WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:04.420
這是一個直角三角形

00:00:04.430 --> 00:00:07.130
它是直角三角形是因爲它有一個角是90度

00:00:07.140 --> 00:00:09.000
或者說它有一個直角

00:00:09.010 --> 00:00:12.730
現在我們來看這條最長的邊

00:00:12.740 --> 00:00:15.250
你可以把它看作是

00:00:15.260 --> 00:00:16.730
直角三角形最長的邊

00:00:16.740 --> 00:00:18.740
也可以看作是直角的對邊

00:00:18.750 --> 00:00:20.370
總之這條邊我們叫它斜邊

00:00:20.380 --> 00:00:24.120
這個名字對於它簡單的概念來說略顯華麗

00:00:24.130 --> 00:00:25.820
只不過就是直角三角形的最長邊

00:00:25.830 --> 00:00:27.770
或者說是直角的對邊而已

00:00:27.780 --> 00:00:30.400
但是這還是有用的 因爲用一個單詞比較簡單

00:00:30.410 --> 00:00:32.420
我們不必說"他們說的是這條邊

00:00:32.430 --> 00:00:36.080
這條最長的直角的對邊"直接說斜邊就可以了

00:00:36.090 --> 00:00:40.690
現在我要做的是證明一個關係

00:00:40.700 --> 00:00:43.950
一個非常著名的關係

00:00:43.960 --> 00:00:47.470
一個關於直角三角形各邊長度之間的

00:00:47.480 --> 00:00:48.620
著名的關係

00:00:48.630 --> 00:00:53.670
我們假設邊AC的長度 注意是大寫的A和C

00:00:53.680 --> 00:00:55.830
我們假設長度是小寫的a

00:00:55.840 --> 00:01:00.630
同時把邊BC的長度稱爲b

00:01:00.640 --> 00:01:03.320
我用大寫字母表示點而小寫字母表示長度

00:01:03.330 --> 00:01:05.740
最後我們把斜邊的長度

00:01:05.750 --> 00:01:08.170
即AB的長度 叫做c

00:01:08.180 --> 00:01:12.330
現在我們來看看我們是否能得出a b c之間的關係

00:01:12.340 --> 00:01:15.590
在這之前我需要作一條輔助線

00:01:15.600 --> 00:01:19.240
或者說輔助線段 在點C和斜邊之間的一條輔助線段

00:01:19.250 --> 00:01:24.020
這條輔助線將和斜邊成直角

00:01:24.030 --> 00:01:26.790
這並不難 我們準備叫這個點D

00:01:26.800 --> 00:01:28.280
D就是輔助線和斜邊的交點

00:01:28.290 --> 00:01:31.100
如果這時候你擔心 怎麽作出這條輔助線

00:01:31.110 --> 00:01:34.180
你可以想象一下把整個三角形這麽旋轉一下

00:01:34.190 --> 00:01:36.970
這對後面的證明沒有作用 但是這能讓你

00:01:36.980 --> 00:01:39.520
更直接地作出輔助線

00:01:39.530 --> 00:01:42.880
我已經把它轉了過來 現在斜邊

00:01:42.890 --> 00:01:44.320
成爲了底邊

00:01:44.330 --> 00:01:48.500
這是點B 這是點A

00:01:48.510 --> 00:01:50.850
我們已經把三角形轉了過來

00:01:50.860 --> 00:01:54.270
上面這個點是C 你可以想象從點C扔一塊石頭

00:01:54.280 --> 00:01:57.780
這塊石頭綁在一根繩子上 繩子連在點C 於是

00:01:57.790 --> 00:01:59.230
綁線的石頭會和斜邊形成直角

00:01:59.240 --> 00:02:02.330
以上所做的都是爲了作出輔助線段CD

00:02:02.340 --> 00:02:05.290
垂足就是點D 在這裡

00:02:05.300 --> 00:02:08.400
我之所以作這麽一條輔助線是因爲這樣子

00:02:08.410 --> 00:02:10.720
我們就可以研究相似三角形的有趣關係了

00:02:10.730 --> 00:02:14.000
現在一共有三個三角形 三角形ADC

00:02:14.010 --> 00:02:17.850
三角形DBC以及原來的大三角形

00:02:17.860 --> 00:02:21.500
我們應該能夠在這些三角形之間建立相似關係

00:02:21.510 --> 00:02:27.690
首先我們來證明三角形ADC相似於大三角形

00:02:27.700 --> 00:02:29.470
因爲它們都有一個直角

00:02:29.480 --> 00:02:32.070
三角形ADC的這個角是直角

00:02:32.080 --> 00:02:33.920
如果這個角是90度

00:02:33.930 --> 00:02:35.750
那麽這個角一定也是90度

00:02:35.760 --> 00:02:38.160
它們是互補的因此它們的度數和必須是180度

00:02:38.170 --> 00:02:40.650
所以兩個三角形都有一個直角

00:02:40.660 --> 00:02:42.050
小三角形在這裡有一個直角

00:02:42.060 --> 00:02:44.860
大三角形顯然我們已知它有一個直角

00:02:44.870 --> 00:02:49.080
同時 它們還共有同一個角

00:02:49.090 --> 00:02:53.250
角DAC或者角BAC 隨你們怎麽叫它

00:02:53.260 --> 00:02:55.850
我們可以把那些三角形寫下來

00:02:55.860 --> 00:02:58.370
我從小的開始

00:02:58.380 --> 00:03:02.410
三角形ADC 我給它塗上陰影

00:03:02.420 --> 00:03:05.270
所以這就是我們要看的三角形 ADC

00:03:05.280 --> 00:03:07.620
然後我們一個角一個角來對應從藍色的角 直角

00:03:07.630 --> 00:03:10.350
到沒有標記的那個角

00:03:10.360 --> 00:03:14.070
這個直角並不對應那邊那個角

00:03:14.080 --> 00:03:15.480
這個直角和大三角形的直角對應

00:03:15.490 --> 00:03:20.440
所以 我們可以推出三角形ADC

00:03:20.450 --> 00:03:24.200
和大三角形相似

00:03:24.210 --> 00:03:27.610
我們再在大三角形上對應一次 從藍色角A

00:03:27.620 --> 00:03:29.580
到直角

00:03:29.590 --> 00:03:31.920
我們不必再去看那個直角

00:03:31.930 --> 00:03:33.720
所以三角形ADC相似於三角形ACB

00:03:33.730 --> 00:03:36.530
三角形ACB

00:03:36.540 --> 00:03:40.160
因爲它們是相似的 所以我們可以建立

00:03:40.170 --> 00:03:42.000
它們邊的長度比關係

00:03:42.010 --> 00:03:44.730
比如說對應邊的比例

00:03:44.740 --> 00:03:47.450
我們知道相似三角形對應邊的

00:03:47.460 --> 00:03:49.070
長度的比值

00:03:49.080 --> 00:03:50.050
是一個常數

00:03:50.060 --> 00:03:54.500
所以我們可以利用這個比值 這個小三角形的斜邊AC

00:03:54.510 --> 00:04:00.580
還有大三角形的斜邊

00:04:00.590 --> 00:04:01.720
AB

00:04:01.730 --> 00:04:10.370
AC比AB的值一定與AD

00:04:10.380 --> 00:04:11.570
比上某一條邊的值相等

00:04:11.580 --> 00:04:17.110
我們要在相似三角形上取

00:04:17.120 --> 00:04:18.320
對應的點和邊

00:04:18.330 --> 00:04:23.740
所以是AD比AC

00:04:23.750 --> 00:04:25.720
你可以自己看看這些三角形

00:04:25.730 --> 00:04:30.040
你會發現 邊AD是藍色角和紅色角

00:04:30.050 --> 00:04:32.570
的夾邊

00:04:32.580 --> 00:04:34.540
邊AD在這兩個角中間

00:04:34.550 --> 00:04:38.130
同時邊AC也在大三角形的藍色角和紅色角

00:04:38.140 --> 00:04:39.190
的中間

00:04:39.200 --> 00:04:41.100
所以這些邊是大三角形的

00:04:41.110 --> 00:04:43.240
而這些是小三角形上的對應邊

00:04:43.250 --> 00:04:46.190
如果有點不明白 看它們的標記字母

00:04:46.200 --> 00:04:50.380
只要你把相似三角形的字母順序寫對了

00:04:50.390 --> 00:04:51.990
你就能找對對應點

00:04:52.000 --> 00:04:56.150
AC和大三角形的AB對應

00:04:56.160 --> 00:05:01.950
小三角形的AD和大三角形的AC對應

00:05:01.960 --> 00:05:06.690
我們已知AC的長度是a

00:05:06.700 --> 00:05:08.640
小寫的a

00:05:08.650 --> 00:05:10.720
所以a代表AC

00:05:10.730 --> 00:05:15.520
我們沒有給AD的長度標字母

00:05:15.530 --> 00:05:20.330
但是我們知道AB的長度用c表示

00:05:20.340 --> 00:05:24.170
我們沒有表示AD長度的字母

00:05:24.180 --> 00:05:26.580
那麽就叫它d

00:05:26.590 --> 00:05:30.200
所以d對應著那一段的長度

00:05:30.210 --> 00:05:32.940
而c對應這整條斜邊的長度

00:05:32.950 --> 00:05:35.920
我們把DB的長度稱爲e

00:05:35.930 --> 00:05:38.300
這會讓證明簡潔一些

00:05:38.310 --> 00:05:41.350
所以現在AD是d

00:05:41.360 --> 00:05:44.160
於是我們得到關係a比c等於d比a

00:05:44.170 --> 00:05:48.090
如果我們把等式交叉相乘 a乘以a得到a的平方

00:05:48.100 --> 00:05:51.140
a的平方等於c乘以d 也就是cd

00:05:51.150 --> 00:05:53.050
這是一個有趣的結果

00:05:53.060 --> 00:05:55.430
讓我們來看看我們可以對剩下那個三角形做點什麽

00:05:55.440 --> 00:05:57.780
就是這個三角形

00:05:57.790 --> 00:06:00.720
同樣地 它有一個直角 大三角形也有一個直角

00:06:00.730 --> 00:06:03.990
並且它們在這裡共享同一個角

00:06:04.000 --> 00:06:07.180
所以根據相似判定 這兩個三角形

00:06:07.190 --> 00:06:08.180
是相似的

00:06:08.190 --> 00:06:12.250
也就是說三角形BDC 我們按從粉色的角開始到直角

00:06:12.260 --> 00:06:13.120
再到未標記角的順序寫字母

00:06:13.130 --> 00:06:20.920
所以三角形BDC相似於大三角形

00:06:20.930 --> 00:06:22.560
我們要來觀察大三角形的對應點

00:06:22.570 --> 00:06:24.540
我們從粉色角B開始

00:06:24.550 --> 00:06:27.480
到直角C再到A

00:06:27.490 --> 00:06:31.040
BCA

00:06:31.050 --> 00:06:35.620
從粉色角到直角再到未標記角 一樣的順序

00:06:35.630 --> 00:06:38.200
和小三角形一樣的順序

00:06:38.210 --> 00:06:40.900
現在我們要找一些關係

00:06:40.910 --> 00:06:44.690
先來看小三角形的邊BC

00:06:44.700 --> 00:06:47.470
BC比上BA

00:06:47.480 --> 00:06:49.750
BC比BA

00:06:49.760 --> 00:06:53.420
我們還是在比較兩個三角形的斜邊

00:06:53.430 --> 00:07:00.690
於是BC比BA等於BD比上另一條邊

00:07:00.700 --> 00:07:04.720
讓我換一種顏色 BD是其中一條直角邊

00:07:04.730 --> 00:07:07.110
BD在這裡是一條較短的直角邊

00:07:07.120 --> 00:07:14.260
找到對應的大三角形的直角邊BC 所以是BD比BC

00:07:14.270 --> 00:07:18.190
我們已知BC用字母b表示

00:07:18.200 --> 00:07:20.330
BC就是小寫的b

00:07:20.340 --> 00:07:23.080
BA是小寫的c

00:07:23.090 --> 00:07:29.280
BD根據之前我們定義的是小寫的e

00:07:29.290 --> 00:07:31.560
所以這是小寫的e

00:07:31.570 --> 00:07:35.000
交叉相乘 這裡是 b乘以b

00:07:35.010 --> 00:07:38.840
我在很多影片中提到交叉相乘

00:07:38.850 --> 00:07:42.480
兩邊都要乘以相應的分母

00:07:42.490 --> 00:07:46.180
所以b乘以b等於ce

00:07:46.190 --> 00:07:50.030
現在我們可以做一件有趣的事情

00:07:50.040 --> 00:07:52.050
我們把這兩個等式加起來

00:07:52.060 --> 00:07:53.480
讓我重新來寫一下

00:07:53.490 --> 00:07:55.770
b的平方等於ce

00:07:55.780 --> 00:07:59.750
如果我們把左手邊加起來將會得到

00:07:59.760 --> 00:08:08.060
b的平方加上a的平方 而它們等於cd加上

00:08:08.070 --> 00:08:12.920
ce

00:08:12.930 --> 00:08:16.170
右邊兩項有公因式c所以我們把c提出來

00:08:16.180 --> 00:08:19.810
所以右邊等於

00:08:19.820 --> 00:08:22.660
c乘以d和e的和

00:08:22.670 --> 00:08:29.250
給d加e套上括號

00:08:29.260 --> 00:08:31.450
結果是什麽

00:08:31.460 --> 00:08:32.870
d是這條長度

00:08:32.880 --> 00:08:34.260
e是這段長度

00:08:34.270 --> 00:08:37.070
d加上e實際上同樣等於c

00:08:37.080 --> 00:08:38.550
所以這就成了c

00:08:38.560 --> 00:08:42.650
c乘以c得到c的平方

00:08:42.660 --> 00:08:45.850
現在我們得到了一個有趣的關係

00:08:45.860 --> 00:08:51.290
我們得到a的平方加上b的平方等於c的平方

00:08:51.300 --> 00:08:52.260
讓我重新寫一遍

00:08:52.270 --> 00:08:56.930
讓我用個新的顏色

00:08:56.940 --> 00:09:02.020
剛才不小心刪掉了 現在再寫一遍

00:09:02.030 --> 00:09:05.600
所以我們剛才得到了a的平方

00:09:05.610 --> 00:09:09.310
加上b的平方等於c的平方

00:09:09.320 --> 00:09:11.560
這是一個任意的直角三角形

00:09:11.570 --> 00:09:13.740
這兩個小三角形也是任意的

00:09:13.750 --> 00:09:17.950
我們剛剛得到了直角邊的平方和

00:09:17.960 --> 00:09:20.030
等於斜邊的平方

00:09:20.040 --> 00:09:24.840
這大概是數學領域最簡單卻最有名的定理之一

00:09:24.850 --> 00:09:27.280
它以畢達哥拉斯的名字命名

00:09:27.290 --> 00:09:29.970
不知道他是不是第一個發現這個定理的人

00:09:29.980 --> 00:09:32.610
但是這個定理就叫做畢達哥拉斯定理

00:09:32.620 --> 00:09:37.490
就是勾股定律

00:09:37.500 --> 00:09:41.680
這並不是一切幾何學的基礎但是卻對於

00:09:41.690 --> 00:09:43.440
幾何學至關重要

00:09:43.450 --> 00:09:47.060
並且它是所有三角運算的基礎

00:09:47.070 --> 00:09:49.550
這個定律相當使用因爲當你知道一個直角三角形

00:09:49.560 --> 00:09:51.340
的兩邊 你可以輕松得到第三邊