TYTUŁ: Algebra Liniowa: Wstęp do wektorów i wartości własnych

What eigenvectors and eigenvalues are and why they are interesting

Dla każdej transformacji która przekształca z Rn do Rn,

czyniliśmy to bezpośrednio ale jest warto jest znaleźć

wektory które tylko skalują się

poprzez transformację

Tak więc wektory które przyjmują formę, taką żę

mój wektor jest równy przeskalowanej

wersji wektora.

Jeśli nie wydaje Ci się to znajome, możemy sobie

troche przypomnieć.

Kiedy szukaliśmy wektorów bazy dla

przekształcenia - pozwól, że to narysuję

To było z R2 do R2

pozwól mi narysować tutaj R2

i powiedzmy, że miałem wektor v1

który był równy wektorowi [1 2]

i mamy linię rozciągającą się przez ten wektor

Mieliśmy ten przykład kilka filmów temu

I miałem transformację, która zamieniała wektory na symetryczne względem tej linii (przerzucała)

więc jeśli nazwiemy tą linię I, T była transformacją z R2

do R2, która przerzucała przez tą linię

przerzucała wektor przez l (lustrzane odbicie)

W tej transformacji, jeśli miałem jakiś przykładowy wektor

który wyglądał tak, powiedzmy że to x

to jest wektor x, to transformacja x

wygląda jakoś tak

Jest po prostu przerzucona przez linię

To była transformacja x

i jeśli pamiętasz to wideo, to szukaliśmy takiej zmiany

podstawy (bazy), która pozwoliłaby nam wymyślić

macierz przekształcenia, chociażby

w alternatywnej bazie.

i wtedy moglibyśmy wymyślić macierz

przekształcenia w standardowej bazie

i baza jaką wybraliśmy, miała takie wektory bazowe

które nie zmieniały się przez transformację

albo takie które tylko były przez tą transformację skalowane.

Dla przykładu, jeśli wezmę transformację wektora v1

to w wyniku dostaję v1.

Czyli mogę powiedzieć, że transformacja v1

równa była 1 razy v1.

Jeśli teraz zastosujemy tutaj ten wzór który napisałem

tutaj, lambda była byłaby równa 1

i oczywiście, wektor w tym przypadku to v1.

Transformacja po prostu skaluje wektora v1 o 1.

W tym samym zagadnieniu, mieliśmy też inny wektor

na który patrzyliśmy.

to był wektor minus. Powiedzmy, że jest to wektor v2

który, powiedzmy jest [2;-1]

i jeśli jego przetransformujesz, to ponieważ był

ortogonalny do linii po prostu

po prostu się odwrócił

i to także był ciekawy wektor

ponieważ transformacja v2

w tej sytuacji była równa czemu?

po prostu minus v2

Jest równa minus v2.

Albo moglibyśmy powiedzieć, że transformacja v2 jest równa

minus 1 razy v2

i to są interesujące wektory ponieważ jeśli

zdefiniujemy nową bazę (układ współrzędnych) z nimi jako wektorami bazowymi

jest o dużo łatwiej wymyślić macierz transformacji

i z tą bazą o wiele łatwiej się liczy.

W przyszłości pogłębimy ten temat

na ten moment, wierzę że zdajesz sobie sprawę, że te wektory są interesujące.

Są też przykłady, gdzie mamy płaszczyzny opisane

jakimiś wektorami.

i mieliśmy jakiś wektor który wystawał

z płaszczyzny w ten sposób.

I transformowaliśmy rzeczy poprzez branie lustrzanego

obrazu i w

tej transformacji, te czerwone wektory zupełnie się nie zmieniają

a ten koleś zostaje odwrócony.

Więc może te może by się nadawały bazę.

albo te mogły by być dobrymi wektorami bazowymi.

I tak było.

Więc uogólniając, zawsze jesteśmy zainteresowani wektorami

które tylko skalują się przez transformację.

To nie będą dowolne wektory, tak?

Ten wektor, który tu narysowałem, nie tylko

się skaluje, ale się zmienia, ten kierunek

się zmienia.

Wektory które się skalują mogą zmienić strony - mogą iść

z tego kierunku w ten kierunek, albo

stąd dotąd .

albo może to jest x i jego transformacja

jest przeskalowaną wersją x

albo może jest tak

ta linia na której się rozciągają, się nie zmieni.

i tym się będziemy zajmować.

One mają specjalną nazwę.

i mają specjalną nazwę i chcę to mocno

podkreślić bo są przydatne.

To nie jakaś matematyczna gra

w która gramy, chociaż czasem wpadamy w tą pułapkę.

One są faktycznie użyteczne.

Są przydatne do definiowania podstaw, ponieważ w tych podstawach

jest łatwiej znaleźć macierze przekształcenia.

Są bardziej naturalnymi układami współrzędnych. I

często, macierze przekształcenia w tych bazach

są łatwiejsze do obliczenia.

więc mają one specjalne nazwy

Dowolny wektor który spełnia to tutaj

jest nazwany wektorem własnym przekształceniaT.

a ta lambda, współczynnik

staje się wartością własną związaną z tym wektorem własnym.

Więc w tym przykładzie, który dałem gdzie transformacja

przerzucała przez linię, v1, wektor [1;2] jest

wektorem własnym naszej transformacji

Więc [1;2] jest wektorem własnym.

i związana z nim wartość własna wynosi 1.

Ten koleś też jest wektorem własnym

wektor [2;-1]

On też jest wektorem własnym.

To tylko słowo ale oznacza, że ten wektor tylko jest

skalowany przez transformację.

Nie zmienia się w żaden znaczący sposób tylko

jest czynnikiem skalującym.

I odpowiadającą mu wartość własna wynosi minus 1

Jeśli ta transformacja - nie pamiętam ile wynosi

jej macierz transformacji.

Zapomniałem.

Jakiś czas temu ją rozszyfrowaliśmy.

Jeśli ta transformacja może być reprezentowana jako iloczyn

macierzy i wektora- a powinna ponieważ jest liniową

transformacją - to każde v które spełnia

transformację- napiszę transformacja v jest równa

lambda v i spełnia również równanie

A v

To te też nazwalibyśmy wektorami własnymi A, ponieważ A

jest po prostu macierzowym przedstawieniem

tej transformacji.

Więc w tym przypadku, to byłby wektor własny A

a to byłaby przypisana mu wartość własna

Więc jeśli dasz mi macierz, która reprezentuje jakieś liniowe

przekształcenie.

Możemy odkryć też te rzeczy.

W następnym wideo wymyślimy sposoby

wymyślania tych rzeczy.

Ale w tym wideo chcę abyś załapał

że łatwo powiedzieć, 'a' wektory, które

się mało zmieniają

Ale zrozum co to znaczy

To po prostu oznacza, że się skalują albo odwracają.

Kierunek tych linii

się nie zmienia.

i przyczyna dla których to jest dla nas ciekawe

jedna z przyczyn, dla których są one dla nas ciekawe jest to

że są ciekawymi wektorami bazowymi -- wektorami bazowymi

których macierze transformacji są, może obliczeniowo

łatwiejsze, albo czynią lepsze układy współrzędnych.