這是一個直角三角形 它是直角三角形是因爲它有一個角是90度 或者說它有一個直角 現在我們來看這條最長的邊 你可以把它看作是 直角三角形最長的邊 也可以看作是直角的對邊 總之這條邊我們叫它斜邊 這個名字對於它簡單的概念來說略顯華麗 只不過就是直角三角形的最長邊 或者說是直角的對邊而已 但是這還是有用的 因爲用一個單詞比較簡單 我們不必說"他們說的是這條邊 這條最長的直角的對邊"直接說斜邊就可以了 現在我要做的是證明一個關係 一個非常著名的關係 一個關於直角三角形各邊長度之間的 著名的關係 我們假設邊AC的長度 注意是大寫的A和C 我們假設長度是小寫的a 同時把邊BC的長度稱爲b 我用大寫字母表示點而小寫字母表示長度 最後我們把斜邊的長度 即AB的長度 叫做c 現在我們來看看我們是否能得出a b c之間的關係 在這之前我需要作一條輔助線 或者說輔助線段 在點C和斜邊之間的一條輔助線段 這條輔助線將和斜邊成直角 這並不難 我們準備叫這個點D D就是輔助線和斜邊的交點 如果這時候你擔心 怎麽作出這條輔助線 你可以想象一下把整個三角形這麽旋轉一下 這對後面的證明沒有作用 但是這能讓你 更直接地作出輔助線 我已經把它轉了過來 現在斜邊 成爲了底邊 這是點B 這是點A 我們已經把三角形轉了過來 上面這個點是C 你可以想象從點C扔一塊石頭 這塊石頭綁在一根繩子上 繩子連在點C 於是 綁線的石頭會和斜邊形成直角 以上所做的都是爲了作出輔助線段CD 垂足就是點D 在這裡 我之所以作這麽一條輔助線是因爲這樣子 我們就可以研究相似三角形的有趣關係了 現在一共有三個三角形 三角形ADC 三角形DBC以及原來的大三角形 我們應該能夠在這些三角形之間建立相似關係 首先我們來證明三角形ADC相似於大三角形 因爲它們都有一個直角 三角形ADC的這個角是直角 如果這個角是90度 那麽這個角一定也是90度 它們是互補的因此它們的度數和必須是180度 所以兩個三角形都有一個直角 小三角形在這裡有一個直角 大三角形顯然我們已知它有一個直角 同時 它們還共有同一個角 角DAC或者角BAC 隨你們怎麽叫它 我們可以把那些三角形寫下來 我從小的開始 三角形ADC 我給它塗上陰影 所以這就是我們要看的三角形 ADC 然後我們一個角一個角來對應從藍色的角 直角 到沒有標記的那個角 這個直角並不對應那邊那個角 這個直角和大三角形的直角對應 所以 我們可以推出三角形ADC 和大三角形相似 我們再在大三角形上對應一次 從藍色角A 到直角 我們不必再去看那個直角 所以三角形ADC相似於三角形ACB 三角形ACB 因爲它們是相似的 所以我們可以建立 它們邊的長度比關係 比如說對應邊的比例 我們知道相似三角形對應邊的 長度的比值 是一個常數 所以我們可以利用這個比值 這個小三角形的斜邊AC 還有大三角形的斜邊 AB AC比AB的值一定與AD 比上某一條邊的值相等 我們要在相似三角形上取 對應的點和邊 所以是AD比AC 你可以自己看看這些三角形 你會發現 邊AD是藍色角和紅色角 的夾邊 邊AD在這兩個角中間 同時邊AC也在大三角形的藍色角和紅色角 的中間 所以這些邊是大三角形的 而這些是小三角形上的對應邊 如果有點不明白 看它們的標記字母 只要你把相似三角形的字母順序寫對了 你就能找對對應點 AC和大三角形的AB對應 小三角形的AD和大三角形的AC對應 我們已知AC的長度是a 小寫的a 所以a代表AC 我們沒有給AD的長度標字母 但是我們知道AB的長度用c表示 我們沒有表示AD長度的字母 那麽就叫它d 所以d對應著那一段的長度 而c對應這整條斜邊的長度 我們把DB的長度稱爲e 這會讓證明簡潔一些 所以現在AD是d 於是我們得到關係a比c等於d比a 如果我們把等式交叉相乘 a乘以a得到a的平方 a的平方等於c乘以d 也就是cd 這是一個有趣的結果 讓我們來看看我們可以對剩下那個三角形做點什麽 就是這個三角形 同樣地 它有一個直角 大三角形也有一個直角 並且它們在這裡共享同一個角 所以根據相似判定 這兩個三角形 是相似的 也就是說三角形BDC 我們按從粉色的角開始到直角 再到未標記角的順序寫字母 所以三角形BDC相似於大三角形 我們要來觀察大三角形的對應點 我們從粉色角B開始 到直角C再到A BCA 從粉色角到直角再到未標記角 一樣的順序 和小三角形一樣的順序 現在我們要找一些關係 先來看小三角形的邊BC BC比上BA BC比BA 我們還是在比較兩個三角形的斜邊 於是BC比BA等於BD比上另一條邊 讓我換一種顏色 BD是其中一條直角邊 BD在這裡是一條較短的直角邊 找到對應的大三角形的直角邊BC 所以是BD比BC 我們已知BC用字母b表示 BC就是小寫的b BA是小寫的c BD根據之前我們定義的是小寫的e 所以這是小寫的e 交叉相乘 這裡是 b乘以b 我在很多影片中提到交叉相乘 兩邊都要乘以相應的分母 所以b乘以b等於ce 現在我們可以做一件有趣的事情 我們把這兩個等式加起來 讓我重新來寫一下 b的平方等於ce 如果我們把左手邊加起來將會得到 b的平方加上a的平方 而它們等於cd加上 ce 右邊兩項有公因式c所以我們把c提出來 所以右邊等於 c乘以d和e的和 給d加e套上括號 結果是什麽 d是這條長度 e是這段長度 d加上e實際上同樣等於c 所以這就成了c c乘以c得到c的平方 現在我們得到了一個有趣的關係 我們得到a的平方加上b的平方等於c的平方 讓我重新寫一遍 讓我用個新的顏色 剛才不小心刪掉了 現在再寫一遍 所以我們剛才得到了a的平方 加上b的平方等於c的平方 這是一個任意的直角三角形 這兩個小三角形也是任意的 我們剛剛得到了直角邊的平方和 等於斜邊的平方 這大概是數學領域最簡單卻最有名的定理之一 它以畢達哥拉斯的名字命名 不知道他是不是第一個發現這個定理的人 但是這個定理就叫做畢達哥拉斯定理 就是勾股定律 這並不是一切幾何學的基礎但是卻對於 幾何學至關重要 並且它是所有三角運算的基礎 這個定律相當使用因爲當你知道一個直角三角形 的兩邊 你可以輕松得到第三邊