用 但是這能讓你
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    更直接地作出輔助線
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    我已經把它轉了過來 現在斜邊
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    成爲了底邊
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    這是點B 這是點A
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    我們已經把三角形轉了過來
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    上面這個點是C 你可以想象從點C扔一塊石頭
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    這塊石頭綁在一根繩子上 繩子連在點C 於是
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    綁線的石頭會和斜邊形成直角
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    以上所做的都是爲了作出輔助線段CD
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    垂足就是點D 在這裡
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    我之所以作這麽一條輔助線是因爲這樣子
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    我們就可以研究相似三角形的有趣關係了
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    現在一共有三個三角形 三角形ADC
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    三角形DBC以及原來的大三角形
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    我們應該能夠在這些三角形之間建立相似關係
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    首先我們來證明三角形ADC相似於大三角形
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    因爲它們都有一個直角
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    三角形ADC的這個角是直角
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    如果這個角是90度
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    那麽這個角一定也是90度
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    它們是互補的因此它們的度數和必須是180度
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    所以兩個三角形都有一個直角
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    小三角形在這裡有一個直角
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    大三角形顯然我們已知它有一個直角
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    同時 它們還共有同一個角
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    角DAC或者角BAC 隨你們怎麽叫它
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    我們可以把那些三角形寫下來
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    我從小的開始
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    三角形ADC 我給它塗上陰影
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    所以這就是我們要看的三角形 ADC
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    然後我們一個角一個角來對應從藍色的角 直角
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    到沒有標記的那個角
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    這個直角並不對應那邊那個角
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    這個直角和大三角形的直角對應
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    所以 我們可以推出三角形ADC
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    和大三角形相似
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    我們再在大三角形上對應一次 從藍色角A
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    到直角
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    我們不必再去看那個直角
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    所以三角形ADC相似於三角形ACB
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    三角形ACB
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    因爲它們是相似的 所以我們可以建立
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    它們邊的長度比關係
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    比如說對應邊的比例
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    我們知道相似三角形對應邊的
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    長度的比值
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    是一個常數
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    所以我們可以利用這個比值 這個小三角形的斜邊AC
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    還有大三角形的斜邊
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    AB
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    AC比AB的值一定與AD
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    比上某一條邊的值相等
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    我們要在相似三角形上取
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    對應的點和邊
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    所以是AD比AC
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    你可以自己看看這些三角形
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    你會發現 邊AD是藍色角和紅色角
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    的夾邊
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    邊AD在這兩個角中間
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    同時邊AC也在大三角形的藍色角和紅色角
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    的中間
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    所以這些邊是大三角形的
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    而這些是小三角形上的對應邊
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    如果有點不明白 看它們的標記字母
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    只要你把相似三角形的字母順序寫對了
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    你就能找對對應點
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    AC和大三角形的AB對應
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    小三角形的AD和大三角形的AC對應
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    我們已知AC的長度是a
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    小寫的a
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    所以a代表AC
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    我們沒有給AD的長度標字母
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    但是我們知道AB的長度用c表示
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    我們沒有表示AD長度的字母
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    那麽就叫它d
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    所以d對應著那一段的長度
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    而c對應這整條斜邊的長度
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    我們把DB的長度稱爲e
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    這會讓證明簡潔一些
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    所以現在AD是d
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    於是我們得到關係a比c等於d比a
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    如果我們把等式交叉相乘 a乘以a得到a的平方
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    a的平方等於c乘以d 也就是cd
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    這是一個有趣的結果
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    讓我們來看看我們可以對剩下那個三角形做點什麽
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    就是這個三角形
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    同樣地 它有一個直角 大三角形也有一個直角
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    並且它們在這裡共享同一個角
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    所以根據相似判定 這兩個三角形
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    是相似的
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    也就是說三角形BDC 我們按從粉色的角開始到直角
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    再到未標記角的順序寫字母
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    所以三角形BDC相似於大三角形
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    我們要來觀察大三角形的對應點
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    我們從粉色角B開始
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    到直角C再到A
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    BCA
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    從粉色角到直角再到未標記角 一樣的順序
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    和小三角形一樣的順序
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    現在我們要找一些關係
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    先來看小三角形的邊BC
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    BC比上BA
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    BC比BA
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    我們還是在比較兩個三角形的斜邊
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    於是BC比BA等於BD比上另一條邊
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    讓我換一種顏色 BD是其中一條直角邊
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    BD在這裡是一條較短的直角邊
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    找到對應的大三角形的直角邊BC 所以是BD比BC
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    我們已知BC用字母b表示
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    BC就是小寫的b
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    BA是小寫的c
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    BD根據之前我們定義的是小寫的e
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    所以這是小寫的e
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    交叉相乘 這裡是 b乘以b
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    我在很多影片中提到交叉相乘
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    兩邊都要乘以相應的分母
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    所以b乘以b等於ce
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    現在我們可以做一件有趣的事情
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    我們把這兩個等式加起來
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    讓我重新來寫一下
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    b的平方等於ce
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    如果我們把左手邊加起來將會得到
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    b的平方加上a的平方 而它們等於cd加上
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    ce
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    右邊兩項有公因式c所以我們把c提出來
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    所以右邊等於
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    c乘以d和e的和
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    給d加e套上括號
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    結果是什麽
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    d是這條長度
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    e是這段長度
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    d加上e實際上同樣等於c
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    所以這就成了c
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    c乘以c得到c的平方
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    現在我們得到了一個有趣的關係
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    我們得到a的平方加上b的平方等於c的平方
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    讓我重新寫一遍
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    讓我用個新的顏色
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    剛才不小心刪掉了 現在再寫一遍
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    所以我們剛才得到了a的平方
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    加上b的平方等於c的平方
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    這是一個任意的直角三角形
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    這兩個小三角形也是任意的
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    我們剛剛得到了直角邊的平方和
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    等於斜邊的平方
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    這大概是數學領域最簡單卻最有名的定理之一
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    它以畢達哥拉斯的名字命名
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    不知道他是不是第一個發現這個定理的人
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    但是這個定理就叫做畢達哥拉斯定理
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    就是勾股定律
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    這並不是一切幾何學的基礎但是卻對於
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    幾何學至關重要
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    並且它是所有三角運算的基礎
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    這個定律相當使用因爲當你知道一個直角三角形
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    的兩邊 你可以輕松得到第三邊
Title:
Pythagorean Theorem Proof Using Similarity
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
09:53

Chinese (Traditional, Taiwan) subtitles

Incomplete

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