Dla każdej transformacji która przekształca z Rn do Rn,
czyniliśmy to bezpośrednio ale jest warto jest znaleźć
wektory które tylko skalują się
poprzez transformację
Tak więc wektory które przyjmują formę, taką żę
mój wektor jest równy przeskalowanej
wersji wektora.
Jeśli nie wydaje Ci się to znajome, możemy sobie
troche przypomnieć.
Kiedy szukaliśmy wektorów bazy dla
przekształcenia - pozwól, że to narysuję
To było z R2 do R2
pozwól mi narysować tutaj R2
i powiedzmy, że miałem wektor v1
który był równy wektorowi [1 2]
i mamy linię rozciągającą się przez ten wektor
Mieliśmy ten przykład kilka filmów temu
I miałem transformację, która zamieniała wektory na symetryczne względem tej linii (przerzucała)
więc jeśli nazwiemy tą linię I, T była transformacją z R2
do R2, która przerzucała przez tą linię
przerzucała wektor przez l (lustrzane odbicie)
W tej transformacji, jeśli miałem jakiś przykładowy wektor
który wyglądał tak, powiedzmy że to x
to jest wektor x, to transformacja x
wygląda jakoś tak
Jest po prostu przerzucona przez linię
To była transformacja x
i jeśli pamiętasz to wideo, to szukaliśmy takiej zmiany
podstawy (bazy), która pozwoliłaby nam wymyślić
macierz przekształcenia, chociażby
w alternatywnej bazie.
i wtedy moglibyśmy wymyślić macierz
przekształcenia w standardowej bazie
i baza jaką wybraliśmy, miała takie wektory bazowe
które nie zmieniały się przez transformację
albo takie które tylko były przez tą transformację skalowane.
Dla przykładu, jeśli wezmę transformację wektora v1
to w wyniku dostaję v1.
Czyli mogę powiedzieć, że transformacja v1
równa była 1 razy v1.
Jeśli teraz zastosujemy tutaj ten wzór który napisałem
tutaj, lambda była byłaby równa 1
i oczywiście, wektor w tym przypadku to v1.
Transformacja po prostu skaluje wektora v1 o 1.
W tym samym zagadnieniu, mieliśmy też inny wektor
na który patrzyliśmy.
to był wektor minus. Powiedzmy, że jest to wektor v2
który, powiedzmy jest [2;-1]
i jeśli jego przetransformujesz, to ponieważ był
ortogonalny do linii po prostu
po prostu się odwrócił
i to także był ciekawy wektor
ponieważ transformacja v2
w tej sytuacji była równa czemu?
po prostu minus v2
Jest równa minus v2.
Albo moglibyśmy powiedzieć, że transformacja v2 jest równa
minus 1 razy v2
i to są interesujące wektory ponieważ jeśli
zdefiniujemy nową bazę (układ współrzędnych) z nimi jako wektorami bazowymi
jest o dużo łatwiej wymyślić macierz transformacji
i z tą bazą o wiele łatwiej się liczy.
W przyszłości pogłębimy ten temat
na ten moment, wierzę że zdajesz sobie sprawę, że te wektory są interesujące.
Są też przykłady, gdzie mamy płaszczyzny opisane
jakimiś wektorami.
i mieliśmy jakiś wektor który wystawał
z płaszczyzny w ten sposób.
I transformowaliśmy rzeczy poprzez branie lustrzanego
obrazu i w
tej transformacji, te czerwone wektory zupełnie się nie zmieniają
a ten koleś zostaje odwrócony.
Więc może te może by się nadawały bazę.
albo te mogły by być dobrymi wektorami bazowymi.
I tak było.
Więc uogólniając, zawsze jesteśmy zainteresowani wektorami
które tylko skalują się przez transformację.
To nie będą dowolne wektory, tak?
Ten wektor, który tu narysowałem, nie tylko
się skaluje, ale się zmienia, ten kierunek
się zmienia.
Wektory które się skalują mogą zmienić strony - mogą iść
z tego kierunku w ten kierunek, albo
stąd dotąd .
albo może to jest x i jego transformacja
jest przeskalowaną wersją x
albo może jest tak
ta linia na której się rozciągają, się nie zmieni.
i tym się będziemy zajmować.
One mają specjalną nazwę.
i mają specjalną nazwę i chcę to mocno
podkreślić bo są przydatne.
To nie jakaś matematyczna gra
w która gramy, chociaż czasem wpadamy w tą pułapkę.
One są faktycznie użyteczne.
Są przydatne do definiowania podstaw, ponieważ w tych podstawach
jest łatwiej znaleźć macierze przekształcenia.
Są bardziej naturalnymi układami współrzędnych. I
często, macierze przekształcenia w tych bazach
są łatwiejsze do obliczenia.
więc mają one specjalne nazwy
Dowolny wektor który spełnia to tutaj
jest nazwany wektorem własnym przekształceniaT.
a ta lambda, współczynnik
staje się wartością własną związaną z tym wektorem własnym.
Więc w tym przykładzie, który dałem gdzie transformacja
przerzucała przez linię, v1, wektor [1;2] jest
wektorem własnym naszej transformacji
Więc [1;2] jest wektorem własnym.
i związana z nim wartość własna wynosi 1.
Ten koleś też jest wektorem własnym
wektor [2;-1]
On też jest wektorem własnym.
To tylko słowo ale oznacza, że ten wektor tylko jest
skalowany przez transformację.
Nie zmienia się w żaden znaczący sposób tylko
jest czynnikiem skalującym.
I odpowiadającą mu wartość własna wynosi minus 1
Jeśli ta transformacja - nie pamiętam ile wynosi
jej macierz transformacji.
Zapomniałem.
Jakiś czas temu ją rozszyfrowaliśmy.
Jeśli ta transformacja może być reprezentowana jako iloczyn
macierzy i wektora- a powinna ponieważ jest liniową
transformacją - to każde v które spełnia
transformację- napiszę transformacja v jest równa
lambda v i spełnia również równanie
A v
To te też nazwalibyśmy wektorami własnymi A, ponieważ A
jest po prostu macierzowym przedstawieniem
tej transformacji.
Więc w tym przypadku, to byłby wektor własny A
a to byłaby przypisana mu wartość własna
Więc jeśli dasz mi macierz, która reprezentuje jakieś liniowe
przekształcenie.
Możemy odkryć też te rzeczy.
W następnym wideo wymyślimy sposoby
wymyślania tych rzeczy.
Ale w tym wideo chcę abyś załapał
że łatwo powiedzieć, 'a' wektory, które
się mało zmieniają
Ale zrozum co to znaczy
To po prostu oznacza, że się skalują albo odwracają.
Kierunek tych linii
się nie zmienia.
i przyczyna dla których to jest dla nas ciekawe
jedna z przyczyn, dla których są one dla nas ciekawe jest to
że są ciekawymi wektorami bazowymi -- wektorami bazowymi
których macierze transformacji są, może obliczeniowo
łatwiejsze, albo czynią lepsze układy współrzędnych.