WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.670


00:00:00.670 --> 00:00:04.045
สามเหลี่ยมที่เรามีตรงนี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

00:00:04.045 --> 00:00:06.600
และมันเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
เพราะมันมีมุม 90 องศา

00:00:06.600 --> 00:00:09.240
หรือมีมุมฉากในนั้น

00:00:09.240 --> 00:00:12.520
ทีนี้ เราเรียกด้านยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉาก

00:00:12.520 --> 00:00:14.599
เราเรียกด้านนั้น หรือคุณ

00:00:14.599 --> 00:00:17.140
มองมันเป็นด้านที่ยาวที่สุด
ของสามเหลี่ยมมุมฉาก หรือด้าน

00:00:17.140 --> 00:00:20.980
ตรงข้ามกับมุม 90 องศาก็ได้ มันเรียกว่า
ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse)

00:00:20.980 --> 00:00:23.740
เป็นคำสวยหรูสำหรับหลักการง่ายๆ

00:00:23.740 --> 00:00:26.140
มันก็แค่ด้านที่ยาวที่สุดของ
สามเหลี่ยมมุมฉาก หรือ

00:00:26.140 --> 00:00:27.542
ด้านตรงข้ามมุม 90 องศา

00:00:27.542 --> 00:00:29.500
และมันน่ารู้ไว้เพราะบางคน

00:00:29.500 --> 00:00:30.090
เรียกมันว่า hypotenuse

00:00:30.090 --> 00:00:32.548
คุณก็บอกว่า โอ้ เขาพูดถึงด้านนี่ตรงนี้

00:00:32.548 --> 00:00:36.580
ด้านที่ยาวที่สุด ด้านที่ตรงข้ามกับมุม 90 องศา

00:00:36.580 --> 00:00:38.860
ทีนี้ สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้

00:00:38.860 --> 00:00:42.167
คือพิสูจน์ความสัมพันธ์ ความสัมพันธ์ชื่อดังมาก

00:00:42.167 --> 00:00:43.750
และคุณอาจเห็นแล้วว่ามันคืออะไร

00:00:43.750 --> 00:00:46.370
ความสัมพันธ์ชื่อดังระหว่างความยาว

00:00:46.370 --> 00:00:48.840
ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

00:00:48.840 --> 00:00:53.210
สมมุติว่าความยาว AC ตัว A พิมพ์ใหญ่

00:00:53.210 --> 00:00:55.930
C พิมพ์ใหญ่ เรียกความยาวว่า a พิมพ์เล็ก

00:00:55.930 --> 00:01:00.040
ลองเรียกว่าความยาว BC ว่า b เล็กตรงนี้

00:01:00.040 --> 00:01:03.420
ผมจะใช้ตัวพิมพ์ใหญ่แทนจุด 
ตัวพิมพ์เล็กแทนความยาว

00:01:03.420 --> 00:01:06.630
และลองเรียกความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
ความยาวของ AB

00:01:06.630 --> 00:01:07.822
เรียกมันว่า c

00:01:07.822 --> 00:01:10.030
ลองดูว่าเราหาความสัมพันธ์

00:01:10.030 --> 00:01:12.790
ระหว่าง a, b และ c ได้ไหม

00:01:12.790 --> 00:01:14.780
และเพื่อหาความสัมพันธ์ ผมจะสร้าง

00:01:14.780 --> 00:01:16.410
เส้นตรงหรือส่วนของเส้นตรงอีกเส้น

00:01:16.410 --> 00:01:19.520
ผมควรเรียกว่าอย่างนั้น ระหว่างจุด C
กับด้านตรงข้ามมุมฉาก

00:01:19.520 --> 00:01:21.600
ผมจะสร้างมันให้

00:01:21.600 --> 00:01:23.880
มันตัดกันเป็นมุมฉาก

00:01:23.880 --> 00:01:25.006
คุณทำได้เสมอ

00:01:25.006 --> 00:01:27.005
และเราจะเรียกจุดนี่ตรงนี้

00:01:27.005 --> 00:01:28.120
เราจะเรียกจุดนี้ว่า D ใหญ่

00:01:28.120 --> 00:01:31.010
แล้วถ้าคุณสงสัยว่าทำไม
คุณถึงทำอย่างนั้ได้เสมอ?

00:01:31.010 --> 00:01:33.634
คุณก็นึกภาพว่าหมุนสามเหลี่ยมทั้งรูปแบบนี้

00:01:33.634 --> 00:01:36.050
มันไม่ใช่วิธีพิสูจน์ที่รัดกุม แต่มันทำให้คุณ

00:01:36.050 --> 00:01:38.100
เข้าใจหลักทั่วไปว่าคุณ

00:01:38.100 --> 00:01:39.810
สร้างจุดอย่างนี้ได้อย่างไร

00:01:39.810 --> 00:01:41.260
ถ้าผมหมุนมันไป

00:01:41.260 --> 00:01:44.750
ตอนนี้ด้านตรงข้ามมุมฉากของเรา เราจะอยู่บน
ด้านตรงข้ามมุมฉาก

00:01:44.750 --> 00:01:48.414
ตอนนี้นี่คือจุด B นี่คือจุด A

00:01:48.414 --> 00:01:50.580
เราได้หมุนรูปทั้งหมดไป

00:01:50.580 --> 00:01:52.710
นี่คือจุด C คุณนึกภาพว่า

00:01:52.710 --> 00:01:55.820
ปล่อยก้อนหินจากจุด C โดยมีเชือกผูก

00:01:55.820 --> 00:01:59.460
แล้วมันจะกระทบด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นมุมฉาก

00:01:59.460 --> 00:02:02.980
นั่นก็คือสิ่งที่เราทำเพื่อสร้างส่วนของเส้นตรง CD

00:02:02.980 --> 00:02:05.570
โดยเราใส่จุด D ตรงนี้

00:02:05.570 --> 00:02:07.220
และสาเหตุที่เราทำอย่างนั้นคือ เรา

00:02:07.220 --> 00:02:09.289
จะหาความสัมพันธ์ที่น่าสนใจต่าง ๆ

00:02:09.289 --> 00:02:10.490
ระหว่างสามเหลี่ยมคล้าย

00:02:10.490 --> 00:02:12.180
เพราะเรามีสามเหลี่ยมสามรูปตรงนี้

00:02:12.180 --> 00:02:15.604
เรามีสามเหลี่ยม ADC เรามีสามเหลี่ยม DBC

00:02:15.604 --> 00:02:17.520
แล้วเรามีสามเหลี่ยมใหญ่อันเดิม

00:02:17.520 --> 00:02:19.890
และเราหวังว่าจะระบุความคล้าย

00:02:19.890 --> 00:02:21.980
ระหว่างสามเหลี่ยมเหล่านั้นได้

00:02:21.980 --> 00:02:27.590
อย่างแรกผมจะแสดงให้คุณเห็นว่า ADC 
คล้ายกับรูปใหญ่

00:02:27.590 --> 00:02:29.710
เพราะทั้งคู่มีมุมฉาก

00:02:29.710 --> 00:02:32.070
ADC มีมุมฉากตรงนี้

00:02:32.070 --> 00:02:33.571
แน่นอน ถ้ามุมนี้เท่ากับ 90 องศา

00:02:33.571 --> 00:02:35.653
แล้วมุมนี้จะเท่ากับ 90 องศาเช่นกัน

00:02:35.653 --> 00:02:36.660
พวกมันประกอบกันเป็นสองมุมฉาก

00:02:36.660 --> 00:02:38.510
พวกมันต้องรวมกันได้ 180

00:02:38.510 --> 00:02:40.440
แล้วทั้งคู่มีมุมฉากในรูป

00:02:40.440 --> 00:02:42.060
รูปเล็กนี้มีมุมฉาก

00:02:42.060 --> 00:02:43.590
รูปใหญ่มีมุมฉากชัดเจน

00:02:43.590 --> 00:02:44.840
นั่นคือจุดเริ่มต้นของเรา

00:02:44.840 --> 00:02:48.690
และพวกมันยังมีมุมนี้ร่วมกันตรงนี้

00:02:48.690 --> 00:02:52.150
มุม ADC หรือ BAC ไม่ว่า

00:02:52.150 --> 00:02:53.580
คุณจะเรียกว่าอะไร

00:02:53.580 --> 00:02:56.720
เราก็เขียนสามเหลี่ยมนั้นลงไปได้

00:02:56.720 --> 00:03:00.290
ผมจะเริ่มด้วยรูปเล็ก ADC

00:03:00.290 --> 00:03:02.190
บางทีผมควรแรเงามันหน่อยตรงนี้

00:03:02.190 --> 00:03:04.023
นี่ก็คือสามเหลี่ยมที่เรากำลังพูดถึง

00:03:04.023 --> 00:03:05.429
สามเหลี่ยม ADC

00:03:05.429 --> 00:03:07.470
และเราไปจากมุมสีฟ้า ไปยังมุมฉาก

00:03:07.470 --> 00:03:10.620
ไปยังมุมที่ไม่ได้กำกับ
จากมุมมองของสามเหลี่ยม ADC

00:03:10.620 --> 00:03:13.860
มุมฉากนี้ไม่ใช้ได้กับมุมนั่นตรงนั้น

00:03:13.860 --> 00:03:15.820
มันใช้กับสามเหลี่ยมรูปใหญ่

00:03:15.820 --> 00:03:24.820
เราก็บอกได้ว่าสามเหลี่ยม ADC
คล้ายกับสามเหลี่ยม --

00:03:24.820 --> 00:03:27.130
เหมือนเดิม คุณอยากเริ่มที่มุมสีฟ้า

00:03:27.130 --> 00:03:29.500
A แล้วเราไปยังมุมฉาก

00:03:29.500 --> 00:03:32.220
เราต้องไปยังมุมฉากเหมือนเดิม

00:03:32.220 --> 00:03:32.830
มันก็คือ ACB

00:03:32.830 --> 00:03:37.190
มันก็คือ ACB

00:03:37.190 --> 00:03:39.270
และเนื่องจากพวกมันคล้ายกัน เราก็ตั้ง

00:03:39.270 --> 00:03:42.220
ความสัมพันธ์ระหว่างอัตราส่วนของด้านได้

00:03:42.220 --> 00:03:44.705
ตัวอย่างเช่น เรารู้ว่าอัตราส่วนของด้านสมนัย

00:03:44.705 --> 00:03:47.080
จะ ตามหลักสามเหลี่ยมคล้ายแล้ว

00:03:47.080 --> 00:03:48.640
เรารู้ว่าอัตราส่วนของด้านที่สมนัยกัน

00:03:48.640 --> 00:03:49.890
จะมีค่าคงที่

00:03:49.890 --> 00:03:54.100
เราก็หาอัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากของ

00:03:54.100 --> 00:03:54.960
สามเหลี่ยมเล็กได้

00:03:54.960 --> 00:03:57.350
ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ AC

00:03:57.350 --> 00:04:00.710
AC ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉากรูปใหญ่ ซึ่ง

00:04:00.710 --> 00:04:10.480
ก็คือ AB, AC ส่วน AB จะเท่ากับ AD

00:04:10.480 --> 00:04:14.180
คือขาข้างหนึ่ง AD

00:04:14.180 --> 00:04:16.959
เวลาแสดงให้ดู ผมเลือกจุดที่สมนัยกัน

00:04:16.959 --> 00:04:23.794
บนสามเหลี่ยมคล้ายทั้งสอง นี่คือ AD ส่วน AC

00:04:23.794 --> 00:04:25.960
คุณมองสามเหลี่ยมพวกนี้
ด้วยตัวเองและแสดงได้ว่า

00:04:25.960 --> 00:04:29.930
ดูสิ AD จุด AD อยู่ระหว่างมุมสีฟ้า

00:04:29.930 --> 00:04:31.410
กับมุมฉาก

00:04:31.410 --> 00:04:34.760
โทษที ด้าน AD อยู่ระหว่างมุมสีฟ้ากับมุมฉาก

00:04:34.760 --> 00:04:38.025
ด้าน AC อยู่ระหว่างมุมสีฟ้ากับมุมฉาก

00:04:38.025 --> 00:04:39.010
ของสามเหลี่ยมใหญ่

00:04:39.010 --> 00:04:40.950
ทั้งคู่มาจากสามเหลี่ยมใหญ่

00:04:40.950 --> 00:04:43.660
พวกนี้คือด้านที่สมนัยกันบนสามเหลี่ยมเล็ก

00:04:43.660 --> 00:04:46.990
และถ้ามองภาพแล้วงง

00:04:46.990 --> 00:04:50.199
ตราบใดที่เราเขียนประโยคความคล้ายถูกต้อง

00:04:50.199 --> 00:04:51.990
คุณจะหาจุดที่สมนัยกันได้เสมอ

00:04:51.990 --> 00:04:56.590
AC สมนัยกับ AB บนสามเหลี่ยมใหญ่

00:04:56.590 --> 00:04:58.840
AD บนสามเหลี่ยมเล็กสมนัย

00:04:58.840 --> 00:05:02.330
กับ AC บนสามเหลี่ยมใหญ่

00:05:02.330 --> 00:05:06.920
และเรารู้ว่า AC เราเขียนมันใหม่ได้เป็น a เล็ก

00:05:06.920 --> 00:05:10.860
AC คือ a เล็ก

00:05:10.860 --> 00:05:16.810
เราไม่มีชื่อกำกับให้ AD หรือ AB

00:05:16.810 --> 00:05:18.900
โทษที เรามีชื่อกำกับให้ AB

00:05:18.900 --> 00:05:20.590
มันคือ c ตรงนี้

00:05:20.590 --> 00:05:23.790
เราไม่มีชื่อกำกับให้ AD

00:05:23.790 --> 00:05:26.840
AD ลองเรียกมันว่า d เล็ก

00:05:26.840 --> 00:05:30.400
d เล็กใช้กับส่วนนั่นตรงนั้น

00:05:30.400 --> 00:05:33.560
c ใช้กับด้านทั้งหมดตรงนั้น

00:05:33.560 --> 00:05:35.905
แล้วเราเรียกมันว่า DB ลองเรียกความยาวว่า e

00:05:35.905 --> 00:05:38.700
นั่นทำให้สิ่งต่าง ๆ ให้ง่ายขึ้นหน่อย

00:05:38.700 --> 00:05:41.760
AD เราจะเรียกว่า d

00:05:41.760 --> 00:05:43.850
และตอนนี้เราได้ a ส่วน c เท่ากับ d ส่วน a

00:05:43.850 --> 00:05:47.830
ถ้าเราคูณไขว้ คุณจะได้ a คูณ a คือ a กำลังสอง

00:05:47.830 --> 00:05:50.791
เท่ากับ c คูณ d ซึ่งก็คือ cd

00:05:50.791 --> 00:05:52.790
นั่นคือผลลัพธ์ที่น่าสนใจนิดหน่อย

00:05:52.790 --> 00:05:54.789
ลองดูว่าเราทำอะไรกับสามเหลี่ยมอีกรูปได้

00:05:54.789 --> 00:05:55.930
ตรงนี้

00:05:55.930 --> 00:05:57.940
สามเหลี่ยมนี่ตรงนี้

00:05:57.940 --> 00:05:59.490
เหมือนเดิม มันมีมุมฉาก

00:05:59.490 --> 00:06:00.865
รูปใหญ่มีมุมฉาก

00:06:00.865 --> 00:06:04.270
และทั้งคู่มีมุมนี่ตรงนี้ร่วมกัน

00:06:04.270 --> 00:06:07.070
ด้วยความคล้ายแบบ มุม มุม สามเหลี่ยมสองรูป

00:06:07.070 --> 00:06:08.210
จะคล้ายกัน

00:06:08.210 --> 00:06:11.040
เราก็บอกได้ว่าสามเหลี่ยม BDC เราไปจากสีชมพู

00:06:11.040 --> 00:06:12.970
ไปยังมุมที่ไม่มีตัวกำกับ

00:06:12.970 --> 00:06:20.352
สามเหลี่ยม BDC คล้ายกับสามเหลี่ยม

00:06:20.352 --> 00:06:22.310
ตอนนี้เรากำลังดูสามเหลี่ยมใหญ่

00:06:22.310 --> 00:06:23.430
เราจะเริ่มด้วยมุมสีชมพู

00:06:23.430 --> 00:06:25.567
B ตอนนี้เราไปยังมุมฉาก

00:06:25.567 --> 00:06:26.066
CA

00:06:26.066 --> 00:06:29.190


00:06:29.190 --> 00:06:31.680
BCA

00:06:31.680 --> 00:06:34.979
จากมุมสีชมพู ไปมุมฉาก ไปมุมไม่มีตัวกำกับ

00:06:34.979 --> 00:06:36.520
อย่างน้อยจากมุมมองตรงนี้

00:06:36.520 --> 00:06:38.420
เรากำกับมันไว้ก่อนด้วยสีฟ้า

00:06:38.420 --> 00:06:40.620
ตอนนี้เราตั้งความสัมพันธ์บางอย่างได้

00:06:40.620 --> 00:06:45.040
เราบอกได้ว่า อัตราส่วนของ
สามเหลี่ยมรูปเล็ก BC

00:06:45.040 --> 00:06:50.130
ด้าน BC ส่วน BA, BC ส่วน BA เหมือนเดิม

00:06:50.130 --> 00:06:53.230
เราหาด้านตรงข้ามมุมฉากของทั้งคู่

00:06:53.230 --> 00:07:00.593
BC ส่วน BA จะเท่ากับ BD

00:07:00.593 --> 00:07:02.590
ขอผมใช้อีกสีนะ

00:07:02.590 --> 00:07:03.450
BD

00:07:03.450 --> 00:07:04.890
นี่ก็คือขาข้างหนึ่ง

00:07:04.890 --> 00:07:05.570
BD

00:07:05.570 --> 00:07:07.430
วิธีที่ผมวาดมัน คือขาด้านสั้น

00:07:07.430 --> 00:07:10.370
BD ส่วน BC

00:07:10.370 --> 00:07:12.770
ผมก็แค่หาจุดยอดที่สมนัยกัน

00:07:12.770 --> 00:07:14.600
ส่วน BC

00:07:14.600 --> 00:07:18.203
และเหมือนเดิม เรารู้ว่า BC เท่ากับ b เล็ก

00:07:18.203 --> 00:07:20.322
BC คือ b เล็ก

00:07:20.322 --> 00:07:22.926
BA คือ c เล็ก

00:07:22.926 --> 00:07:25.570


00:07:25.570 --> 00:07:29.740
แล้ว BD เรานิยามว่าเป็น e เล็ก

00:07:29.740 --> 00:07:31.260
นี่ก็คือ e เล็ก

00:07:31.260 --> 00:07:33.210
เราคูณไขว้ตรงนี้ได้ แล้วเรา

00:07:33.210 --> 00:07:37.830
ได้ b คูณ b ซึ่งผมบอกไปก่อนหลายวิดีโอแล้ว

00:07:37.830 --> 00:07:40.310
ว่าการคูณไขว้จริง ๆ แล้วก็คือการคูณ

00:07:40.310 --> 00:07:42.680
ทั้งสองข้างด้วยตัวส่วนทั้งสอง

00:07:42.680 --> 00:07:47.960
b คูณ b เท่ากับ b กำลังสอง เท่ากับ ce

00:07:47.960 --> 00:07:50.010
และตอนนี้ เราทำสิ่งที่น่าสนใจได้

00:07:50.010 --> 00:07:51.406
เราบวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกันได้

00:07:51.406 --> 00:07:53.030
ขอผมเขียนสมการข้างล่างนี้ใหม่

00:07:53.030 --> 00:07:56.100
b กำลังสองเท่ากับ ce

00:07:56.100 --> 00:07:58.310
ถ้าเราบวกด้านซ้ายมือ

00:07:58.310 --> 00:08:02.120
เราจะได้ a กำลังสองบวก b กำลังสอง

00:08:02.120 --> 00:08:09.420
a กำลังสอง บวก b กำลังสอง เท่ากับ cd บวก ce

00:08:09.420 --> 00:08:12.595


00:08:12.595 --> 00:08:14.917
แล้วเรามี c ในทั้งสองเทอม

00:08:14.917 --> 00:08:16.000
เราก็แยกมันออกมาได้

00:08:16.000 --> 00:08:19.880
นี่ก็จะเท่ากับ -- เราดึงตัวร่วม c ออกมาได้

00:08:19.880 --> 00:08:22.952
มันจะเท่ากับ c คูณ d บวก e

00:08:22.952 --> 00:08:29.790
c คูณ d บวก e และปิดวงเล็บ

00:08:29.790 --> 00:08:31.460
d บวก e เป็นเท่าใด?

00:08:31.460 --> 00:08:34.159
d คือความยาวนี้ e คือความยาวนี้

00:08:34.159 --> 00:08:37.169
ดังนั้น d บวก e จึงเท่ากับ c เช่นกัน

00:08:37.169 --> 00:08:38.496
ค่านี้จึงเท่ากับ c

00:08:38.496 --> 00:08:41.039
คุณจึงได้ c คูณ c ซึ่งเหมือนกับ

00:08:41.039 --> 00:08:43.030
c กำลังสอง

00:08:43.030 --> 00:08:45.700
ตอนนี้เรามีความสัมพันธ์ที่น่าสนใจแล้ว

00:08:45.700 --> 00:08:51.150
เรามี a กำลังสองบวก b กำลังสอง
เท่ากับ c กำลังสอง

00:08:51.150 --> 00:08:52.580
ขอผมเขียนใหม่นะ

00:08:52.580 --> 00:08:54.300
a กำลังสอง

00:08:54.300 --> 00:08:58.623
ทีนี้ ขอผมใช้สีใหม่อะไรก็ได้

00:08:58.623 --> 00:09:02.380
ผมลบไปโดยไม่ตั้งใจ ขอผมเขียนใหม่นะ

00:09:02.380 --> 00:09:07.390
เราเพิ่งสรุปได้ว่า a กำลังสองบวก b กำลังสอง

00:09:07.390 --> 00:09:09.400
เท่ากับ c กำลังสอง

00:09:09.400 --> 00:09:11.320
และนี่คือสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ

00:09:11.320 --> 00:09:13.590
มันเป็นจริงสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ

00:09:13.590 --> 00:09:17.120
เราแค่ระบุไปว่า ผลบวกของกำลังสองของ

00:09:17.120 --> 00:09:20.060
ขาแต่ละด้านเท่ากับ
กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก

00:09:20.060 --> 00:09:22.550
และนี่อาจเป็นทฤษฎีบทที่ดังที่สุด

00:09:22.550 --> 00:09:26.220
อันหนึ่งในคณิตศาสตร์ ตั้งชื่อตาม

00:09:26.220 --> 00:09:27.360
พีทาโกรัส

00:09:27.360 --> 00:09:30.370
ไม่แน่ใจว่าเขาเป็นคนแรกที่ตั้งทฤษฏีนี้หรือเปล่า

00:09:30.370 --> 00:09:32.310
แต่มันเรียกว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัส

00:09:32.310 --> 00:09:38.290


00:09:38.290 --> 00:09:41.469
และมันเป็นพื้นฐาน 
แม้ไม่ใช่แค่เรขาคณิตทั้งหมด

00:09:41.469 --> 00:09:43.510
แต่เป็นพื้นฐานเรขาคณิตจำนวนมาก
ที่เราจะทำต่อไป

00:09:43.510 --> 00:09:45.880
และมันยังเป็นพื้นฐานให้วิชาตรีโกณมิติที่เรา

00:09:45.880 --> 00:09:46.230
จะทำต่อไป

00:09:46.230 --> 00:09:47.550
และมันมีประโยชน์จริง ๆ ถ้าคุณ

00:09:47.550 --> 00:09:49.299
รู้ด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

00:09:49.299 --> 00:09:51.890
คุณก็หาด้านที่สามได้