สามเหลี่ยมที่เรามีตรงนี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
และมันเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก เพราะมันมีมุม 90 องศา
หรือมีมุมฉากในนั้น
ทีนี้ เราเรียกด้านยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉาก
เราเรียกด้านนั้น หรือคุณ
มองมันเป็นด้านที่ยาวที่สุด ของสามเหลี่ยมมุมฉาก หรือด้าน
ตรงข้ามกับมุม 90 องศาก็ได้ มันเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse)
เป็นคำสวยหรูสำหรับหลักการง่ายๆ
มันก็แค่ด้านที่ยาวที่สุดของ สามเหลี่ยมมุมฉาก หรือ
ด้านตรงข้ามมุม 90 องศา
และมันน่ารู้ไว้เพราะบางคน
เรียกมันว่า hypotenuse
คุณก็บอกว่า โอ้ เขาพูดถึงด้านนี่ตรงนี้
ด้านที่ยาวที่สุด ด้านที่ตรงข้ามกับมุม 90 องศา
ทีนี้ สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้
คือพิสูจน์ความสัมพันธ์ ความสัมพันธ์ชื่อดังมาก
และคุณอาจเห็นแล้วว่ามันคืออะไร
ความสัมพันธ์ชื่อดังระหว่างความยาว
ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก
สมมุติว่าความยาว AC ตัว A พิมพ์ใหญ่
C พิมพ์ใหญ่ เรียกความยาวว่า a พิมพ์เล็ก
ลองเรียกว่าความยาว BC ว่า b เล็กตรงนี้
ผมจะใช้ตัวพิมพ์ใหญ่แทนจุด ตัวพิมพ์เล็กแทนความยาว
และลองเรียกความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ความยาวของ AB
เรียกมันว่า c
ลองดูว่าเราหาความสัมพันธ์
ระหว่าง a, b และ c ได้ไหม
และเพื่อหาความสัมพันธ์ ผมจะสร้าง
เส้นตรงหรือส่วนของเส้นตรงอีกเส้น
ผมควรเรียกว่าอย่างนั้น ระหว่างจุด C กับด้านตรงข้ามมุมฉาก
ผมจะสร้างมันให้
มันตัดกันเป็นมุมฉาก
คุณทำได้เสมอ
และเราจะเรียกจุดนี่ตรงนี้
เราจะเรียกจุดนี้ว่า D ใหญ่
แล้วถ้าคุณสงสัยว่าทำไม คุณถึงทำอย่างนั้ได้เสมอ?
คุณก็นึกภาพว่าหมุนสามเหลี่ยมทั้งรูปแบบนี้
มันไม่ใช่วิธีพิสูจน์ที่รัดกุม แต่มันทำให้คุณ
เข้าใจหลักทั่วไปว่าคุณ
สร้างจุดอย่างนี้ได้อย่างไร
ถ้าผมหมุนมันไป
ตอนนี้ด้านตรงข้ามมุมฉากของเรา เราจะอยู่บน ด้านตรงข้ามมุมฉาก
ตอนนี้นี่คือจุด B นี่คือจุด A
เราได้หมุนรูปทั้งหมดไป
นี่คือจุด C คุณนึกภาพว่า
ปล่อยก้อนหินจากจุด C โดยมีเชือกผูก
แล้วมันจะกระทบด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นมุมฉาก
นั่นก็คือสิ่งที่เราทำเพื่อสร้างส่วนของเส้นตรง CD
โดยเราใส่จุด D ตรงนี้
และสาเหตุที่เราทำอย่างนั้นคือ เรา
จะหาความสัมพันธ์ที่น่าสนใจต่าง ๆ
ระหว่างสามเหลี่ยมคล้าย
เพราะเรามีสามเหลี่ยมสามรูปตรงนี้
เรามีสามเหลี่ยม ADC เรามีสามเหลี่ยม DBC
แล้วเรามีสามเหลี่ยมใหญ่อันเดิม
และเราหวังว่าจะระบุความคล้าย
ระหว่างสามเหลี่ยมเหล่านั้นได้
อย่างแรกผมจะแสดงให้คุณเห็นว่า ADC คล้ายกับรูปใหญ่
เพราะทั้งคู่มีมุมฉาก
ADC มีมุมฉากตรงนี้
แน่นอน ถ้ามุมนี้เท่ากับ 90 องศา
แล้วมุมนี้จะเท่ากับ 90 องศาเช่นกัน
พวกมันประกอบกันเป็นสองมุมฉาก
พวกมันต้องรวมกันได้ 180
แล้วทั้งคู่มีมุมฉากในรูป
รูปเล็กนี้มีมุมฉาก
รูปใหญ่มีมุมฉากชัดเจน
นั่นคือจุดเริ่มต้นของเรา
และพวกมันยังมีมุมนี้ร่วมกันตรงนี้
มุม ADC หรือ BAC ไม่ว่า
คุณจะเรียกว่าอะไร
เราก็เขียนสามเหลี่ยมนั้นลงไปได้
ผมจะเริ่มด้วยรูปเล็ก ADC
บางทีผมควรแรเงามันหน่อยตรงนี้
นี่ก็คือสามเหลี่ยมที่เรากำลังพูดถึง
สามเหลี่ยม ADC
และเราไปจากมุมสีฟ้า ไปยังมุมฉาก
ไปยังมุมที่ไม่ได้กำกับ จากมุมมองของสามเหลี่ยม ADC
มุมฉากนี้ไม่ใช้ได้กับมุมนั่นตรงนั้น
มันใช้กับสามเหลี่ยมรูปใหญ่
เราก็บอกได้ว่าสามเหลี่ยม ADC คล้ายกับสามเหลี่ยม --
เหมือนเดิม คุณอยากเริ่มที่มุมสีฟ้า
A แล้วเราไปยังมุมฉาก
เราต้องไปยังมุมฉากเหมือนเดิม
มันก็คือ ACB
และเนื่องจากพวกมันคล้ายกัน เราก็ตั้ง
ความสัมพันธ์ระหว่างอัตราส่วนของด้านได้
ตัวอย่างเช่น เรารู้ว่าอัตราส่วนของด้านสมนัย
จะ ตามหลักสามเหลี่ยมคล้ายแล้ว
เรารู้ว่าอัตราส่วนของด้านที่สมนัยกัน
จะมีค่าคงที่
เราก็หาอัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากของ
สามเหลี่ยมเล็กได้
ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ AC
AC ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉากรูปใหญ่ ซึ่ง
ก็คือ AB, AC ส่วน AB จะเท่ากับ AD
คือขาข้างหนึ่ง AD
เวลาแสดงให้ดู ผมเลือกจุดที่สมนัยกัน
บนสามเหลี่ยมคล้ายทั้งสอง นี่คือ AD ส่วน AC
คุณมองสามเหลี่ยมพวกนี้ ด้วยตัวเองและแสดงได้ว่า
ดูสิ AD จุด AD อยู่ระหว่างมุมสีฟ้า
กับมุมฉาก
โทษที ด้าน AD อยู่ระหว่างมุมสีฟ้ากับมุมฉาก
ด้าน AC อยู่ระหว่างมุมสีฟ้ากับมุมฉาก
ของสามเหลี่ยมใหญ่
ทั้งคู่มาจากสามเหลี่ยมใหญ่
พวกนี้คือด้านที่สมนัยกันบนสามเหลี่ยมเล็ก
และถ้ามองภาพแล้วงง
ตราบใดที่เราเขียนประโยคความคล้ายถูกต้อง
คุณจะหาจุดที่สมนัยกันได้เสมอ
AC สมนัยกับ AB บนสามเหลี่ยมใหญ่
AD บนสามเหลี่ยมเล็กสมนัย
กับ AC บนสามเหลี่ยมใหญ่
และเรารู้ว่า AC เราเขียนมันใหม่ได้เป็น a เล็ก
AC คือ a เล็ก
เราไม่มีชื่อกำกับให้ AD หรือ AB
โทษที เรามีชื่อกำกับให้ AB
มันคือ c ตรงนี้
เราไม่มีชื่อกำกับให้ AD
AD ลองเรียกมันว่า d เล็ก
d เล็กใช้กับส่วนนั่นตรงนั้น
c ใช้กับด้านทั้งหมดตรงนั้น
แล้วเราเรียกมันว่า DB ลองเรียกความยาวว่า e
นั่นทำให้สิ่งต่าง ๆ ให้ง่ายขึ้นหน่อย
AD เราจะเรียกว่า d
และตอนนี้เราได้ a ส่วน c เท่ากับ d ส่วน a
ถ้าเราคูณไขว้ คุณจะได้ a คูณ a คือ a กำลังสอง
เท่ากับ c คูณ d ซึ่งก็คือ cd
นั่นคือผลลัพธ์ที่น่าสนใจนิดหน่อย
ลองดูว่าเราทำอะไรกับสามเหลี่ยมอีกรูปได้
ตรงนี้
สามเหลี่ยมนี่ตรงนี้
เหมือนเดิม มันมีมุมฉาก
รูปใหญ่มีมุมฉาก
และทั้งคู่มีมุมนี่ตรงนี้ร่วมกัน
ด้วยความคล้ายแบบ มุม มุม สามเหลี่ยมสองรูป
จะคล้ายกัน
เราก็บอกได้ว่าสามเหลี่ยม BDC เราไปจากสีชมพู
ไปยังมุมที่ไม่มีตัวกำกับ
สามเหลี่ยม BDC คล้ายกับสามเหลี่ยม
ตอนนี้เรากำลังดูสามเหลี่ยมใหญ่
เราจะเริ่มด้วยมุมสีชมพู
B ตอนนี้เราไปยังมุมฉาก
CA
BCA
จากมุมสีชมพู ไปมุมฉาก ไปมุมไม่มีตัวกำกับ
อย่างน้อยจากมุมมองตรงนี้
เรากำกับมันไว้ก่อนด้วยสีฟ้า
ตอนนี้เราตั้งความสัมพันธ์บางอย่างได้
เราบอกได้ว่า อัตราส่วนของ สามเหลี่ยมรูปเล็ก BC
ด้าน BC ส่วน BA, BC ส่วน BA เหมือนเดิม
เราหาด้านตรงข้ามมุมฉากของทั้งคู่
BC ส่วน BA จะเท่ากับ BD
ขอผมใช้อีกสีนะ
BD
นี่ก็คือขาข้างหนึ่ง
BD
วิธีที่ผมวาดมัน คือขาด้านสั้น
BD ส่วน BC
ผมก็แค่หาจุดยอดที่สมนัยกัน
ส่วน BC
และเหมือนเดิม เรารู้ว่า BC เท่ากับ b เล็ก
BC คือ b เล็ก
BA คือ c เล็ก
แล้ว BD เรานิยามว่าเป็น e เล็ก
นี่ก็คือ e เล็ก
เราคูณไขว้ตรงนี้ได้ แล้วเรา
ได้ b คูณ b ซึ่งผมบอกไปก่อนหลายวิดีโอแล้ว
ว่าการคูณไขว้จริง ๆ แล้วก็คือการคูณ
ทั้งสองข้างด้วยตัวส่วนทั้งสอง
b คูณ b เท่ากับ b กำลังสอง เท่ากับ ce
และตอนนี้ เราทำสิ่งที่น่าสนใจได้
เราบวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกันได้
ขอผมเขียนสมการข้างล่างนี้ใหม่
b กำลังสองเท่ากับ ce
ถ้าเราบวกด้านซ้ายมือ
เราจะได้ a กำลังสองบวก b กำลังสอง
a กำลังสอง บวก b กำลังสอง เท่ากับ cd บวก ce
แล้วเรามี c ในทั้งสองเทอม
เราก็แยกมันออกมาได้
นี่ก็จะเท่ากับ -- เราดึงตัวร่วม c ออกมาได้
มันจะเท่ากับ c คูณ d บวก e
c คูณ d บวก e และปิดวงเล็บ
d บวก e เป็นเท่าใด?
d คือความยาวนี้ e คือความยาวนี้
ดังนั้น d บวก e จึงเท่ากับ c เช่นกัน
ค่านี้จึงเท่ากับ c
คุณจึงได้ c คูณ c ซึ่งเหมือนกับ
c กำลังสอง
ตอนนี้เรามีความสัมพันธ์ที่น่าสนใจแล้ว
เรามี a กำลังสองบวก b กำลังสอง เท่ากับ c กำลังสอง
ขอผมเขียนใหม่นะ
a กำลังสอง
ทีนี้ ขอผมใช้สีใหม่อะไรก็ได้
ผมลบไปโดยไม่ตั้งใจ ขอผมเขียนใหม่นะ
เราเพิ่งสรุปได้ว่า a กำลังสองบวก b กำลังสอง
เท่ากับ c กำลังสอง
และนี่คือสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ
มันเป็นจริงสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ
เราแค่ระบุไปว่า ผลบวกของกำลังสองของ
ขาแต่ละด้านเท่ากับ กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก
และนี่อาจเป็นทฤษฎีบทที่ดังที่สุด
อันหนึ่งในคณิตศาสตร์ ตั้งชื่อตาม
พีทาโกรัส
ไม่แน่ใจว่าเขาเป็นคนแรกที่ตั้งทฤษฏีนี้หรือเปล่า
แต่มันเรียกว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัส
และมันเป็นพื้นฐาน แม้ไม่ใช่แค่เรขาคณิตทั้งหมด
แต่เป็นพื้นฐานเรขาคณิตจำนวนมาก ที่เราจะทำต่อไป
และมันยังเป็นพื้นฐานให้วิชาตรีโกณมิติที่เรา
จะทำต่อไป
และมันมีประโยชน์จริง ๆ ถ้าคุณ
รู้ด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก
คุณก็หาด้านที่สามได้