1
00:00:00,000 --> 00:00:04,420
這是一個直角三角形

2
00:00:04,430 --> 00:00:07,130
它是直角三角形是因爲它有一個角是90度

3
00:00:07,140 --> 00:00:09,000
或者說它有一個直角

4
00:00:09,010 --> 00:00:12,730
現在我們來看這條最長的邊

5
00:00:12,740 --> 00:00:15,250
你可以把它看作是

6
00:00:15,260 --> 00:00:16,730
直角三角形最長的邊

7
00:00:16,740 --> 00:00:18,740
也可以看作是直角的對邊

8
00:00:18,750 --> 00:00:20,370
總之這條邊我們叫它斜邊

9
00:00:20,380 --> 00:00:24,120
這個名字對於它簡單的概念來說略顯華麗

10
00:00:24,130 --> 00:00:25,820
只不過就是直角三角形的最長邊

11
00:00:25,830 --> 00:00:27,770
或者說是直角的對邊而已

12
00:00:27,780 --> 00:00:30,400
但是這還是有用的 因爲用一個單詞比較簡單

13
00:00:30,410 --> 00:00:32,420
我們不必說"他們說的是這條邊

14
00:00:32,430 --> 00:00:36,080
這條最長的直角的對邊"直接說斜邊就可以了

15
00:00:36,090 --> 00:00:40,690
現在我要做的是證明一個關係

16
00:00:40,700 --> 00:00:43,950
一個非常著名的關係

17
00:00:43,960 --> 00:00:47,470
一個關於直角三角形各邊長度之間的

18
00:00:47,480 --> 00:00:48,620
著名的關係

19
00:00:48,630 --> 00:00:53,670
我們假設邊AC的長度 注意是大寫的A和C

20
00:00:53,680 --> 00:00:55,830
我們假設長度是小寫的a

21
00:00:55,840 --> 00:01:00,630
同時把邊BC的長度稱爲b

22
00:01:00,640 --> 00:01:03,320
我用大寫字母表示點而小寫字母表示長度

23
00:01:03,330 --> 00:01:05,740
最後我們把斜邊的長度

24
00:01:05,750 --> 00:01:08,170
即AB的長度 叫做c

25
00:01:08,180 --> 00:01:12,330
現在我們來看看我們是否能得出a b c之間的關係

26
00:01:12,340 --> 00:01:15,590
在這之前我需要作一條輔助線

27
00:01:15,600 --> 00:01:19,240
或者說輔助線段 在點C和斜邊之間的一條輔助線段

28
00:01:19,250 --> 00:01:24,020
這條輔助線將和斜邊成直角

29
00:01:24,030 --> 00:01:26,790
這並不難 我們準備叫這個點D

30
00:01:26,800 --> 00:01:28,280
D就是輔助線和斜邊的交點

31
00:01:28,290 --> 00:01:31,100
如果這時候你擔心 怎麽作出這條輔助線

32
00:01:31,110 --> 00:01:34,180
你可以想象一下把整個三角形這麽旋轉一下

33
00:01:34,190 --> 00:01:36,970
這對後面的證明沒有作用 但是這能讓你

34
00:01:36,980 --> 00:01:39,520
更直接地作出輔助線

35
00:01:39,530 --> 00:01:42,880
我已經把它轉了過來 現在斜邊

36
00:01:42,890 --> 00:01:44,320
成爲了底邊

37
00:01:44,330 --> 00:01:48,500
這是點B 這是點A

38
00:01:48,510 --> 00:01:50,850
我們已經把三角形轉了過來

39
00:01:50,860 --> 00:01:54,270
上面這個點是C 你可以想象從點C扔一塊石頭

40
00:01:54,280 --> 00:01:57,780
這塊石頭綁在一根繩子上 繩子連在點C 於是

41
00:01:57,790 --> 00:01:59,230
綁線的石頭會和斜邊形成直角

42
00:01:59,240 --> 00:02:02,330
以上所做的都是爲了作出輔助線段CD

43
00:02:02,340 --> 00:02:05,290
垂足就是點D 在這裡

44
00:02:05,300 --> 00:02:08,400
我之所以作這麽一條輔助線是因爲這樣子

45
00:02:08,410 --> 00:02:10,720
我們就可以研究相似三角形的有趣關係了

46
00:02:10,730 --> 00:02:14,000
現在一共有三個三角形 三角形ADC

47
00:02:14,010 --> 00:02:17,850
三角形DBC以及原來的大三角形

48
00:02:17,860 --> 00:02:21,500
我們應該能夠在這些三角形之間建立相似關係

49
00:02:21,510 --> 00:02:27,690
首先我們來證明三角形ADC相似於大三角形

50
00:02:27,700 --> 00:02:29,470
因爲它們都有一個直角

51
00:02:29,480 --> 00:02:32,070
三角形ADC的這個角是直角

52
00:02:32,080 --> 00:02:33,920
如果這個角是90度

53
00:02:33,930 --> 00:02:35,750
那麽這個角一定也是90度

54
00:02:35,760 --> 00:02:38,160
它們是互補的因此它們的度數和必須是180度

55
00:02:38,170 --> 00:02:40,650
所以兩個三角形都有一個直角

56
00:02:40,660 --> 00:02:42,050
小三角形在這裡有一個直角

57
00:02:42,060 --> 00:02:44,860
大三角形顯然我們已知它有一個直角

58
00:02:44,870 --> 00:02:49,080
同時 它們還共有同一個角

59
00:02:49,090 --> 00:02:53,250
角DAC或者角BAC 隨你們怎麽叫它

60
00:02:53,260 --> 00:02:55,850
我們可以把那些三角形寫下來

61
00:02:55,860 --> 00:02:58,370
我從小的開始

62
00:02:58,380 --> 00:03:02,410
三角形ADC 我給它塗上陰影

63
00:03:02,420 --> 00:03:05,270
所以這就是我們要看的三角形 ADC

64
00:03:05,280 --> 00:03:07,620
然後我們一個角一個角來對應從藍色的角 直角

65
00:03:07,630 --> 00:03:10,350
到沒有標記的那個角

66
00:03:10,360 --> 00:03:14,070
這個直角並不對應那邊那個角

67
00:03:14,080 --> 00:03:15,480
這個直角和大三角形的直角對應

68
00:03:15,490 --> 00:03:20,440
所以 我們可以推出三角形ADC

69
00:03:20,450 --> 00:03:24,200
和大三角形相似

70
00:03:24,210 --> 00:03:27,610
我們再在大三角形上對應一次 從藍色角A

71
00:03:27,620 --> 00:03:29,580
到直角

72
00:03:29,590 --> 00:03:31,920
我們不必再去看那個直角

73
00:03:31,930 --> 00:03:33,720
所以三角形ADC相似於三角形ACB

74
00:03:33,730 --> 00:03:36,530
三角形ACB

75
00:03:36,540 --> 00:03:40,160
因爲它們是相似的 所以我們可以建立

76
00:03:40,170 --> 00:03:42,000
它們邊的長度比關係

77
00:03:42,010 --> 00:03:44,730
比如說對應邊的比例

78
00:03:44,740 --> 00:03:47,450
我們知道相似三角形對應邊的

79
00:03:47,460 --> 00:03:49,070
長度的比值

80
00:03:49,080 --> 00:03:50,050
是一個常數

81
00:03:50,060 --> 00:03:54,500
所以我們可以利用這個比值 這個小三角形的斜邊AC

82
00:03:54,510 --> 00:04:00,580
還有大三角形的斜邊

83
00:04:00,590 --> 00:04:01,720
AB

84
00:04:01,730 --> 00:04:10,370
AC比AB的值一定與AD

85
00:04:10,380 --> 00:04:11,570
比上某一條邊的值相等

86
00:04:11,580 --> 00:04:17,110
我們要在相似三角形上取

87
00:04:17,120 --> 00:04:18,320
對應的點和邊

88
00:04:18,330 --> 00:04:23,740
所以是AD比AC

89
00:04:23,750 --> 00:04:25,720
你可以自己看看這些三角形

90
00:04:25,730 --> 00:04:30,040
你會發現 邊AD是藍色角和紅色角

91
00:04:30,050 --> 00:04:32,570
的夾邊

92
00:04:32,580 --> 00:04:34,540
邊AD在這兩個角中間

93
00:04:34,550 --> 00:04:38,130
同時邊AC也在大三角形的藍色角和紅色角

94
00:04:38,140 --> 00:04:39,190
的中間

95
00:04:39,200 --> 00:04:41,100
所以這些邊是大三角形的

96
00:04:41,110 --> 00:04:43,240
而這些是小三角形上的對應邊

97
00:04:43,250 --> 00:04:46,190
如果有點不明白 看它們的標記字母

98
00:04:46,200 --> 00:04:50,380
只要你把相似三角形的字母順序寫對了

99
00:04:50,390 --> 00:04:51,990
你就能找對對應點

100
00:04:52,000 --> 00:04:56,150
AC和大三角形的AB對應

101
00:04:56,160 --> 00:05:01,950
小三角形的AD和大三角形的AC對應

102
00:05:01,960 --> 00:05:06,690
我們已知AC的長度是a

103
00:05:06,700 --> 00:05:08,640
小寫的a

104
00:05:08,650 --> 00:05:10,720
所以a代表AC

105
00:05:10,730 --> 00:05:15,520
我們沒有給AD的長度標字母

106
00:05:15,530 --> 00:05:20,330
但是我們知道AB的長度用c表示

107
00:05:20,340 --> 00:05:24,170
我們沒有表示AD長度的字母

108
00:05:24,180 --> 00:05:26,580
那麽就叫它d

109
00:05:26,590 --> 00:05:30,200
所以d對應著那一段的長度

110
00:05:30,210 --> 00:05:32,940
而c對應這整條斜邊的長度

111
00:05:32,950 --> 00:05:35,920
我們把DB的長度稱爲e

112
00:05:35,930 --> 00:05:38,300
這會讓證明簡潔一些

113
00:05:38,310 --> 00:05:41,350
所以現在AD是d

114
00:05:41,360 --> 00:05:44,160
於是我們得到關係a比c等於d比a

115
00:05:44,170 --> 00:05:48,090
如果我們把等式交叉相乘 a乘以a得到a的平方

116
00:05:48,100 --> 00:05:51,140
a的平方等於c乘以d 也就是cd

117
00:05:51,150 --> 00:05:53,050
這是一個有趣的結果

118
00:05:53,060 --> 00:05:55,430
讓我們來看看我們可以對剩下那個三角形做點什麽

119
00:05:55,440 --> 00:05:57,780
就是這個三角形

120
00:05:57,790 --> 00:06:00,720
同樣地 它有一個直角 大三角形也有一個直角

121
00:06:00,730 --> 00:06:03,990
並且它們在這裡共享同一個角

122
00:06:04,000 --> 00:06:07,180
所以根據相似判定 這兩個三角形

123
00:06:07,190 --> 00:06:08,180
是相似的

124
00:06:08,190 --> 00:06:12,250
也就是說三角形BDC 我們按從粉色的角開始到直角

125
00:06:12,260 --> 00:06:13,120
再到未標記角的順序寫字母

126
00:06:13,130 --> 00:06:20,920
所以三角形BDC相似於大三角形

127
00:06:20,930 --> 00:06:22,560
我們要來觀察大三角形的對應點

128
00:06:22,570 --> 00:06:24,540
我們從粉色角B開始

129
00:06:24,550 --> 00:06:27,480
到直角C再到A

130
00:06:27,490 --> 00:06:31,040
BCA

131
00:06:31,050 --> 00:06:35,620
從粉色角到直角再到未標記角 一樣的順序

132
00:06:35,630 --> 00:06:38,200
和小三角形一樣的順序

133
00:06:38,210 --> 00:06:40,900
現在我們要找一些關係

134
00:06:40,910 --> 00:06:44,690
先來看小三角形的邊BC

135
00:06:44,700 --> 00:06:47,470
BC比上BA

136
00:06:47,480 --> 00:06:49,750
BC比BA

137
00:06:49,760 --> 00:06:53,420
我們還是在比較兩個三角形的斜邊

138
00:06:53,430 --> 00:07:00,690
於是BC比BA等於BD比上另一條邊

139
00:07:00,700 --> 00:07:04,720
讓我換一種顏色 BD是其中一條直角邊

140
00:07:04,730 --> 00:07:07,110
BD在這裡是一條較短的直角邊

141
00:07:07,120 --> 00:07:14,260
找到對應的大三角形的直角邊BC 所以是BD比BC

142
00:07:14,270 --> 00:07:18,190
我們已知BC用字母b表示

143
00:07:18,200 --> 00:07:20,330
BC就是小寫的b

144
00:07:20,340 --> 00:07:23,080
BA是小寫的c

145
00:07:23,090 --> 00:07:29,280
BD根據之前我們定義的是小寫的e

146
00:07:29,290 --> 00:07:31,560
所以這是小寫的e

147
00:07:31,570 --> 00:07:35,000
交叉相乘 這裡是 b乘以b

148
00:07:35,010 --> 00:07:38,840
我在很多影片中提到交叉相乘

149
00:07:38,850 --> 00:07:42,480
兩邊都要乘以相應的分母

150
00:07:42,490 --> 00:07:46,180
所以b乘以b等於ce

151
00:07:46,190 --> 00:07:50,030
現在我們可以做一件有趣的事情

152
00:07:50,040 --> 00:07:52,050
我們把這兩個等式加起來

153
00:07:52,060 --> 00:07:53,480
讓我重新來寫一下

154
00:07:53,490 --> 00:07:55,770
b的平方等於ce

155
00:07:55,780 --> 00:07:59,750
如果我們把左手邊加起來將會得到

156
00:07:59,760 --> 00:08:08,060
b的平方加上a的平方 而它們等於cd加上

157
00:08:08,070 --> 00:08:12,920
ce

158
00:08:12,930 --> 00:08:16,170
右邊兩項有公因式c所以我們把c提出來

159
00:08:16,180 --> 00:08:19,810
所以右邊等於

160
00:08:19,820 --> 00:08:22,660
c乘以d和e的和

161
00:08:22,670 --> 00:08:29,250
給d加e套上括號

162
00:08:29,260 --> 00:08:31,450
結果是什麽

163
00:08:31,460 --> 00:08:32,870
d是這條長度

164
00:08:32,880 --> 00:08:34,260
e是這段長度

165
00:08:34,270 --> 00:08:37,070
d加上e實際上同樣等於c

166
00:08:37,080 --> 00:08:38,550
所以這就成了c

167
00:08:38,560 --> 00:08:42,650
c乘以c得到c的平方

168
00:08:42,660 --> 00:08:45,850
現在我們得到了一個有趣的關係

169
00:08:45,860 --> 00:08:51,290
我們得到a的平方加上b的平方等於c的平方

170
00:08:51,300 --> 00:08:52,260
讓我重新寫一遍

171
00:08:52,270 --> 00:08:56,930
讓我用個新的顏色

172
00:08:56,940 --> 00:09:02,020
剛才不小心刪掉了 現在再寫一遍

173
00:09:02,030 --> 00:09:05,600
所以我們剛才得到了a的平方

174
00:09:05,610 --> 00:09:09,310
加上b的平方等於c的平方

175
00:09:09,320 --> 00:09:11,560
這是一個任意的直角三角形

176
00:09:11,570 --> 00:09:13,740
這兩個小三角形也是任意的

177
00:09:13,750 --> 00:09:17,950
我們剛剛得到了直角邊的平方和

178
00:09:17,960 --> 00:09:20,030
等於斜邊的平方

179
00:09:20,040 --> 00:09:24,840
這大概是數學領域最簡單卻最有名的定理之一

180
00:09:24,850 --> 00:09:27,280
它以畢達哥拉斯的名字命名

181
00:09:27,290 --> 00:09:29,970
不知道他是不是第一個發現這個定理的人

182
00:09:29,980 --> 00:09:32,610
但是這個定理就叫做畢達哥拉斯定理

183
00:09:32,620 --> 00:09:37,490
就是勾股定律

184
00:09:37,500 --> 00:09:41,680
這並不是一切幾何學的基礎但是卻對於

185
00:09:41,690 --> 00:09:43,440
幾何學至關重要

186
00:09:43,450 --> 00:09:47,060
並且它是所有三角運算的基礎

187
00:09:47,070 --> 00:09:49,550
這個定律相當使用因爲當你知道一個直角三角形

188
00:09:49,560 --> 00:09:51,340
的兩邊 你可以輕松得到第三邊