-
-
สามเหลี่ยมที่เรามีตรงนี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
-
และมันเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
เพราะมันมีมุม 90 องศา
-
หรือมีมุมฉากในนั้น
-
ทีนี้ เราเรียกด้านยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉาก
-
เราเรียกด้านนั้น หรือคุณ
-
มองมันเป็นด้านที่ยาวที่สุด
ของสามเหลี่ยมมุมฉาก หรือด้าน
-
ตรงข้ามกับมุม 90 องศาก็ได้ มันเรียกว่า
ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse)
-
เป็นคำสวยหรูสำหรับหลักการง่ายๆ
-
มันก็แค่ด้านที่ยาวที่สุดของ
สามเหลี่ยมมุมฉาก หรือ
-
ด้านตรงข้ามมุม 90 องศา
-
และมันน่ารู้ไว้เพราะบางคน
-
เรียกมันว่า hypotenuse
-
คุณก็บอกว่า โอ้ เขาพูดถึงด้านนี่ตรงนี้
-
ด้านที่ยาวที่สุด ด้านที่ตรงข้ามกับมุม 90 องศา
-
ทีนี้ สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้
-
คือพิสูจน์ความสัมพันธ์ ความสัมพันธ์ชื่อดังมาก
-
และคุณอาจเห็นแล้วว่ามันคืออะไร
-
ความสัมพันธ์ชื่อดังระหว่างความยาว
-
ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก
-
สมมุติว่าความยาว AC ตัว A พิมพ์ใหญ่
-
C พิมพ์ใหญ่ เรียกความยาวว่า a พิมพ์เล็ก
-
ลองเรียกว่าความยาว BC ว่า b เล็กตรงนี้
-
ผมจะใช้ตัวพิมพ์ใหญ่แทนจุด
ตัวพิมพ์เล็กแทนความยาว
-
และลองเรียกความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
ความยาวของ AB
-
เรียกมันว่า c
-
ลองดูว่าเราหาความสัมพันธ์
-
ระหว่าง a, b และ c ได้ไหม
-
และเพื่อหาความสัมพันธ์ ผมจะสร้าง
-
เส้นตรงหรือส่วนของเส้นตรงอีกเส้น
-
ผมควรเรียกว่าอย่างนั้น ระหว่างจุด C
กับด้านตรงข้ามมุมฉาก
-
ผมจะสร้างมันให้
-
มันตัดกันเป็นมุมฉาก
-
คุณทำได้เสมอ
-
และเราจะเรียกจุดนี่ตรงนี้
-
เราจะเรียกจุดนี้ว่า D ใหญ่
-
แล้วถ้าคุณสงสัยว่าทำไม
คุณถึงทำอย่างนั้ได้เสมอ?
-
คุณก็นึกภาพว่าหมุนสามเหลี่ยมทั้งรูปแบบนี้
-
มันไม่ใช่วิธีพิสูจน์ที่รัดกุม แต่มันทำให้คุณ
-
เข้าใจหลักทั่วไปว่าคุณ
-
สร้างจุดอย่างนี้ได้อย่างไร
-
ถ้าผมหมุนมันไป
-
ตอนนี้ด้านตรงข้ามมุมฉากของเรา เราจะอยู่บน
ด้านตรงข้ามมุมฉาก
-
ตอนนี้นี่คือจุด B นี่คือจุด A
-
เราได้หมุนรูปทั้งหมดไป
-
นี่คือจุด C คุณนึกภาพว่า
-
ปล่อยก้อนหินจากจุด C โดยมีเชือกผูก
-
แล้วมันจะกระทบด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นมุมฉาก
-
นั่นก็คือสิ่งที่เราทำเพื่อสร้างส่วนของเส้นตรง CD
-
โดยเราใส่จุด D ตรงนี้
-
และสาเหตุที่เราทำอย่างนั้นคือ เรา
-
จะหาความสัมพันธ์ที่น่าสนใจต่าง ๆ
-
ระหว่างสามเหลี่ยมคล้าย
-
เพราะเรามีสามเหลี่ยมสามรูปตรงนี้
-
เรามีสามเหลี่ยม ADC เรามีสามเหลี่ยม DBC
-
แล้วเรามีสามเหลี่ยมใหญ่อันเดิม
-
และเราหวังว่าจะระบุความคล้าย
-
ระหว่างสามเหลี่ยมเหล่านั้นได้
-
อย่างแรกผมจะแสดงให้คุณเห็นว่า ADC
คล้ายกับรูปใหญ่
-
เพราะทั้งคู่มีมุมฉาก
-
ADC มีมุมฉากตรงนี้
-
แน่นอน ถ้ามุมนี้เท่ากับ 90 องศา
-
แล้วมุมนี้จะเท่ากับ 90 องศาเช่นกัน
-
พวกมันประกอบกันเป็นสองมุมฉาก
-
พวกมันต้องรวมกันได้ 180
-
แล้วทั้งคู่มีมุมฉากในรูป
-
รูปเล็กนี้มีมุมฉาก
-
รูปใหญ่มีมุมฉากชัดเจน
-
นั่นคือจุดเริ่มต้นของเรา
-
และพวกมันยังมีมุมนี้ร่วมกันตรงนี้
-
มุม ADC หรือ BAC ไม่ว่า
-
คุณจะเรียกว่าอะไร
-
เราก็เขียนสามเหลี่ยมนั้นลงไปได้
-
ผมจะเริ่มด้วยรูปเล็ก ADC
-
บางทีผมควรแรเงามันหน่อยตรงนี้
-
นี่ก็คือสามเหลี่ยมที่เรากำลังพูดถึง
-
สามเหลี่ยม ADC
-
และเราไปจากมุมสีฟ้า ไปยังมุมฉาก
-
ไปยังมุมที่ไม่ได้กำกับ
จากมุมมองของสามเหลี่ยม ADC
-
มุมฉากนี้ไม่ใช้ได้กับมุมนั่นตรงนั้น
-
มันใช้กับสามเหลี่ยมรูปใหญ่
-
เราก็บอกได้ว่าสามเหลี่ยม ADC
คล้ายกับสามเหลี่ยม --
-
เหมือนเดิม คุณอยากเริ่มที่มุมสีฟ้า
-
A แล้วเราไปยังมุมฉาก
-
เราต้องไปยังมุมฉากเหมือนเดิม
-
มันก็คือ ACB
-
มันก็คือ ACB
-
และเนื่องจากพวกมันคล้ายกัน เราก็ตั้ง
-
ความสัมพันธ์ระหว่างอัตราส่วนของด้านได้
-
ตัวอย่างเช่น เรารู้ว่าอัตราส่วนของด้านสมนัย
-
จะ ตามหลักสามเหลี่ยมคล้ายแล้ว
-
เรารู้ว่าอัตราส่วนของด้านที่สมนัยกัน
-
จะมีค่าคงที่
-
เราก็หาอัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากของ
-
สามเหลี่ยมเล็กได้
-
ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ AC
-
AC ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉากรูปใหญ่ ซึ่ง
-
ก็คือ AB, AC ส่วน AB จะเท่ากับ AD
-
คือขาข้างหนึ่ง AD
-
เวลาแสดงให้ดู ผมเลือกจุดที่สมนัยกัน
-
บนสามเหลี่ยมคล้ายทั้งสอง นี่คือ AD ส่วน AC
-
คุณมองสามเหลี่ยมพวกนี้
ด้วยตัวเองและแสดงได้ว่า
-
ดูสิ AD จุด AD อยู่ระหว่างมุมสีฟ้า
-
กับมุมฉาก
-
โทษที ด้าน AD อยู่ระหว่างมุมสีฟ้ากับมุมฉาก
-
ด้าน AC อยู่ระหว่างมุมสีฟ้ากับมุมฉาก
-
ของสามเหลี่ยมใหญ่
-
ทั้งคู่มาจากสามเหลี่ยมใหญ่
-
พวกนี้คือด้านที่สมนัยกันบนสามเหลี่ยมเล็ก
-
และถ้ามองภาพแล้วงง
-
ตราบใดที่เราเขียนประโยคความคล้ายถูกต้อง
-
คุณจะหาจุดที่สมนัยกันได้เสมอ
-
AC สมนัยกับ AB บนสามเหลี่ยมใหญ่
-
AD บนสามเหลี่ยมเล็กสมนัย
-
กับ AC บนสามเหลี่ยมใหญ่
-
และเรารู้ว่า AC เราเขียนมันใหม่ได้เป็น a เล็ก
-
AC คือ a เล็ก
-
เราไม่มีชื่อกำกับให้ AD หรือ AB
-
โทษที เรามีชื่อกำกับให้ AB
-
มันคือ c ตรงนี้
-
เราไม่มีชื่อกำกับให้ AD
-
AD ลองเรียกมันว่า d เล็ก
-
d เล็กใช้กับส่วนนั่นตรงนั้น
-
c ใช้กับด้านทั้งหมดตรงนั้น
-
แล้วเราเรียกมันว่า DB ลองเรียกความยาวว่า e
-
นั่นทำให้สิ่งต่าง ๆ ให้ง่ายขึ้นหน่อย
-
AD เราจะเรียกว่า d
-
และตอนนี้เราได้ a ส่วน c เท่ากับ d ส่วน a
-
ถ้าเราคูณไขว้ คุณจะได้ a คูณ a คือ a กำลังสอง
-
เท่ากับ c คูณ d ซึ่งก็คือ cd
-
นั่นคือผลลัพธ์ที่น่าสนใจนิดหน่อย
-
ลองดูว่าเราทำอะไรกับสามเหลี่ยมอีกรูปได้
-
ตรงนี้
-
สามเหลี่ยมนี่ตรงนี้
-
เหมือนเดิม มันมีมุมฉาก
-
รูปใหญ่มีมุมฉาก
-
และทั้งคู่มีมุมนี่ตรงนี้ร่วมกัน
-
ด้วยความคล้ายแบบ มุม มุม สามเหลี่ยมสองรูป
-
จะคล้ายกัน
-
เราก็บอกได้ว่าสามเหลี่ยม BDC เราไปจากสีชมพู
-
ไปยังมุมที่ไม่มีตัวกำกับ
-
สามเหลี่ยม BDC คล้ายกับสามเหลี่ยม
-
ตอนนี้เรากำลังดูสามเหลี่ยมใหญ่
-
เราจะเริ่มด้วยมุมสีชมพู
-
B ตอนนี้เราไปยังมุมฉาก
-
CA
-
-
BCA
-
จากมุมสีชมพู ไปมุมฉาก ไปมุมไม่มีตัวกำกับ
-
อย่างน้อยจากมุมมองตรงนี้
-
เรากำกับมันไว้ก่อนด้วยสีฟ้า
-
ตอนนี้เราตั้งความสัมพันธ์บางอย่างได้
-
เราบอกได้ว่า อัตราส่วนของ
สามเหลี่ยมรูปเล็ก BC
-
ด้าน BC ส่วน BA, BC ส่วน BA เหมือนเดิม
-
เราหาด้านตรงข้ามมุมฉากของทั้งคู่
-
BC ส่วน BA จะเท่ากับ BD
-
ขอผมใช้อีกสีนะ
-
BD
-
นี่ก็คือขาข้างหนึ่ง
-
BD
-
วิธีที่ผมวาดมัน คือขาด้านสั้น
-
BD ส่วน BC
-
ผมก็แค่หาจุดยอดที่สมนัยกัน
-
ส่วน BC
-
และเหมือนเดิม เรารู้ว่า BC เท่ากับ b เล็ก
-
BC คือ b เล็ก
-
BA คือ c เล็ก
-
-
แล้ว BD เรานิยามว่าเป็น e เล็ก
-
นี่ก็คือ e เล็ก
-
เราคูณไขว้ตรงนี้ได้ แล้วเรา
-
ได้ b คูณ b ซึ่งผมบอกไปก่อนหลายวิดีโอแล้ว
-
ว่าการคูณไขว้จริง ๆ แล้วก็คือการคูณ
-
ทั้งสองข้างด้วยตัวส่วนทั้งสอง
-
b คูณ b เท่ากับ b กำลังสอง เท่ากับ ce
-
และตอนนี้ เราทำสิ่งที่น่าสนใจได้
-
เราบวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกันได้
-
ขอผมเขียนสมการข้างล่างนี้ใหม่
-
b กำลังสองเท่ากับ ce
-
ถ้าเราบวกด้านซ้ายมือ
-
เราจะได้ a กำลังสองบวก b กำลังสอง
-
a กำลังสอง บวก b กำลังสอง เท่ากับ cd บวก ce
-
-
แล้วเรามี c ในทั้งสองเทอม
-
เราก็แยกมันออกมาได้
-
นี่ก็จะเท่ากับ -- เราดึงตัวร่วม c ออกมาได้
-
มันจะเท่ากับ c คูณ d บวก e
-
c คูณ d บวก e และปิดวงเล็บ
-
d บวก e เป็นเท่าใด?
-
d คือความยาวนี้ e คือความยาวนี้
-
ดังนั้น d บวก e จึงเท่ากับ c เช่นกัน
-
ค่านี้จึงเท่ากับ c
-
คุณจึงได้ c คูณ c ซึ่งเหมือนกับ
-
c กำลังสอง
-
ตอนนี้เรามีความสัมพันธ์ที่น่าสนใจแล้ว
-
เรามี a กำลังสองบวก b กำลังสอง
เท่ากับ c กำลังสอง
-
ขอผมเขียนใหม่นะ
-
a กำลังสอง
-
ทีนี้ ขอผมใช้สีใหม่อะไรก็ได้
-
ผมลบไปโดยไม่ตั้งใจ ขอผมเขียนใหม่นะ
-
เราเพิ่งสรุปได้ว่า a กำลังสองบวก b กำลังสอง
-
เท่ากับ c กำลังสอง
-
และนี่คือสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ
-
มันเป็นจริงสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ
-
เราแค่ระบุไปว่า ผลบวกของกำลังสองของ
-
ขาแต่ละด้านเท่ากับ
กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก
-
และนี่อาจเป็นทฤษฎีบทที่ดังที่สุด
-
อันหนึ่งในคณิตศาสตร์ ตั้งชื่อตาม
-
พีทาโกรัส
-
ไม่แน่ใจว่าเขาเป็นคนแรกที่ตั้งทฤษฏีนี้หรือเปล่า
-
แต่มันเรียกว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัส
-
-
และมันเป็นพื้นฐาน
แม้ไม่ใช่แค่เรขาคณิตทั้งหมด
-
แต่เป็นพื้นฐานเรขาคณิตจำนวนมาก
ที่เราจะทำต่อไป
-
และมันยังเป็นพื้นฐานให้วิชาตรีโกณมิติที่เรา
-
จะทำต่อไป
-
และมันมีประโยชน์จริง ๆ ถ้าคุณ
-
รู้ด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก
-
คุณก็หาด้านที่สามได้
Khan Academy
