1
00:00:00,730 --> 00:00:06,870
Dla każdej transformacji która przekształca z Rn do Rn,

2
00:00:06,870 --> 00:00:09,590
czyniliśmy to bezpośrednio ale jest warto jest znaleźć

3
00:00:09,590 --> 00:00:12,460
wektory które tylko skalują się

4
00:00:12,460 --> 00:00:13,880
poprzez transformację

5
00:00:13,880 --> 00:00:17,230
Tak więc wektory które przyjmują formę, taką żę

6
00:00:17,230 --> 00:00:20,950
mój wektor jest równy przeskalowanej

7
00:00:20,950 --> 00:00:22,035
wersji wektora.

8
00:00:22,035 --> 00:00:24,290
Jeśli nie wydaje Ci się to znajome, możemy sobie

9
00:00:24,290 --> 00:00:25,750
troche przypomnieć.

10
00:00:25,750 --> 00:00:27,690
Kiedy szukaliśmy wektorów bazy dla

11
00:00:27,690 --> 00:00:28,986
przekształcenia - pozwól, że to narysuję

12
00:00:28,986 --> 00:00:31,190
To było z R2 do R2

13
00:00:33,970 --> 00:00:36,529
pozwól mi narysować tutaj R2

14
00:00:36,945 --> 00:00:44,305
i powiedzmy, że miałem wektor v1

15
00:00:44,321 --> 00:00:45,732
który był równy wektorowi [1 2]

16
00:00:45,870 --> 00:00:48,728
i mamy linię rozciągającą się przez ten wektor

17
00:00:48,913 --> 00:00:52,000
Mieliśmy ten przykład kilka filmów temu

18
00:00:52,262 --> 00:00:55,350
I miałem transformację, która zamieniała wektory na symetryczne względem tej linii (przerzucała)

19
00:00:55,350 --> 00:01:01,230
więc jeśli nazwiemy tą linię I, T była transformacją z R2

20
00:01:01,230 --> 00:01:04,933
do R2, która przerzucała przez tą linię

21
00:01:04,933 --> 00:01:12,933
przerzucała wektor przez l (lustrzane odbicie)

22
00:01:12,933 --> 00:01:15,740
W tej transformacji, jeśli miałem jakiś przykładowy wektor

23
00:01:15,740 --> 00:01:19,050
który wyglądał tak, powiedzmy że to x

24
00:01:19,050 --> 00:01:21,548
to jest wektor x, to transformacja x

25
00:01:21,548 --> 00:01:22,410
wygląda jakoś tak

26
00:01:22,410 --> 00:01:24,640
Jest po prostu przerzucona przez linię

27
00:01:24,640 --> 00:01:26,770
To była transformacja x

28
00:01:26,770 --> 00:01:28,990
i jeśli pamiętasz to wideo, to szukaliśmy takiej zmiany

29
00:01:28,990 --> 00:01:31,670
podstawy (bazy), która pozwoliłaby nam wymyślić

30
00:01:31,670 --> 00:01:34,640
macierz przekształcenia, chociażby

31
00:01:34,640 --> 00:01:35,500
w alternatywnej bazie.

32
00:01:35,500 --> 00:01:36,900
i wtedy moglibyśmy wymyślić macierz

33
00:01:36,900 --> 00:01:38,950
przekształcenia w standardowej bazie

34
00:01:38,950 --> 00:01:42,698
i baza jaką wybraliśmy, miała takie wektory bazowe

35
00:01:42,698 --> 00:01:44,950
które nie zmieniały się przez transformację

36
00:01:44,950 --> 00:01:46,817
albo takie które tylko były przez tą transformację skalowane.

37
00:01:46,817 --> 00:01:52,750
Dla przykładu, jeśli wezmę transformację wektora v1

38
00:01:52,750 --> 00:01:54,320
to w wyniku dostaję v1.

39
00:01:54,320 --> 00:01:59,380
Czyli mogę powiedzieć, że transformacja v1

40
00:01:59,380 --> 00:02:02,800
równa była 1 razy v1.

41
00:02:02,800 --> 00:02:06,780
Jeśli teraz zastosujemy tutaj ten wzór który napisałem

42
00:02:06,780 --> 00:02:08,860
tutaj, lambda była byłaby równa 1

43
00:02:08,860 --> 00:02:11,360
i oczywiście, wektor w tym przypadku to v1.

44
00:02:11,360 --> 00:02:15,057
Transformacja po prostu skaluje wektora v1 o 1.

45
00:02:15,057 --> 00:02:18,860
W tym samym zagadnieniu, mieliśmy też inny wektor

46
00:02:18,860 --> 00:02:20,065
na który patrzyliśmy.

47
00:02:20,065 --> 00:02:27,670
to był wektor minus. Powiedzmy, że jest to wektor v2

48
00:02:28,255 --> 00:02:32,210
który, powiedzmy jest [2;-1]

49
00:02:32,410 --> 00:02:34,420
i jeśli jego przetransformujesz, to ponieważ był

50
00:02:34,420 --> 00:02:36,250
ortogonalny do linii po prostu

51
00:02:36,250 --> 00:02:37,840
po prostu się odwrócił

52
00:02:37,840 --> 00:02:39,760
i to także był ciekawy wektor

53
00:02:39,760 --> 00:02:44,960
ponieważ transformacja v2

54
00:02:44,960 --> 00:02:47,050
w tej sytuacji była równa czemu?

55
00:02:47,050 --> 00:02:48,930
po prostu minus v2

56
00:02:48,930 --> 00:02:50,270
Jest równa minus v2.

57
00:02:50,270 --> 00:02:54,920
Albo moglibyśmy powiedzieć, że transformacja v2 jest równa

58
00:02:54,920 --> 00:02:58,230
minus 1 razy v2

59
00:02:58,230 --> 00:03:01,870
i to są interesujące wektory ponieważ jeśli

60
00:03:01,870 --> 00:03:06,390
zdefiniujemy nową bazę (układ współrzędnych) z nimi jako wektorami bazowymi

61
00:03:06,390 --> 00:03:09,065
jest o dużo łatwiej wymyślić macierz transformacji

62
00:03:09,065 --> 00:03:12,000
i z tą bazą o wiele łatwiej się liczy.

63
00:03:12,000 --> 00:03:14,390
W przyszłości pogłębimy ten temat

64
00:03:14,390 --> 00:03:16,620
na ten moment, wierzę że zdajesz sobie sprawę, że te wektory są interesujące.

65
00:03:16,620 --> 00:03:21,750
Są też przykłady, gdzie mamy płaszczyzny opisane

66
00:03:21,750 --> 00:03:23,630
jakimiś wektorami.

67
00:03:23,630 --> 00:03:25,820
i mieliśmy jakiś wektor który wystawał

68
00:03:25,820 --> 00:03:27,040
z płaszczyzny w ten sposób.

69
00:03:27,040 --> 00:03:29,320
I transformowaliśmy rzeczy poprzez branie lustrzanego

70
00:03:29,320 --> 00:03:31,200
obrazu i w

71
00:03:31,200 --> 00:03:34,360
tej transformacji, te czerwone wektory zupełnie się nie zmieniają

72
00:03:34,360 --> 00:03:35,960
a ten koleś zostaje odwrócony.

73
00:03:35,960 --> 00:03:38,290
Więc może te może by się nadawały bazę.

74
00:03:38,290 --> 00:03:40,250
albo te mogły by być dobrymi wektorami bazowymi.

75
00:03:40,250 --> 00:03:41,240
I tak było.

76
00:03:41,240 --> 00:03:44,850
Więc uogólniając, zawsze jesteśmy zainteresowani wektorami

77
00:03:44,850 --> 00:03:47,240
które tylko skalują się przez transformację.

78
00:03:47,240 --> 00:03:49,080
To nie będą dowolne wektory, tak?

79
00:03:49,080 --> 00:03:51,320
Ten wektor, który tu narysowałem, nie tylko

80
00:03:51,320 --> 00:03:54,650
się skaluje, ale się zmienia, ten kierunek

81
00:03:54,650 --> 00:03:56,730
się zmienia.

82
00:03:56,730 --> 00:04:00,360
Wektory które się skalują mogą zmienić strony - mogą iść

83
00:04:00,360 --> 00:04:03,020
z tego kierunku w ten kierunek, albo

84
00:04:03,020 --> 00:04:04,430
stąd dotąd .

85
00:04:04,430 --> 00:04:07,270
albo może to jest x i jego transformacja

86
00:04:07,270 --> 00:04:08,460
jest przeskalowaną wersją x

87
00:04:08,460 --> 00:04:09,710
albo może jest tak

88
00:04:12,050 --> 00:04:16,970
ta linia na której się rozciągają, się nie zmieni.

89
00:04:16,970 --> 00:04:19,350
i tym się będziemy zajmować.

90
00:04:19,350 --> 00:04:21,019
One mają specjalną nazwę.

91
00:04:21,019 --> 00:04:23,660
i mają specjalną nazwę i chcę to mocno

92
00:04:23,660 --> 00:04:25,050
podkreślić bo są przydatne.

93
00:04:25,050 --> 00:04:27,360
To nie jakaś matematyczna gra

94
00:04:27,360 --> 00:04:29,970
w która gramy, chociaż czasem wpadamy w tą pułapkę.

95
00:04:29,970 --> 00:04:31,250
One są faktycznie użyteczne.

96
00:04:31,250 --> 00:04:34,140
Są przydatne do definiowania podstaw, ponieważ w tych podstawach

97
00:04:34,140 --> 00:04:36,730
jest łatwiej znaleźć macierze przekształcenia.

98
00:04:36,730 --> 00:04:38,950
Są bardziej naturalnymi układami współrzędnych. I

99
00:04:38,950 --> 00:04:41,700
często, macierze przekształcenia w tych bazach

100
00:04:41,700 --> 00:04:43,620
są łatwiejsze do obliczenia.

101
00:04:43,620 --> 00:04:47,060
więc mają one specjalne nazwy

102
00:04:47,060 --> 00:04:50,040
Dowolny wektor który spełnia to tutaj

103
00:04:50,040 --> 00:04:57,810
jest nazwany wektorem własnym przekształceniaT.

104
00:04:57,810 --> 00:05:01,680
a ta lambda, współczynnik

105
00:05:01,680 --> 00:05:12,410
staje się wartością własną związaną z tym wektorem własnym.

106
00:05:16,870 --> 00:05:19,590
Więc w tym przykładzie, który dałem gdzie transformacja

107
00:05:19,590 --> 00:05:24,020
przerzucała przez linię, v1, wektor [1;2] jest

108
00:05:24,020 --> 00:05:27,210
wektorem własnym naszej transformacji

109
00:05:27,210 --> 00:05:31,080
Więc [1;2] jest wektorem własnym.

110
00:05:33,960 --> 00:05:36,305
i związana z nim wartość własna wynosi 1.

111
00:05:42,170 --> 00:05:43,820
Ten koleś też jest wektorem własnym

112
00:05:43,820 --> 00:05:45,270
wektor [2;-1]

113
00:05:45,270 --> 00:05:47,520
On też jest wektorem własnym.

114
00:05:47,520 --> 00:05:50,440
To tylko słowo ale oznacza, że ten wektor tylko jest

115
00:05:50,440 --> 00:05:51,920
skalowany przez transformację.

116
00:05:51,920 --> 00:05:55,030
Nie zmienia się w żaden znaczący sposób tylko

117
00:05:55,030 --> 00:05:56,270
jest czynnikiem skalującym.

118
00:05:56,270 --> 00:06:03,860
I odpowiadającą mu wartość własna wynosi minus 1

119
00:06:03,860 --> 00:06:05,580
Jeśli ta transformacja - nie pamiętam ile wynosi

120
00:06:05,580 --> 00:06:06,750
jej macierz transformacji.

121
00:06:06,750 --> 00:06:07,990
Zapomniałem.

122
00:06:07,990 --> 00:06:10,820
Jakiś czas temu ją rozszyfrowaliśmy.

123
00:06:10,820 --> 00:06:16,490
Jeśli ta transformacja może być reprezentowana jako iloczyn

124
00:06:16,490 --> 00:06:18,180
macierzy i wektora- a powinna ponieważ jest liniową

125
00:06:18,180 --> 00:06:22,940
transformacją - to każde v które spełnia

126
00:06:22,940 --> 00:06:27,610
transformację- napiszę transformacja v jest równa

127
00:06:27,610 --> 00:06:32,520
lambda v i spełnia również równanie

128
00:06:33,180 --> 00:06:36,380
A v

129
00:06:36,380 --> 00:06:39,390
To te też nazwalibyśmy wektorami własnymi A, ponieważ A

130
00:06:39,390 --> 00:06:41,570
jest po prostu macierzowym przedstawieniem

131
00:06:41,570 --> 00:06:43,090
tej transformacji.

132
00:06:43,090 --> 00:06:51,560
Więc w tym przypadku, to byłby wektor własny A

133
00:06:51,560 --> 00:06:53,690
a to byłaby przypisana mu wartość własna

134
00:06:58,700 --> 00:07:00,940
Więc jeśli dasz mi macierz, która reprezentuje jakieś liniowe

135
00:07:00,940 --> 00:07:01,880
przekształcenie.

136
00:07:01,880 --> 00:07:03,880
Możemy odkryć też te rzeczy.

137
00:07:03,880 --> 00:07:05,730
W następnym wideo wymyślimy sposoby

138
00:07:05,730 --> 00:07:07,080
wymyślania tych rzeczy.

139
00:07:07,080 --> 00:07:10,320
Ale w tym wideo chcę abyś załapał

140
00:07:10,320 --> 00:07:13,920
że łatwo powiedzieć, 'a' wektory, które

141
00:07:13,920 --> 00:07:15,130
się mało zmieniają

142
00:07:15,130 --> 00:07:16,620
Ale zrozum co to znaczy

143
00:07:16,620 --> 00:07:19,860
To po prostu oznacza, że się skalują albo odwracają.

144
00:07:19,860 --> 00:07:22,060
Kierunek tych linii

145
00:07:22,060 --> 00:07:23,460
się nie zmienia.

146
00:07:23,460 --> 00:07:26,400
i przyczyna dla których to jest dla nas ciekawe

147
00:07:26,400 --> 00:07:28,790
jedna z przyczyn, dla których są one dla nas ciekawe jest to

148
00:07:28,790 --> 00:07:32,590
że są ciekawymi wektorami bazowymi -- wektorami bazowymi

149
00:07:32,590 --> 00:07:36,530
których macierze transformacji są, może obliczeniowo

150
00:07:36,530 --> 00:07:41,610
łatwiejsze, albo czynią lepsze układy współrzędnych.