0:00:00.000,0:00:00.670


0:00:00.670,0:00:04.045
สามเหลี่ยมที่เรามีตรงนี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

0:00:04.045,0:00:06.600
และมันเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก[br]เพราะมันมีมุม 90 องศา

0:00:06.600,0:00:09.240
หรือมีมุมฉากในนั้น

0:00:09.240,0:00:12.520
ทีนี้ เราเรียกด้านยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉาก

0:00:12.520,0:00:14.599
เราเรียกด้านนั้น หรือคุณ

0:00:14.599,0:00:17.140
มองมันเป็นด้านที่ยาวที่สุด[br]ของสามเหลี่ยมมุมฉาก หรือด้าน

0:00:17.140,0:00:20.980
ตรงข้ามกับมุม 90 องศาก็ได้ มันเรียกว่า[br]ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse)

0:00:20.980,0:00:23.740
เป็นคำสวยหรูสำหรับหลักการง่ายๆ

0:00:23.740,0:00:26.140
มันก็แค่ด้านที่ยาวที่สุดของ[br]สามเหลี่ยมมุมฉาก หรือ

0:00:26.140,0:00:27.542
ด้านตรงข้ามมุม 90 องศา

0:00:27.542,0:00:29.500
และมันน่ารู้ไว้เพราะบางคน

0:00:29.500,0:00:30.090
เรียกมันว่า hypotenuse

0:00:30.090,0:00:32.548
คุณก็บอกว่า โอ้ เขาพูดถึงด้านนี่ตรงนี้

0:00:32.548,0:00:36.580
ด้านที่ยาวที่สุด ด้านที่ตรงข้ามกับมุม 90 องศา

0:00:36.580,0:00:38.860
ทีนี้ สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้

0:00:38.860,0:00:42.167
คือพิสูจน์ความสัมพันธ์ ความสัมพันธ์ชื่อดังมาก

0:00:42.167,0:00:43.750
และคุณอาจเห็นแล้วว่ามันคืออะไร

0:00:43.750,0:00:46.370
ความสัมพันธ์ชื่อดังระหว่างความยาว

0:00:46.370,0:00:48.840
ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

0:00:48.840,0:00:53.210
สมมุติว่าความยาว AC ตัว A พิมพ์ใหญ่

0:00:53.210,0:00:55.930
C พิมพ์ใหญ่ เรียกความยาวว่า a พิมพ์เล็ก

0:00:55.930,0:01:00.040
ลองเรียกว่าความยาว BC ว่า b เล็กตรงนี้

0:01:00.040,0:01:03.420
ผมจะใช้ตัวพิมพ์ใหญ่แทนจุด [br]ตัวพิมพ์เล็กแทนความยาว

0:01:03.420,0:01:06.630
และลองเรียกความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก[br]ความยาวของ AB

0:01:06.630,0:01:07.822
เรียกมันว่า c

0:01:07.822,0:01:10.030
ลองดูว่าเราหาความสัมพันธ์

0:01:10.030,0:01:12.790
ระหว่าง a, b และ c ได้ไหม

0:01:12.790,0:01:14.780
และเพื่อหาความสัมพันธ์ ผมจะสร้าง

0:01:14.780,0:01:16.410
เส้นตรงหรือส่วนของเส้นตรงอีกเส้น

0:01:16.410,0:01:19.520
ผมควรเรียกว่าอย่างนั้น ระหว่างจุด C[br]กับด้านตรงข้ามมุมฉาก

0:01:19.520,0:01:21.600
ผมจะสร้างมันให้

0:01:21.600,0:01:23.880
มันตัดกันเป็นมุมฉาก

0:01:23.880,0:01:25.006
คุณทำได้เสมอ

0:01:25.006,0:01:27.005
และเราจะเรียกจุดนี่ตรงนี้

0:01:27.005,0:01:28.120
เราจะเรียกจุดนี้ว่า D ใหญ่

0:01:28.120,0:01:31.010
แล้วถ้าคุณสงสัยว่าทำไม[br]คุณถึงทำอย่างนั้ได้เสมอ?

0:01:31.010,0:01:33.634
คุณก็นึกภาพว่าหมุนสามเหลี่ยมทั้งรูปแบบนี้

0:01:33.634,0:01:36.050
มันไม่ใช่วิธีพิสูจน์ที่รัดกุม แต่มันทำให้คุณ

0:01:36.050,0:01:38.100
เข้าใจหลักทั่วไปว่าคุณ

0:01:38.100,0:01:39.810
สร้างจุดอย่างนี้ได้อย่างไร

0:01:39.810,0:01:41.260
ถ้าผมหมุนมันไป

0:01:41.260,0:01:44.750
ตอนนี้ด้านตรงข้ามมุมฉากของเรา เราจะอยู่บน[br]ด้านตรงข้ามมุมฉาก

0:01:44.750,0:01:48.414
ตอนนี้นี่คือจุด B นี่คือจุด A

0:01:48.414,0:01:50.580
เราได้หมุนรูปทั้งหมดไป

0:01:50.580,0:01:52.710
นี่คือจุด C คุณนึกภาพว่า

0:01:52.710,0:01:55.820
ปล่อยก้อนหินจากจุด C โดยมีเชือกผูก

0:01:55.820,0:01:59.460
แล้วมันจะกระทบด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นมุมฉาก

0:01:59.460,0:02:02.980
นั่นก็คือสิ่งที่เราทำเพื่อสร้างส่วนของเส้นตรง CD

0:02:02.980,0:02:05.570
โดยเราใส่จุด D ตรงนี้

0:02:05.570,0:02:07.220
และสาเหตุที่เราทำอย่างนั้นคือ เรา

0:02:07.220,0:02:09.289
จะหาความสัมพันธ์ที่น่าสนใจต่าง ๆ

0:02:09.289,0:02:10.490
ระหว่างสามเหลี่ยมคล้าย

0:02:10.490,0:02:12.180
เพราะเรามีสามเหลี่ยมสามรูปตรงนี้

0:02:12.180,0:02:15.604
เรามีสามเหลี่ยม ADC เรามีสามเหลี่ยม DBC

0:02:15.604,0:02:17.520
แล้วเรามีสามเหลี่ยมใหญ่อันเดิม

0:02:17.520,0:02:19.890
และเราหวังว่าจะระบุความคล้าย

0:02:19.890,0:02:21.980
ระหว่างสามเหลี่ยมเหล่านั้นได้

0:02:21.980,0:02:27.590
อย่างแรกผมจะแสดงให้คุณเห็นว่า ADC [br]คล้ายกับรูปใหญ่

0:02:27.590,0:02:29.710
เพราะทั้งคู่มีมุมฉาก

0:02:29.710,0:02:32.070
ADC มีมุมฉากตรงนี้

0:02:32.070,0:02:33.571
แน่นอน ถ้ามุมนี้เท่ากับ 90 องศา

0:02:33.571,0:02:35.653
แล้วมุมนี้จะเท่ากับ 90 องศาเช่นกัน

0:02:35.653,0:02:36.660
พวกมันประกอบกันเป็นสองมุมฉาก

0:02:36.660,0:02:38.510
พวกมันต้องรวมกันได้ 180

0:02:38.510,0:02:40.440
แล้วทั้งคู่มีมุมฉากในรูป

0:02:40.440,0:02:42.060
รูปเล็กนี้มีมุมฉาก

0:02:42.060,0:02:43.590
รูปใหญ่มีมุมฉากชัดเจน

0:02:43.590,0:02:44.840
นั่นคือจุดเริ่มต้นของเรา

0:02:44.840,0:02:48.690
และพวกมันยังมีมุมนี้ร่วมกันตรงนี้

0:02:48.690,0:02:52.150
มุม ADC หรือ BAC ไม่ว่า

0:02:52.150,0:02:53.580
คุณจะเรียกว่าอะไร

0:02:53.580,0:02:56.720
เราก็เขียนสามเหลี่ยมนั้นลงไปได้

0:02:56.720,0:03:00.290
ผมจะเริ่มด้วยรูปเล็ก ADC

0:03:00.290,0:03:02.190
บางทีผมควรแรเงามันหน่อยตรงนี้

0:03:02.190,0:03:04.023
นี่ก็คือสามเหลี่ยมที่เรากำลังพูดถึง

0:03:04.023,0:03:05.429
สามเหลี่ยม ADC

0:03:05.429,0:03:07.470
และเราไปจากมุมสีฟ้า ไปยังมุมฉาก

0:03:07.470,0:03:10.620
ไปยังมุมที่ไม่ได้กำกับ[br]จากมุมมองของสามเหลี่ยม ADC

0:03:10.620,0:03:13.860
มุมฉากนี้ไม่ใช้ได้กับมุมนั่นตรงนั้น

0:03:13.860,0:03:15.820
มันใช้กับสามเหลี่ยมรูปใหญ่

0:03:15.820,0:03:24.820
เราก็บอกได้ว่าสามเหลี่ยม ADC[br]คล้ายกับสามเหลี่ยม --

0:03:24.820,0:03:27.130
เหมือนเดิม คุณอยากเริ่มที่มุมสีฟ้า

0:03:27.130,0:03:29.500
A แล้วเราไปยังมุมฉาก

0:03:29.500,0:03:32.220
เราต้องไปยังมุมฉากเหมือนเดิม

0:03:32.220,0:03:32.830
มันก็คือ ACB

0:03:32.830,0:03:37.190
มันก็คือ ACB

0:03:37.190,0:03:39.270
และเนื่องจากพวกมันคล้ายกัน เราก็ตั้ง

0:03:39.270,0:03:42.220
ความสัมพันธ์ระหว่างอัตราส่วนของด้านได้

0:03:42.220,0:03:44.705
ตัวอย่างเช่น เรารู้ว่าอัตราส่วนของด้านสมนัย

0:03:44.705,0:03:47.080
จะ ตามหลักสามเหลี่ยมคล้ายแล้ว

0:03:47.080,0:03:48.640
เรารู้ว่าอัตราส่วนของด้านที่สมนัยกัน

0:03:48.640,0:03:49.890
จะมีค่าคงที่

0:03:49.890,0:03:54.100
เราก็หาอัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากของ

0:03:54.100,0:03:54.960
สามเหลี่ยมเล็กได้

0:03:54.960,0:03:57.350
ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ AC

0:03:57.350,0:04:00.710
AC ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉากรูปใหญ่ ซึ่ง

0:04:00.710,0:04:10.480
ก็คือ AB, AC ส่วน AB จะเท่ากับ AD

0:04:10.480,0:04:14.180
คือขาข้างหนึ่ง AD

0:04:14.180,0:04:16.959
เวลาแสดงให้ดู ผมเลือกจุดที่สมนัยกัน

0:04:16.959,0:04:23.794
บนสามเหลี่ยมคล้ายทั้งสอง นี่คือ AD ส่วน AC

0:04:23.794,0:04:25.960
คุณมองสามเหลี่ยมพวกนี้[br]ด้วยตัวเองและแสดงได้ว่า

0:04:25.960,0:04:29.930
ดูสิ AD จุด AD อยู่ระหว่างมุมสีฟ้า

0:04:29.930,0:04:31.410
กับมุมฉาก

0:04:31.410,0:04:34.760
โทษที ด้าน AD อยู่ระหว่างมุมสีฟ้ากับมุมฉาก

0:04:34.760,0:04:38.025
ด้าน AC อยู่ระหว่างมุมสีฟ้ากับมุมฉาก

0:04:38.025,0:04:39.010
ของสามเหลี่ยมใหญ่

0:04:39.010,0:04:40.950
ทั้งคู่มาจากสามเหลี่ยมใหญ่

0:04:40.950,0:04:43.660
พวกนี้คือด้านที่สมนัยกันบนสามเหลี่ยมเล็ก

0:04:43.660,0:04:46.990
และถ้ามองภาพแล้วงง

0:04:46.990,0:04:50.199
ตราบใดที่เราเขียนประโยคความคล้ายถูกต้อง

0:04:50.199,0:04:51.990
คุณจะหาจุดที่สมนัยกันได้เสมอ

0:04:51.990,0:04:56.590
AC สมนัยกับ AB บนสามเหลี่ยมใหญ่

0:04:56.590,0:04:58.840
AD บนสามเหลี่ยมเล็กสมนัย

0:04:58.840,0:05:02.330
กับ AC บนสามเหลี่ยมใหญ่

0:05:02.330,0:05:06.920
และเรารู้ว่า AC เราเขียนมันใหม่ได้เป็น a เล็ก

0:05:06.920,0:05:10.860
AC คือ a เล็ก

0:05:10.860,0:05:16.810
เราไม่มีชื่อกำกับให้ AD หรือ AB

0:05:16.810,0:05:18.900
โทษที เรามีชื่อกำกับให้ AB

0:05:18.900,0:05:20.590
มันคือ c ตรงนี้

0:05:20.590,0:05:23.790
เราไม่มีชื่อกำกับให้ AD

0:05:23.790,0:05:26.840
AD ลองเรียกมันว่า d เล็ก

0:05:26.840,0:05:30.400
d เล็กใช้กับส่วนนั่นตรงนั้น

0:05:30.400,0:05:33.560
c ใช้กับด้านทั้งหมดตรงนั้น

0:05:33.560,0:05:35.905
แล้วเราเรียกมันว่า DB ลองเรียกความยาวว่า e

0:05:35.905,0:05:38.700
นั่นทำให้สิ่งต่าง ๆ ให้ง่ายขึ้นหน่อย

0:05:38.700,0:05:41.760
AD เราจะเรียกว่า d

0:05:41.760,0:05:43.850
และตอนนี้เราได้ a ส่วน c เท่ากับ d ส่วน a

0:05:43.850,0:05:47.830
ถ้าเราคูณไขว้ คุณจะได้ a คูณ a คือ a กำลังสอง

0:05:47.830,0:05:50.791
เท่ากับ c คูณ d ซึ่งก็คือ cd

0:05:50.791,0:05:52.790
นั่นคือผลลัพธ์ที่น่าสนใจนิดหน่อย

0:05:52.790,0:05:54.789
ลองดูว่าเราทำอะไรกับสามเหลี่ยมอีกรูปได้

0:05:54.789,0:05:55.930
ตรงนี้

0:05:55.930,0:05:57.940
สามเหลี่ยมนี่ตรงนี้

0:05:57.940,0:05:59.490
เหมือนเดิม มันมีมุมฉาก

0:05:59.490,0:06:00.865
รูปใหญ่มีมุมฉาก

0:06:00.865,0:06:04.270
และทั้งคู่มีมุมนี่ตรงนี้ร่วมกัน

0:06:04.270,0:06:07.070
ด้วยความคล้ายแบบ มุม มุม สามเหลี่ยมสองรูป

0:06:07.070,0:06:08.210
จะคล้ายกัน

0:06:08.210,0:06:11.040
เราก็บอกได้ว่าสามเหลี่ยม BDC เราไปจากสีชมพู

0:06:11.040,0:06:12.970
ไปยังมุมที่ไม่มีตัวกำกับ

0:06:12.970,0:06:20.352
สามเหลี่ยม BDC คล้ายกับสามเหลี่ยม

0:06:20.352,0:06:22.310
ตอนนี้เรากำลังดูสามเหลี่ยมใหญ่

0:06:22.310,0:06:23.430
เราจะเริ่มด้วยมุมสีชมพู

0:06:23.430,0:06:25.567
B ตอนนี้เราไปยังมุมฉาก

0:06:25.567,0:06:26.066
CA

0:06:26.066,0:06:29.190


0:06:29.190,0:06:31.680
BCA

0:06:31.680,0:06:34.979
จากมุมสีชมพู ไปมุมฉาก ไปมุมไม่มีตัวกำกับ

0:06:34.979,0:06:36.520
อย่างน้อยจากมุมมองตรงนี้

0:06:36.520,0:06:38.420
เรากำกับมันไว้ก่อนด้วยสีฟ้า

0:06:38.420,0:06:40.620
ตอนนี้เราตั้งความสัมพันธ์บางอย่างได้

0:06:40.620,0:06:45.040
เราบอกได้ว่า อัตราส่วนของ[br]สามเหลี่ยมรูปเล็ก BC

0:06:45.040,0:06:50.130
ด้าน BC ส่วน BA, BC ส่วน BA เหมือนเดิม

0:06:50.130,0:06:53.230
เราหาด้านตรงข้ามมุมฉากของทั้งคู่

0:06:53.230,0:07:00.593
BC ส่วน BA จะเท่ากับ BD

0:07:00.593,0:07:02.590
ขอผมใช้อีกสีนะ

0:07:02.590,0:07:03.450
BD

0:07:03.450,0:07:04.890
นี่ก็คือขาข้างหนึ่ง

0:07:04.890,0:07:05.570
BD

0:07:05.570,0:07:07.430
วิธีที่ผมวาดมัน คือขาด้านสั้น

0:07:07.430,0:07:10.370
BD ส่วน BC

0:07:10.370,0:07:12.770
ผมก็แค่หาจุดยอดที่สมนัยกัน

0:07:12.770,0:07:14.600
ส่วน BC

0:07:14.600,0:07:18.203
และเหมือนเดิม เรารู้ว่า BC เท่ากับ b เล็ก

0:07:18.203,0:07:20.322
BC คือ b เล็ก

0:07:20.322,0:07:22.926
BA คือ c เล็ก

0:07:22.926,0:07:25.570


0:07:25.570,0:07:29.740
แล้ว BD เรานิยามว่าเป็น e เล็ก

0:07:29.740,0:07:31.260
นี่ก็คือ e เล็ก

0:07:31.260,0:07:33.210
เราคูณไขว้ตรงนี้ได้ แล้วเรา

0:07:33.210,0:07:37.830
ได้ b คูณ b ซึ่งผมบอกไปก่อนหลายวิดีโอแล้ว

0:07:37.830,0:07:40.310
ว่าการคูณไขว้จริง ๆ แล้วก็คือการคูณ

0:07:40.310,0:07:42.680
ทั้งสองข้างด้วยตัวส่วนทั้งสอง

0:07:42.680,0:07:47.960
b คูณ b เท่ากับ b กำลังสอง เท่ากับ ce

0:07:47.960,0:07:50.010
และตอนนี้ เราทำสิ่งที่น่าสนใจได้

0:07:50.010,0:07:51.406
เราบวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกันได้

0:07:51.406,0:07:53.030
ขอผมเขียนสมการข้างล่างนี้ใหม่

0:07:53.030,0:07:56.100
b กำลังสองเท่ากับ ce

0:07:56.100,0:07:58.310
ถ้าเราบวกด้านซ้ายมือ

0:07:58.310,0:08:02.120
เราจะได้ a กำลังสองบวก b กำลังสอง

0:08:02.120,0:08:09.420
a กำลังสอง บวก b กำลังสอง เท่ากับ cd บวก ce

0:08:09.420,0:08:12.595


0:08:12.595,0:08:14.917
แล้วเรามี c ในทั้งสองเทอม

0:08:14.917,0:08:16.000
เราก็แยกมันออกมาได้

0:08:16.000,0:08:19.880
นี่ก็จะเท่ากับ -- เราดึงตัวร่วม c ออกมาได้

0:08:19.880,0:08:22.952
มันจะเท่ากับ c คูณ d บวก e

0:08:22.952,0:08:29.790
c คูณ d บวก e และปิดวงเล็บ

0:08:29.790,0:08:31.460
d บวก e เป็นเท่าใด?

0:08:31.460,0:08:34.159
d คือความยาวนี้ e คือความยาวนี้

0:08:34.159,0:08:37.169
ดังนั้น d บวก e จึงเท่ากับ c เช่นกัน

0:08:37.169,0:08:38.496
ค่านี้จึงเท่ากับ c

0:08:38.496,0:08:41.039
คุณจึงได้ c คูณ c ซึ่งเหมือนกับ

0:08:41.039,0:08:43.030
c กำลังสอง

0:08:43.030,0:08:45.700
ตอนนี้เรามีความสัมพันธ์ที่น่าสนใจแล้ว

0:08:45.700,0:08:51.150
เรามี a กำลังสองบวก b กำลังสอง[br]เท่ากับ c กำลังสอง

0:08:51.150,0:08:52.580
ขอผมเขียนใหม่นะ

0:08:52.580,0:08:54.300
a กำลังสอง

0:08:54.300,0:08:58.623
ทีนี้ ขอผมใช้สีใหม่อะไรก็ได้

0:08:58.623,0:09:02.380
ผมลบไปโดยไม่ตั้งใจ ขอผมเขียนใหม่นะ

0:09:02.380,0:09:07.390
เราเพิ่งสรุปได้ว่า a กำลังสองบวก b กำลังสอง

0:09:07.390,0:09:09.400
เท่ากับ c กำลังสอง

0:09:09.400,0:09:11.320
และนี่คือสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ

0:09:11.320,0:09:13.590
มันเป็นจริงสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ

0:09:13.590,0:09:17.120
เราแค่ระบุไปว่า ผลบวกของกำลังสองของ

0:09:17.120,0:09:20.060
ขาแต่ละด้านเท่ากับ[br]กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก

0:09:20.060,0:09:22.550
และนี่อาจเป็นทฤษฎีบทที่ดังที่สุด

0:09:22.550,0:09:26.220
อันหนึ่งในคณิตศาสตร์ ตั้งชื่อตาม

0:09:26.220,0:09:27.360
พีทาโกรัส

0:09:27.360,0:09:30.370
ไม่แน่ใจว่าเขาเป็นคนแรกที่ตั้งทฤษฏีนี้หรือเปล่า

0:09:30.370,0:09:32.310
แต่มันเรียกว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัส

0:09:32.310,0:09:38.290


0:09:38.290,0:09:41.469
และมันเป็นพื้นฐาน [br]แม้ไม่ใช่แค่เรขาคณิตทั้งหมด

0:09:41.469,0:09:43.510
แต่เป็นพื้นฐานเรขาคณิตจำนวนมาก[br]ที่เราจะทำต่อไป

0:09:43.510,0:09:45.880
และมันยังเป็นพื้นฐานให้วิชาตรีโกณมิติที่เรา

0:09:45.880,0:09:46.230
จะทำต่อไป

0:09:46.230,0:09:47.550
และมันมีประโยชน์จริง ๆ ถ้าคุณ

0:09:47.550,0:09:49.299
รู้ด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

0:09:49.299,0:09:51.890
คุณก็หาด้านที่สามได้