WEBVTT 00:00:00.730 --> 00:00:06.870 Dla każdej transformacji która przekształca z Rn do Rn, 00:00:06.870 --> 00:00:09.590 czyniliśmy to bezpośrednio ale jest warto jest znaleźć 00:00:09.590 --> 00:00:12.460 wektory które tylko skalują się 00:00:12.460 --> 00:00:13.880 poprzez transformację 00:00:13.880 --> 00:00:17.230 Tak więc wektory które przyjmują formę, taką żę 00:00:17.230 --> 00:00:20.950 mój wektor jest równy przeskalowanej 00:00:20.950 --> 00:00:22.035 wersji wektora. 00:00:22.035 --> 00:00:24.290 Jeśli nie wydaje Ci się to znajome, możemy sobie 00:00:24.290 --> 00:00:25.750 troche przypomnieć. 00:00:25.750 --> 00:00:27.690 Kiedy szukaliśmy wektorów bazy dla 00:00:27.690 --> 00:00:28.986 przekształcenia - pozwól, że to narysuję 00:00:28.986 --> 00:00:31.190 To było z R2 do R2 00:00:33.970 --> 00:00:36.529 pozwól mi narysować tutaj R2 00:00:36.945 --> 00:00:44.305 i powiedzmy, że miałem wektor v1 00:00:44.321 --> 00:00:45.732 który był równy wektorowi [1 2] 00:00:45.870 --> 00:00:48.728 i mamy linię rozciągającą się przez ten wektor 00:00:48.913 --> 00:00:52.000 Mieliśmy ten przykład kilka filmów temu 00:00:52.262 --> 00:00:55.350 I miałem transformację, która zamieniała wektory na symetryczne względem tej linii (przerzucała) 00:00:55.350 --> 00:01:01.230 więc jeśli nazwiemy tą linię I, T była transformacją z R2 00:01:01.230 --> 00:01:04.933 do R2, która przerzucała przez tą linię 00:01:04.933 --> 00:01:12.933 przerzucała wektor przez l (lustrzane odbicie) 00:01:12.933 --> 00:01:15.740 W tej transformacji, jeśli miałem jakiś przykładowy wektor 00:01:15.740 --> 00:01:19.050 który wyglądał tak, powiedzmy że to x 00:01:19.050 --> 00:01:21.548 to jest wektor x, to transformacja x 00:01:21.548 --> 00:01:22.410 wygląda jakoś tak 00:01:22.410 --> 00:01:24.640 Jest po prostu przerzucona przez linię 00:01:24.640 --> 00:01:26.770 To była transformacja x 00:01:26.770 --> 00:01:28.990 i jeśli pamiętasz to wideo, to szukaliśmy takiej zmiany 00:01:28.990 --> 00:01:31.670 podstawy (bazy), która pozwoliłaby nam wymyślić 00:01:31.670 --> 00:01:34.640 macierz przekształcenia, chociażby 00:01:34.640 --> 00:01:35.500 w alternatywnej bazie. 00:01:35.500 --> 00:01:36.900 i wtedy moglibyśmy wymyślić macierz 00:01:36.900 --> 00:01:38.950 przekształcenia w standardowej bazie 00:01:38.950 --> 00:01:42.698 i baza jaką wybraliśmy, miała takie wektory bazowe 00:01:42.698 --> 00:01:44.950 które nie zmieniały się przez transformację 00:01:44.950 --> 00:01:46.817 albo takie które tylko były przez tą transformację skalowane. 00:01:46.817 --> 00:01:52.750 Dla przykładu, jeśli wezmę transformację wektora v1 00:01:52.750 --> 00:01:54.320 to w wyniku dostaję v1. 00:01:54.320 --> 00:01:59.380 Czyli mogę powiedzieć, że transformacja v1 00:01:59.380 --> 00:02:02.800 równa była 1 razy v1. 00:02:02.800 --> 00:02:06.780 Jeśli teraz zastosujemy tutaj ten wzór który napisałem 00:02:06.780 --> 00:02:08.860 tutaj, lambda była byłaby równa 1 00:02:08.860 --> 00:02:11.360 i oczywiście, wektor w tym przypadku to v1. 00:02:11.360 --> 00:02:15.057 Transformacja po prostu skaluje wektora v1 o 1. 00:02:15.057 --> 00:02:18.860 W tym samym zagadnieniu, mieliśmy też inny wektor 00:02:18.860 --> 00:02:20.065 na który patrzyliśmy. 00:02:20.065 --> 00:02:27.670 to był wektor minus. Powiedzmy, że jest to wektor v2 00:02:28.255 --> 00:02:32.210 który, powiedzmy jest [2;-1] 00:02:32.410 --> 00:02:34.420 i jeśli jego przetransformujesz, to ponieważ był 00:02:34.420 --> 00:02:36.250 ortogonalny do linii po prostu 00:02:36.250 --> 00:02:37.840 po prostu się odwrócił 00:02:37.840 --> 00:02:39.760 i to także był ciekawy wektor 00:02:39.760 --> 00:02:44.960 ponieważ transformacja v2 00:02:44.960 --> 00:02:47.050 w tej sytuacji była równa czemu? 00:02:47.050 --> 00:02:48.930 po prostu minus v2 00:02:48.930 --> 00:02:50.270 Jest równa minus v2. 00:02:50.270 --> 00:02:54.920 Albo moglibyśmy powiedzieć, że transformacja v2 jest równa 00:02:54.920 --> 00:02:58.230 minus 1 razy v2 00:02:58.230 --> 00:03:01.870 i to są interesujące wektory ponieważ jeśli 00:03:01.870 --> 00:03:06.390 zdefiniujemy nową bazę (układ współrzędnych) z nimi jako wektorami bazowymi 00:03:06.390 --> 00:03:09.065 jest o dużo łatwiej wymyślić macierz transformacji 00:03:09.065 --> 00:03:12.000 i z tą bazą o wiele łatwiej się liczy. 00:03:12.000 --> 00:03:14.390 W przyszłości pogłębimy ten temat 00:03:14.390 --> 00:03:16.620 na ten moment, wierzę że zdajesz sobie sprawę, że te wektory są interesujące. 00:03:16.620 --> 00:03:21.750 Są też przykłady, gdzie mamy płaszczyzny opisane 00:03:21.750 --> 00:03:23.630 jakimiś wektorami. 00:03:23.630 --> 00:03:25.820 i mieliśmy jakiś wektor który wystawał 00:03:25.820 --> 00:03:27.040 z płaszczyzny w ten sposób. 00:03:27.040 --> 00:03:29.320 I transformowaliśmy rzeczy poprzez branie lustrzanego 00:03:29.320 --> 00:03:31.200 obrazu i w 00:03:31.200 --> 00:03:34.360 tej transformacji, te czerwone wektory zupełnie się nie zmieniają 00:03:34.360 --> 00:03:35.960 a ten koleś zostaje odwrócony. 00:03:35.960 --> 00:03:38.290 Więc może te może by się nadawały bazę. 00:03:38.290 --> 00:03:40.250 albo te mogły by być dobrymi wektorami bazowymi. 00:03:40.250 --> 00:03:41.240 I tak było. 00:03:41.240 --> 00:03:44.850 Więc uogólniając, zawsze jesteśmy zainteresowani wektorami 00:03:44.850 --> 00:03:47.240 które tylko skalują się przez transformację. 00:03:47.240 --> 00:03:49.080 To nie będą dowolne wektory, tak? 00:03:49.080 --> 00:03:51.320 Ten wektor, który tu narysowałem, nie tylko 00:03:51.320 --> 00:03:54.650 się skaluje, ale się zmienia, ten kierunek 00:03:54.650 --> 00:03:56.730 się zmienia. 00:03:56.730 --> 00:04:00.360 Wektory które się skalują mogą zmienić strony - mogą iść 00:04:00.360 --> 00:04:03.020 z tego kierunku w ten kierunek, albo 00:04:03.020 --> 00:04:04.430 stąd dotąd . 00:04:04.430 --> 00:04:07.270 albo może to jest x i jego transformacja 00:04:07.270 --> 00:04:08.460 jest przeskalowaną wersją x 00:04:08.460 --> 00:04:09.710 albo może jest tak 00:04:12.050 --> 00:04:16.970 ta linia na której się rozciągają, się nie zmieni. 00:04:16.970 --> 00:04:19.350 i tym się będziemy zajmować. 00:04:19.350 --> 00:04:21.019 One mają specjalną nazwę. 00:04:21.019 --> 00:04:23.660 i mają specjalną nazwę i chcę to mocno 00:04:23.660 --> 00:04:25.050 podkreślić bo są przydatne. 00:04:25.050 --> 00:04:27.360 To nie jakaś matematyczna gra 00:04:27.360 --> 00:04:29.970 w która gramy, chociaż czasem wpadamy w tą pułapkę. 00:04:29.970 --> 00:04:31.250 One są faktycznie użyteczne. 00:04:31.250 --> 00:04:34.140 Są przydatne do definiowania podstaw, ponieważ w tych podstawach 00:04:34.140 --> 00:04:36.730 jest łatwiej znaleźć macierze przekształcenia. 00:04:36.730 --> 00:04:38.950 Są bardziej naturalnymi układami współrzędnych. I 00:04:38.950 --> 00:04:41.700 często, macierze przekształcenia w tych bazach 00:04:41.700 --> 00:04:43.620 są łatwiejsze do obliczenia. 00:04:43.620 --> 00:04:47.060 więc mają one specjalne nazwy 00:04:47.060 --> 00:04:50.040 Dowolny wektor który spełnia to tutaj 00:04:50.040 --> 00:04:57.810 jest nazwany wektorem własnym przekształceniaT. 00:04:57.810 --> 00:05:01.680 a ta lambda, współczynnik 00:05:01.680 --> 00:05:12.410 staje się wartością własną związaną z tym wektorem własnym. 00:05:16.870 --> 00:05:19.590 Więc w tym przykładzie, który dałem gdzie transformacja 00:05:19.590 --> 00:05:24.020 przerzucała przez linię, v1, wektor [1;2] jest 00:05:24.020 --> 00:05:27.210 wektorem własnym naszej transformacji 00:05:27.210 --> 00:05:31.080 Więc [1;2] jest wektorem własnym. 00:05:33.960 --> 00:05:36.305 i związana z nim wartość własna wynosi 1. 00:05:42.170 --> 00:05:43.820 Ten koleś też jest wektorem własnym 00:05:43.820 --> 00:05:45.270 wektor [2;-1] 00:05:45.270 --> 00:05:47.520 On też jest wektorem własnym. 00:05:47.520 --> 00:05:50.440 To tylko słowo ale oznacza, że ten wektor tylko jest 00:05:50.440 --> 00:05:51.920 skalowany przez transformację. 00:05:51.920 --> 00:05:55.030 Nie zmienia się w żaden znaczący sposób tylko 00:05:55.030 --> 00:05:56.270 jest czynnikiem skalującym. 00:05:56.270 --> 00:06:03.860 I odpowiadającą mu wartość własna wynosi minus 1 00:06:03.860 --> 00:06:05.580 Jeśli ta transformacja - nie pamiętam ile wynosi 00:06:05.580 --> 00:06:06.750 jej macierz transformacji. 00:06:06.750 --> 00:06:07.990 Zapomniałem. 00:06:07.990 --> 00:06:10.820 Jakiś czas temu ją rozszyfrowaliśmy. 00:06:10.820 --> 00:06:16.490 Jeśli ta transformacja może być reprezentowana jako iloczyn 00:06:16.490 --> 00:06:18.180 macierzy i wektora- a powinna ponieważ jest liniową 00:06:18.180 --> 00:06:22.940 transformacją - to każde v które spełnia 00:06:22.940 --> 00:06:27.610 transformację- napiszę transformacja v jest równa 00:06:27.610 --> 00:06:32.520 lambda v i spełnia również równanie 00:06:33.180 --> 00:06:36.380 A v 00:06:36.380 --> 00:06:39.390 To te też nazwalibyśmy wektorami własnymi A, ponieważ A 00:06:39.390 --> 00:06:41.570 jest po prostu macierzowym przedstawieniem 00:06:41.570 --> 00:06:43.090 tej transformacji. 00:06:43.090 --> 00:06:51.560 Więc w tym przypadku, to byłby wektor własny A 00:06:51.560 --> 00:06:53.690 a to byłaby przypisana mu wartość własna 00:06:58.700 --> 00:07:00.940 Więc jeśli dasz mi macierz, która reprezentuje jakieś liniowe 00:07:00.940 --> 00:07:01.880 przekształcenie. 00:07:01.880 --> 00:07:03.880 Możemy odkryć też te rzeczy. 00:07:03.880 --> 00:07:05.730 W następnym wideo wymyślimy sposoby 00:07:05.730 --> 00:07:07.080 wymyślania tych rzeczy. 00:07:07.080 --> 00:07:10.320 Ale w tym wideo chcę abyś załapał 00:07:10.320 --> 00:07:13.920 że łatwo powiedzieć, 'a' wektory, które 00:07:13.920 --> 00:07:15.130 się mało zmieniają 00:07:15.130 --> 00:07:16.620 Ale zrozum co to znaczy 00:07:16.620 --> 00:07:19.860 To po prostu oznacza, że się skalują albo odwracają. 00:07:19.860 --> 00:07:22.060 Kierunek tych linii 00:07:22.060 --> 00:07:23.460 się nie zmienia. 00:07:23.460 --> 00:07:26.400 i przyczyna dla których to jest dla nas ciekawe 00:07:26.400 --> 00:07:28.790 jedna z przyczyn, dla których są one dla nas ciekawe jest to 00:07:28.790 --> 00:07:32.590 że są ciekawymi wektorami bazowymi -- wektorami bazowymi 00:07:32.590 --> 00:07:36.530 których macierze transformacji są, może obliczeniowo 00:07:36.530 --> 00:07:41.610 łatwiejsze, albo czynią lepsze układy współrzędnych.